DSpace at VNU: Một số dạng bài toán về Phương trình hàm

DSpace at VNU: Một số dạng bài toán về Phương trình hàm tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập...

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

- - -

-T„ V‹N NAM

Chuy¶nng nh: PH×ÌNG PHPTON SÌ C‡P

M¢sè: 60.46.01.13

LUŠN V‹N TH„C Sß KHOA HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC: PGS.TS VÔ É LONG

H  Nëi N«m2015

1 Mët sè t½nh h§t b£n h m sè 4

1.1 nh x¤ 4

1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh 4

1.3 H m sè 5

2 Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do 8 2.1 H m sè h®n, h m sèl´ 8

2.2 H m sè tunho n 10

2.3 Ph÷ìng tr¼nh h m vîi ph²pbi¸n êitành ti¸n v çng d¤ng 16

2.4 Ph÷ìng tr¼nh h m vîi ph²pbi¸n êiph¥n tuy¸n t½nh 24

2.5 H» ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n 33

2.6 Mët sè d¤ng ph÷ìngtr¼nh h m a 39

2.7 Mët sè d¤ng b ito¡n 58

3 Ph÷ìng tr¼nh h m hai bi¸n tü do 69 3.1 B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m hy 69

3.2 B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m vîi ¤i l÷ñngtrung b¼nh 78

3.3 Ph÷ìng tr¼nh h m nhi·u ©nh m 88

3.4 B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m l÷ñng 95

3.5 Mët sè d¤ng b ito¡n 105

Ph÷ìng tr¼nh h m l  mët huy¶n · quan trång thuë h÷ìng tr¼nh huy¶n to¡n

trong tr÷íngTHPT huy¶n b ito¡n li¶nquan ¸nph÷ìngtr¼nhh m

l nhúngb itªpkhâ,th÷íngg°ptrong k¼thihå sinhgiäimæn to¡n què gia,

khu què t¸ v Sinh vi¶n

H» thèng b i tªp v· ph÷ìng tr¼nh h m r§t a d¤ng v phong phó, h gi£i

hóng khæng ìn gi£n, thº b¬ng mët ph÷ìng ph¡p hay ph£i k¸t hñp nhi·u

ph÷ìng ph¡p mîigi£i ÷ñ Vîi mong muèn gióp ho b¤n hå sinh thº nhanh

hâng ti¸p v gi£i quy¸t b i to¡n v· ph÷ìng tr¼nh h m n¶n tæi hån · t i

Mëtsè d¤ng b ito¡n v·Ph÷ìng tr¼nh h m

ph¥n hia th nh d¤ng to¡n ·u t½nh ë lªpt÷ìng èi Thªt khâ m 

ph¥n hia d¤ngto¡n theomët bi¶ngiîi hráiv¼¥uâtrong v iv§n· b i

n y ¢ xu§t hi»n bâng d¡ng v§n · b i kia h luªn v«n n y l 

mët sè k¾ thuªt gi£ito¡n v· ph÷ìngtr¼nh h m v thæng qua gi£i to¡n nh¬m

s¥u mët sè ki¸n v· h m sè, r±n luy»n t÷ duy, hu©n bà ho k¼ thi hå

sinh giäi

Hi vång luªn v«nn y l  t ili»utham kh£ohúu h ho hå sinh, gi¡ovi¶nlîp

huy¶n to¡n trung hå phê thæng

Bè luªn v«nn y gçm 3 h÷ìng :

