DSpace at VNU: Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng tài liệu, giáo án, bài giảng , luận vă...
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- -
Lê Đình Trường
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 1/2015
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- -
Lê Đình Trường
MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Vũ Đỗ Long
Hà Nội – 1/2015
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS.TS Vũ Đỗ Long, người thầy với lòng nhiệt huyếtđã luôn chỉ bảo tận tình em từ những ngày đầu tiên, đồng thờiđưa ra những lời khuyên bổích giúp em hoàn thiện luận văn này
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô, tập thể cán bộ ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ – Tin học cùng các học viên cao học, đã không chỉ trang bị kiến thức cho em mà còn luôn giúp đỡ, tạođiều kiện thuận lợi trong quá trình em học tập tại trường
Cuối cùng, em xin cảmơn tới bạn bè người thân, những người luôn ủng hộ động viên em vượt qua những khó khăn để em hoàn thành tốt luận văn
Hà Nội, tháng 1 năm 2015
Trang 4MỤC LỤC
Lời nói đầu 1 Chương I Các bài toán về đường thẳng , đường tròn 2
Bookmark not defined
Chương II Các bài toán về vectơ và ứng dụng của vectơ Error! Bookmark not defined
2.3 Phương tích của điểm đối với đường tròn Trục đẳng phương, tâm đẳng
KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined
Tài liệu tham khảo 7
Trang 5Lời mở đầu
Hình học phẳng là dạng toán quen thuộc đối với học sinh trung học cơ sở cũng như học sinh trung học phổ thông Nó không chỉ xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh đối với khối học sinh lớp 9của các trường THCS, các đề thi vào THPT mà còn có trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế của học sinh các trường THPT, đồng thời cũng có trong đề thi vào các trường đại học với phần trăm điểm không nhỏ Chính vì vậy đề tài em lựa chọn cho luận văn của mình là : “ Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng “
Hình học phẳng trong toán THPT với chủ yếu là các bài toán về đường thẳng và đường tròn, với đối tượng học sinh khá giỏi, còn được bổ sung thêm các định lí thường dùng như Mê-nê-la-uýt , Xê- va ,…Để giải các bài toán về đường thẳng
và đường tròn trong hình học phẳng nhanh và dễ dàng hơn, trong luận văn của mình em nêu ra những nội dung sau :
Chương 1 trình bày các bài toán về đường thẳng, đường tròn.Gồm có các bài toán về ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy; đường thẳng và đường tròn, tứ giác nội tiếp
Chương 2 nêu trọng tâm của luận văn các bài toán về vectơ và ứng dụng của vectơ gồm có 3 phần Vectơ, tâm tỉ cự; tích ngoài của hai vectơ và ứng dụng; phương tích của điểm đối với đường tròn Trục đẳng phương, tâm đẳng phương Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.Vũ Đỗ Long – Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vũ Đỗ Long đối với sự quan tâm, chỉ bảo tận tình của thầy Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã dạy dỗ, trang bị những kiến thức bổ ích và giúp đỡ em trong suốt quá trình theo học Em xin chân thành cảm
ơn ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ- Tin học đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho em hoàn thành luận văn này
Hà Nội, tháng 01 năm 2015
Tác giả
Lê Đình Trường
Trang 6Chương I Các bài toán về đường thẳng , đường tròn 1.1.Bài toán về ba đường thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
Bài toán 1 Định lí Mê-nê-la-uýt Cho tam giác ABC Ba điểm Q, R, P theo thứ
tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng khi
và chỉ khi
PA
PB
QB
QC
RC
RA = 1 (1)
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử P, Q, R thẳng hàng
Qua C vẽ đường thẳng song song với PQ
ta có:
PA
QB
RC
PA
PB
PA
QB
RC
Điều kiện đủ Ngược lại, ta chứng minh rằng nếu thỏa mãn (1) thì ba điểm P, Q,
chứng minh trên :
QB
RC
Từ (1) và (2) rút ra
PA
Vậy ba điểm P , Q, R thẳng hàng
Bài toán 2 Định lí Xê – va Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt
thuộc các đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy
Trang 7hoặc song song khi và chỉ khi
MB
NC
PA
Chứng minh.(h.2)
Điều kiện cần Giả sử AM, BN, CP đồng quy tại O Vẽ qua A đường thẳng Δ song song với BC, đặt X= BN ∩ Δ, Y = CP ∩Δ Theo định lí Ta- lét ta có
MB
MC
NC
NA PA
PB
= AX
AY CB
AX AY
BC = CB
BC = −1
Giả sử ba đường thẳng AM, BN, CP song song (h.3) Ta có
MB
NC
PA
MB
BC
CM
MB
BC
CM
