MỘT CHÚT SÁNG TẠO KHI GIẢI TOÁN

MỘT CHÚT SÁNG TẠO KHI GIẢI TOÁN NGUYỄN ĐỨC TẤN GV.. TP Hồ Chí Minh Chúng ta bắt đầu từ bài toán quen thuộc sau đây: Bài toán.. Chắc nhiều bạn đã biết các cách giải sau.. không là số chí

MỘT CHÚT SÁNG TẠO KHI GIẢI TOÁN

NGUYỄN ĐỨC TẤN (GV TP Hồ Chí Minh)

Chúng ta bắt đầu từ bài toán quen thuộc sau đây:

Bài toán

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9 Chắc nhiều bạn đã biết các cách giải sau

Cách 1 * Xét n = 3k (k Z) thì n2

+ n + 1 = 3k(k + 1) + 1

* Xét n = 3k + 1 (k Z) thì n2 + n + 1 = 9k(k + 1) + 3

* Xét n = 3k + 2 (k Z) thì n2 + n + 1 = 3(3k2 + 5k + 2) + 1

Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi n Z

Cách 2 Có n2 + n + 1 = (n + 2)(n – 1) + 3

(n + 2) – (n – 1) = 3 nên n + 2; n – 1 đồng thời hoặc không đồng thời chia hết cho 3

* Nếu (n + 2) 3 và (n – 1) 3 suy ra (n + 2)(n – 1) 9 nên (n + 2)(n – 1) +

3 không chia hết cho 9

* Nếu (n + 2) và (n – 1) đều không chia hết cho 3 thì (n + 2)(n – 1) + 3 không chia hết cho 9

Vậy n2 + n + 3 không chia hết cho 9 với mọi n Z

Cách 3 (Phản chứng) Giả sử n2 + n + 1 9

Đặt n2 + n + 1 = 9m (m Z) hay n2

+ n + 1 – 9m = 0 (*) = 36m – 3 = 3(13m – 1) 3 nhưng 3(13m – 1) không chia hết cho 9 không là số chính phương nên (*) không có nghiệm nguyên Vô lí!

Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi n Z

Cách 4 Ta có: 4(n2 + n + 1) = (2n + 1)2 + 3

* Nếu (2n + 1) 3 thì (2n + 1)2

9 do đó (2n + 1)2 + 3 không chia hết cho

9

* Nếu (2n + 1) không chia hết cho 3 thì (2n + 1)2 không chia hết cho 9 do

đó (2n + 1)2

+ 3 không chia hết cho 3 Vì thế (2n + 1)2 + 3 không chia hết cho 9

Vậy 4(n2 + n + 1) không chia hết cho 9 suy ra n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi n Z

Với đam mê toán học chắc chắn các bạn sẽ tìm thấy nhiều bài toán họ hàng vơi bài toán trên, chẳng hạn các bài toán sau:

Bài toán 1 Chứng minh rằng với mọi n Z thì

a) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49

b) n2 + 3n + 5 không chia hết cho 121

c) n2 + 5n + 16 không chia hết cho 169

Bài toán 2 Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm

nguyên:

a) x2 + 3x + 4 = 49y ;

b) x2 + 25y2 – 2x + 6 = 0 ;

Bài toán 3 Tìm x Z để 25x + 46 là tích của hai số nguyên liên tiếp

(Bài T1/201 THTT 3.1994)

Cả 4 cách giải trên có thể giúp chúng ta giải được các bài toán này và nếu

“mò mẫm” sẽ tìm thêm được thật nhiều bài toán hay nữa

Nhưng với bài toán sau:

Bài toán 4

Chứng minh rằng 9n3+ 9n2 + 3n – 16 không chia hết cho 343 với mọi n Z

Bài làm

Với các cách 1; 2; 3 có lẽ ta phải bó tay, khai thác cách 4 (chú ý rằng 343 =

73) ta đến với lời giải thật dễ thương sau:

3(9n3+ 9n2 + 3n – 16) = (3n + 1)3 – 49

* Nếu (3n + 1) 7 thì (3n + 1)3 73 mà 49 không chia hết cho 73 nên (3n + 1)3 – 49 không chia hết cho 73 ⇒ 9n3+ 9n2 + 3n – 16 không chia hết cho

343

* Nếu (3n + 1) không chia hết cho 7 ⇒ (3n + 1)3 – 49 không chia hết cho 7

⇒ (3n + 1)3

– 49 không chia hết cho 73 ⇒ 9n3

+ 9n2 + 3n – 16 không chia hết cho 343

Vậy 9n3+ 9n2 + 3n – 16 không chia hết cho 343 với mọi n Z

Suy nghĩ sâu hơn một chút về 4 cách giải ta sẽ đi đến bài toán tổng quát:

Chứng minh rằng A(n) không chia hết cho p k với mọi n nguyên, p nguyên

tố và k nguyên dương

Phương hướng giải là tìm cho được đẳng thức:

a A(n) = [B(n)]k + pm

Trong đó B(n) là đa thức biến n với a Z; m là nguyên dương k > m, rồi xét xem B(n) có chia hết cho p không

Tác giả bài báo này muốn nói với các bạn rằng nhiều điều có vẻ rất bình thường, thật quen thuộc nhưng ở đó có thể còn nhiều điều hấp hẫn chờ đón bạn và … sẵn sàng đưa các bạn đến nơi mà các bạn cần phải đến