Ch÷ìng 1: Mët sè t½nh ì b£n h m sè

Trong h÷ìngn y tr¼nh b y mët sèki¸n hung nh§tv·h m sèv ¡nh x¤ nh÷

ànhngh¾a ìn¡nh, to n¡nh, song¡nh, h msè h®n, h m sèl´,h m sètunho n,

nhúng ki¸n thæng döng ÷ñ dòng v o gi£ito¡n s³ ÷ñ tr¼nh b y v o

ngayphn u b it÷ìngùng tøngm ngaytr÷î sau b i

to¡n thº, trong nhªn x²t, h þ

Ch÷ìng 2: Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do

Trong h÷ìngn y tr¼nh b ymët sèd¤ng b ito¡nph÷ìngtr¼nh h mm  h¿ hùa mët

bi¸n tüdonh÷ b ito¡n v· h msè h®n, h m sèl´,h m sè ành bði ph²p

bi¸n êitành ti¸n,çng d¤ng, vîi ph²pbi¸n êiph¥n tuy¸n t½nh,h» ph÷ìngtr¼nh

h m, ph÷ìngtr¼nh h m a

Ch÷ìng 3: Ph÷ìng tr¼nh h m hai bi¸n tü do

Trong h÷ìng n y tr¼nhb y mët sè d¤ngb ito¡n ph÷ìngtr¼nh h m hùa haibi¸n tü

donh÷ b ito¡n ph÷ìngtr¼nh h m hy, h m sè huyºn êigiúa ¤il÷ñng

trung b¼nh,ph÷ìng tr¼nh h m a©n, ph÷ìng tr¼nh h m l÷ñng

Luªn v«n n y ÷ñ ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n, h¿ b£o tªn t¼nh PGS.TS

V é Long - tr÷íng ¤i hå Khoa hå Tü nhi¶n - ¤i hå Què gia H  Nëi Thy

¢ d nh nhi·u thíi gian gióp ï, gi£i ¡p tæi trong suèt qu¡ tr¼nh

l mluªn v«n Tæimuèn b y täláng bi¸t ìn s¥u ¸n ng÷íi thy m¼nh

Qua ¥y, tæixin gûilíi ìns¥u tîi thy gi¡otrongKhoa To¡n -Cì

- Tin hå tr÷íng¤i hå Khoa hå Tü nhi¶n, ¤i hå Què giaH  Nëi ¢ ti¸p

gi£ng d¤y v t¤o i·u ki»nthuªn lñi ho tæitrong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp

Tæi xin ìn gia ¼nh, b¤n b± v t§t måi ng÷íi ¢ quan t¥m, t¤o i·u ki»n,

gióp ïtæi ho n th nhluªn v«n n y

H  Nëi, Th¡ng 1 n«m 2015

Mët sè t½nh h§t b£n h m sè

1.1 nh x¤

ành ngh¾a 1.1 Cho hai tªp hñp A v B N¸u mët quy f n o âsao ho vîi méia ∈ At÷ìngùng vîióngmët phntûb ∈ B th¼ tanâif l mët ¡nh x¤tøA¸n

B, k½ hi»u l f : A −→ B. Phn tûb gåil £nh a v vi¸tl  b = f (a).

Chó þ: N¸u ¡nh x¤ f : A −→ B th¼ ta th÷íng quan t¥m ¸n hai tªp hñp sau ¥y:

Tªp hñpf (A) = {f(a)|a ∈ A} (gåil tªp £nh tªp A,hay gåil tªp gi¡trà ¡nh x¤ f) v  tªp hñp f −1 (b) = {a ∈ A|f(a) = b} (gåi l  £nh b)

1.2 ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh

ành ngh¾a 1.2 nhx¤ f : A −→ B ÷ñ gåil  ìn¡nh n¸u vîimåia 1 , a 2 ∈ Asao

ho a 1 6= a 2 ta f (a 1 ) 6= f(a 2 ).

Chó þ: nh x¤ f : A −→ B l  ìn ¡nh n¸u f (a 1 ) = f (a 2 ) th¼ a 1 = a 2

ành ngh¾a 1.3 nh x¤ f : A −→ B ÷ñ gåi l  to n ¡nh n¸u vîi måi b ∈ B luæn tçn t¤ia ∈ A sao ho f (a) = b.

Chó þ: nh x¤ f : A −→ B l  to n ¡nh khi v  khi f (A) = B.

ành ngh¾a 1.4 nh x¤ f : A −→ B gåi l  song ¡nh n¸u f vøa l  ìn ¡nh, vøa l 

to n ¡nh

Chó þ:nh x¤ f : A −→ B l  song ¡nh khi v  khi vîi måi b ∈ B luæn tçn t¤i duy nh§t a ∈ A sao f (a) = b.