Điều kiện đủ Ngược lại, giả sử ba điểm M, N, P tương ứng trên các đường thẳng
BC, CA, AB thỏa mãn hệ thức (1)
- Nếu hai trong ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau, chẳng hạn AM và BN
MB
NC
PB = P ′A
P′B => AM, BN, CP đồng quy tại O
- Nếu không có hai đường nào trong ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau thì hiển nhiên cả ba đường thẳng song song với nhau
Bài toán 3.Định lí Đờ - dác.Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ Nếu các đường
thẳng hàng, Ngược lại nếu các giao điểm của chúng thẳng hàng thì các đường
Trang 8Chú ý : Các đường thẳng AA′, BB′, CC′ gọi là đường thẳng nối các đỉnh tương ứng
được phát biểu như sau Các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng quy (hoặc song song) khi và chỉ khi giao điểm các cạnh tương ứng thẳng hàng
Chứng minh
a) Điều kiện đủ Giả sử các đường thẳng
Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABO
PA
QB
QC
C ′C
C ′O B ′O
RC
C ′O
Nhân ba đẳng thức trên ta được kết quả sau
PA
PB
.QB
QC
RC
RA
= 1 từ đó theo định lí Mê-nê-la-uýt ta suy ra ba điểm P, Q, R thẳng hàng
b) Điều kiền đủ nếu ba điểm P, Q, R thẳng hàng, thì ba đường thẳng
nên theo phần thuận a) thì giao điểm các cạnh tương ứng phải thẳng hàng, ba
Trang 9
Bài toán 4 Cho hai hình bình hành ABCD và AB′C′D′ trong đó ba điểm A, B,
Bài Giải
B′A
B′B
IB
ID′
DD ′
DA = 1 (∗) Gọi M là giao điểm của BC và D′C′
B′B = C ′D′
C′M
và
DD′ DA = CM
CB
ID ′
C ′D′
C ′ M CM
CB = 1
Bài toán 5 Cho tứ giác ABCD không phải hình thang, AB và CD cắt nhau tại E,
AD và BC cắt nhau tại F Gọi I , J, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AC,
BD, EF Chứng minh rẳng I , J, K thẳng hàng
Bài giải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh
BE, EC và CB của tam giác BEC (h.6)
Khi đó các điểm I , J, K lần lượt nằm
trên các đường thẳng NP,PM, MN
Áp dụng đinh lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác
BEC và ba điểm thẳng hàng A, D, F ta có
AB
AE
DE
DC
.FC
FB
= 1 (∗) vì IN // AE nên AB
AE = IP
IN
DC = JM
JP
FC
FB = KN
KM Vậy từ (*) suy ra IP
IN
JM
JP
KN
KM
= 1, áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác MNP và ba điểm I,J, K ta suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng
Trang 10Bài toán 6 Cho hình bình hành ABCD với tâm O Trên các đường thẳng BD,
BC, AC lần lượt lấy các điểm P, Q, R sao cho AP // OQ // DR Chứng minh rằng
P, Q, R thẳng hàng
Bài giải
Qua C vẽ đường thẳng song song với RD,
RO = DC ′
DO = BP
BO
đối xứng với P qua O
QC
= OB
OC′ ( do OQ // CC′) và OB
OC′ = − OB
OP
PB
.QB
QC
RC
RO = −PO
PB OB
OP BP
BO = −(−1) = 1 ( do P, O, B thẳng hàng ) Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác OBC và ba điểm P, Q, R ta được ba điểm P, Q, R thẳng hàng
Bài toán 7 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt
tại M, N, P Chứng minh rằng AM, BN, CP đồng quy
Bài giải
Cách 1 Áp dụng định lí Xê – va (h.8)
PB
.MB
MC
NC
NA = −PA
PB −MB
MC −NC
NA (∗)
Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) nên PB= MB ; MC = NC ; PA = NA
Từ (*) suy ra
PA
PB
.MB
MC
NC
NA
= −PA
PB −MB
MC −NC
NA = −PA
PB − PB
MC −MC
PA =−1
Theo định lí Xê- va cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P
ta được AM, BN, CP đồng quy
Trang 11Tài liệu tham khảo
(1) Vũ Hữu Bình, Văn Như Cương, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang,
Trương Công Thành, Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán hình
học 8 tập hai , Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(2) Vũ Hữu Bình, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang, Lê Quốc Hán, Hồ
Quang Vinh, Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán hình học 9 tập
hai, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(3) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, Hình
học 10 nâng cao, nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(4) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ
Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu chuyên Toán Hình Học 10,
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
(5) Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao và một số
chuyên đề Hình Học 10, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(6) IMO Shortlost, 1959−2009
(7) Nguyễn Bá Đang, 279 Bài Toán Hình Học phẳng Olympic các nước,
Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
(8) Các đề thi Olympic toán quốc tế, 1959-2013
(9) Website www.artofproblemsolving.com
(10) Website diendantoanhoc.net