ành ngh¾a 1.5 Gi£ sûf : A −→ B l mët song ¡nh Khi â ¡nh x¤ ho t÷ìng ùng méiphn tûy ∈ B vîit¤o £nh x = f −1 (y) nâ÷ñ gåil  ¡nh x¤ ng÷ñ f v k½ hi»u l f −1

1.3 H m sè

ành ngh¾a 1.6 Cho X ⊂ R v Y ⊂ R.Khi â¡nh x¤ f : X −→ Y ÷ñ gåil  mët

h m sètø tªp X ¸n tªp Y.

Chó þ: Cho h m sè f : X −→ Y. Khi â:

- Tªp X gåi l tªp ành h m sè f.

- N¸u x 0 ∈ X th¼ f (x 0 ) gåil  gi¡ trà h m f t¤i x 0

- Tªp hñp f (X) ÷ñ gåi l  gåi l  tªp gi¡ trà h m sè f.

- y 0 l mët gi¡trà h m sè f khi v  khi ph÷ìng tr¼nh f (x) = y 0 â nghi»m.Hay nâi l : ph÷ìng tr¼nh f (x) = y 0 â nghi»m khi v  khi y 0 thuë tªp gi¡trà

h m sè f.

- f l  to n ¡nh ⇔ ph÷ìng tr¼nh (©n x) y = f (x) (vîi x ∈ X, y ∈ Y) â nghi»m

- f l  song ¡nh ⇔ ph÷ìng tr¼nh (©n x) y = f (x) (vîi x ∈ X, y ∈ Y) â nghi»m duy nh§t

1.3.1 H m sè h®n, h m sè l´

ành ngh¾a 1.7

a) H msè f : D −→ R ÷ñ gåil  h m h®n tr¶n M ⊂ D (gåit­t l  h m h®n tr¶n

M)n¸u

∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M v f ( −x) = f(x), ∀x ∈ M.

b)H msèf : D −→ R÷ñ gåil h m l´tr¶n M ⊂ D (gåit­tl h ml´tr¶n M)n¸u

∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M v f ( −x) = −f(x), ∀x ∈ M.

1.3.2 H m sè tun ho n v  ph£n tun ho n

ành ngh¾a 1.8

a)H m sè f : D −→ R ÷ñ gåil  h m tun ho n t½nh) h ký a (a > 0) tr¶n

M n¸u M ⊂ D v



∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M

f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M

b)Chof l mët h m sètunho n tr¶nM.Khi âT (T > 0)÷ñ gåil  h ký sð

h m f n¸u f tun ho n vîi h ký T m khæng tun ho n vîi b§t ký h ký n o b² hìn T.

ành ngh¾a 1.9

a)H m sè f : D −→ R ÷ñ gåil  h m ph£n tun ho n t½nh) h ký b (b > 0)

tr¶n M n¸u M ⊂ D v



∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M

f (x + b) = −f(x), ∀x ∈ M

b) N¸u f l  h m sè ph£n tun ho n h ký b 0 tr¶n M m  khæng l  h m ph£n tun

ho n vîi b§t ký h ký n o b²hìn b 0 tr¶n M th¼ b 0 ÷ñ gåil  h ký sð h m tun ho n f tr¶n M.

1.3.3 H m sè tun ho n v  ph£n tun ho n nh¥n t½nh

ành ngh¾a 1.10 H msè f : D −→ R ÷ñ gåil  h m tun ho nnh¥n t½nh huký

a (a / ∈ {0, 1, −1}) tr¶n M n¸u M ⊂ D v



∀x ∈ M ⇒ a ±1 ∈ M

f (ax) = f (x), ∀x ∈ M.

ành ngh¾a 1.11 H m sè f : D −→ R ÷ñ gåi l  h m ph£n tun ho n nh¥n t½nh

h ký a (a / ∈ {0, 1, −1})tr¶n M n¸u M ⊂ D v



∀x ∈ M ⇒ a ±1 ∈ M

f (ax) = −f(x), ∀x ∈ M.

1.3.4 H m sè li¶n

ành ngh¾a 1.12.Cho h m sèf ànhtr¶n D ⊂ Rv x 0 ∈ D. H msèf ÷ñ gåi

l li¶n t¤iiºm x 0 n¸u lim

x−→x 0

f (x) = f (x 0 ).

ành ngh¾a 1.13 H m sèf (x) ành tr¶n kho£ng (a; b) ÷ñ gåi l  li¶n tr¶n kho£ng (a; b) n¸u nâli¶n t¤imåiiºm x ∈ (a; b).

ành ngh¾a1.14 H msèf (x) ànhtr¶no¤n[a; b]÷ñ gåil li¶n tr¶no¤n

[a; b] n¸u nâ li¶n tr¶n kho£ng (a; b) v lim

x−→a + f (x) = f (a), lim

x−→b −

f (x) = f (b).

1.3.5 H m sè ìn i»u

ành ngh¾a 1.15 H msè f (x) ÷ñ gåi l t«ng tr¶n kho£ng (a; b) n¸u

∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) m x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1 ) ≤ f(x 2 ).

ành ngh¾a 1.16 H msè f (x) ÷ñ gåi l gi£m tr¶n kho£ng (a; b) n¸u

∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) m x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1 ) ≥ f(x 2 ).

ành ngh¾a 1.17 H m sè t«ng gi£m tr¶n kho£ng (a; b) ÷ñ gåi l  h m ìn

i»u tr¶n (a; b).

ành ngh¾a 1.18 H m sè f (x) ÷ñ gåi l  t«ng sü (çng bi¸n) tr¶n kho£ng

(a; b) n¸u

∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) m x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f (x 2 ).

ành ngh¾a 1.19 H msè f (x) ÷ñ gåi l  gi£m sü h bi¸n) tr¶n kho£ng

(a; b) n¸u

∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) m x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f (x 2 ).

ành ngh¾a 1.20 H msè t«ng hay gi£m sü tr¶n (a, b) ÷ñ gåi l  h m sè ìn

i»u sütr¶n (a; b)

Mët sè t½nh h m sè ìn i»u

- Måih m ìn i»u sü tr¶n kho£ng (a; b) ·u l ìn ¡nh tr¶n kho£ng (a; b)

- N¸uf (x) v g(x) l haih m t«ng (gi£m) th¼ f (x) + g(x) l h m t«ng (gi£m)

- N¸uf (x) v g(x) l haih m t«ng v khæng ¥m th¼ f (x)g(x) l h m t«ng

- N¸uf (x) l  h m ìn i»u tr¶n (a; b) th¼ f (f (x)) l h m t«ng

Ph÷ìng tr¼nh h m mët bi¸n tü do

2.1 H m sè h®n, h m sè l´

B i to¡n 2.1.1 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

Gi£i.D¹ th§y (1) t÷ìng÷ìng vîi

f (x) = 1 2 [f (x) + f ( −x)], ∀x ∈ R (2) X²t h msè

f (x) = 1 2 [g(x) + g( −x)], ∀x ∈ R (3) trongâg l h m sètòyþtr¶n R.Khi âd¹th§y f thäam¢n (1).Ng÷ñ l¤in¸u h m

sèf thäa m¢n (1) th¼ do (2)n¶n f d¤ng (3) Vª h msè t¼m d¤ng

f (x) = 1

2 [g(x) + g( −x)], ∀x ∈ R

trong âg l h m sè tòy þ tr¶n R

B i to¡n 2.1.2 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

Gi£i.D¹ th§y (1) t÷ìng÷ìng vîi

f (x) = 1 2 [f (x) − f(−x)], ∀x ∈ R (2) X²t h msè

trongâg l h m sètòyþtr¶n R.Khi âd¹th§y f thäam¢n (1).Ng÷ñ l¤in¸u h m

sèf thäa m¢n (1) th¼ do (2)n¶n f d¤ng (3) Vª h msè t¼m d¤ng

f (x) = 1

2 [g(x) − g(−x)], ∀x ∈R

trong âg l h m sè tòy þ tr¶n R.

B i to¡n 2.1.3 Cho x 0 ∈ R ành t§t h m sèf sao ho

Gi£i.°t x = x 0 − t(⇔ t = x 0 − x).Khi â2x 0 − x = x 0 + t v (1) d¤ng

f (x 0 + t) = f (x 0 − t), ∀t ∈ R (2)

°t g(t) = f (x 0 + t) th¼ g( −t) = f(x 0 − t), f(t) = g(t − x 0 ).

Khi â(2) d¤ng g(t) = g( −t), ∀t ∈ R Vª g(t)l  h m h®n tr¶n R

K¸t luªn: f (x) = g(x − x 0 ), ∀x ∈ R , trong âg(x) l h m h®n tòyþ tr¶n R

B i to¡n 2.1.4 Cho a, b ∈ R ành t§t h m sèf (x) sao ho

Gi£i.°t

a

2 − x = t. Khi âx = a 2 − t v a − x = a 2 + t.

Khi â(1) d¤ng

f ( a 2 + t) + f ( a 2 − t) = 2b, ∀t ∈ R (2)

°t f ( a 2 + t) − b = g(t), ∀t ∈ R Khi â(2) thº vi¸t d÷îi d¤ng

g(t) + g( −t) = 0, ∀t ∈ R

⇔ g(t) = −g(−t), ∀t ∈ R

Vª g(t) l h m l´ tr¶n R

K¸t luªn: f (x) = g(x − a 2 ) + b trong âg(x) l h m l´ tr¶n R

B i to¡n 2.1.5 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

f (x) − f(−x) = 2014 sin x, ∀x ∈ R (1)

Gi£i.Ta th§y (1) t÷ìng ÷ìng vîi

f (x) − f(−x) = 1007 sin x − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R

⇔ f(x) − 1007 sin x = f(−x) − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R (2)

°t g(x) = f (x) − 1007 sin x, ∀x ∈ R Thay v o (2)ta÷ñ

g(x) = g( −x), ∀x ∈R.

Vª g(x)l  h m h®n tr¶n R

K¸t luªn: f (x) = g(x) + 1007 sin x, ∀x ∈ R , trong âg(x) l h m h®n tòyþ tr¶n R

B i to¡n 2.1.6 T¼m t§t h m sèf (x) sao ho

f (x) + f ( −x) = √ 2 cos x

Gi£i Ta (1) t÷ìng ÷ìng vîi

f (x) + f ( −x) = √ cos x

x 2 + 1 +

cos x

√

x 2 + 1 , ∀x ∈ R

⇔ f(x) − √ cos x

x 2 +1 = −[f(−x) − √ cos(−x)

(−x) 2 +1 ], ∀x ∈ R (2)

°t g(x) = f (x) − √ cos x

x 2 +1 , ∀x ∈ R Thay v o(2)ta ÷ñ

g(x) = −g(−x), ∀x ∈ R

⇔ g(−x) = −g(x), ∀x ∈ R

Vª g(x)l  h m l´ tr¶n R

K¸t luªn:

f (x) = g(x) + √ cos x

x 2 + 1 , ∀x ∈ R ,

trong âg(x)l  h m l´ tòyþ tr¶nR

2.2 H m sè tun ho n

B i to¡n 2.2.1 ành t§t h m sè f thäa m¢n i·u ki»n

f (x + π) − f(x) = 2 cos x, ∀x ∈ R (1)

Gi£i.Ta (1) t÷ìng÷ìng vîi

f (x + π) + cos(x + π) = f (x) + cos x, ∀x ∈ R (2)

°tg(x) = f (x) + cos x, ∀x ∈ R th¼ f (x) = g(x) − cos x, ∀x ∈ R.Thayv o(2)ta÷ñ

g(x + π) = g(x), ∀x ∈ R

Nh÷v y g l h m tunho n h ký π tr¶n R

K¸t luªn:

f (x) = g(x) − cos x, ∀x ∈ R ,

trong âg l h m sè tun ho n h ký π, tòyþ tr¶n R.

[1℄ Ban tê ký thi (2014), Tuyºn tªp · thi OLYMPIC 30 th¡ng4, ln thù XIX

- 2013 To¡n hå , NXB ¤i hå S÷ ph¤m

[2℄ Nguy¹n T iChung, L¶Ho nhPhâ (2013), Chuy¶n kh£o ph÷ìng tr¼nh h m,NXB

¤i hå Què gia H Nëi

[3℄ Nguy¹n V«nMªu (1996), Ph÷ìng tr¼nh h m, NXBGi¡o

[4℄ t i li»utr¶n Internet