SKKN rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua việc sáng tác một số phương trình, hệ phương trình từ các đẳng thức điển hình

giải một bài toán theo cách tự nhiên nhất, tại sao lại giải quyết bài toán như thế,...và từ đó cóthể rèn luyện tư duy và kích thích trí tò mò của học sinh.Vì vậy, tôi xin lựa chọn đề tài

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

- Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ 8 - 2015 đến 5 - 2016

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định

Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định

Điện thoại: 0977.012.356

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến

Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định

Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định

Điện thoại: 03503.640297

ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp các dạng toán liên quan tới phương trình, hệ phương trình Bài toán liên quan tới phương trình, hệ phương trình có khá nhiều dạng và có nhiều cách giải khác nhau

Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, và hệ thống bài tập khá phong phú Tuy nhiên ngoài việc nắm vững được các dạng phương trình và tìm ra cách giải thì chúng ta cũng cần

tự xây dựng cho mình một hệ thống các bài tập liên quan tới phương trinh, hệ phương trình Hơn nữa trong quá trình xây dựng hệ thống bài tập, ta có thể rút ra được các phương pháp

giải một bài toán theo cách tự nhiên nhất, tại sao lại giải quyết bài toán như thế, và từ đó cóthể rèn luyện tư duy và kích thích trí tò mò của học sinh.Vì vậy, tôi xin lựa chọn đề tài :

“Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua việc sáng tác một số phương trình, hệ phương trình từ các đẳng thức điển hình”

Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sángtạo của học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện củatừng lớp học; Bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; Rèn luyện kỹnăng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú

và trách nhiệm học tập cho học sinh Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hìnhthành tri thức, rèn luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác,tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề

hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn Số lượng bài toán thuộc các dạngtoán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng

và học sinh giỏi những năm gần đây.Tài liệu tham khảo khá nhiều nhưng học sinh đôi khitiếp cận một cách thụ động hoặc chấp nhận lời giải một cách không tự nhiên, đôi khi khônghiểu tại sao bài toán lại được giải quyết theo hướng đó

Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán có một phương pháp mang lại hiệu quả rõnét Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán, khả năng sáng tạo và tựsáng tác các phương trình, hệ phương trình Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy,sáng tạo Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thiTHPT Quốc gia môn Toán 2016

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống các dạng toán có liên quan đếnphương trình và hệ phương trình được gắn vào các bài toán tổng quát, xây dựng hệ thốngbài tập cho riêng mình, áp dụng vào giảng dạy thực tế đối với học sinh khá, giỏi các lớp11A1, 10A2, 10L, 10A2 trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong trong đợt ôn thi học kì vàhọc sinh ôn thi THPT Quốc gia năm 2016

NỘI DUNG SÁNG KIẾN

A CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Biến đổi một phương trình của hệ về dạng phương trình tích số để được các hệ

thức đơn giản chứa x,y.

Các kỹ thuật thường sử dụng:

+ Nhóm nhân tử chung

+ Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

+ Nhẩm nghiệm + nhân liên hợp

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương

+) Điều kiện: (*)

+) Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số Xem (1) là một phương trình bậc hai theo ẩn

y, phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được

+) Thế , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn:

(3)

Do phương trình (3) có hai nghiệm và nên ta định hướng phân tích (3) thành

Với [thỏa (*)] ; Với [thỏa (*)]

+) Thế , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn:

x x

So với điều kiện (*) ta chỉ nhận [thỏa (*)]

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là và

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các hệ phương trình

02

2

272

x x

3) 4)

II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn.

Với phương trình một ẩn, nếu f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì phương trình

có tối đa một nghiệm trên D

mọi Suy ra nghịch biến trên đoạn

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Thay vào phương trình (2) ta được phương trình

Xét hàm đặc trưng , với Ta có , với mọi Suy ra đồng biến trên Do đó:

Thay vào phương trình (2) ta được phương trình:

 Nhận thấy và không là nghiệm của phương trình (b)

(3)

 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số trên khoảng

Ta có:

Do đó đồng biến trên khoảng Suy ra:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

(3)

trên

Thế(4) vào (2) để được phương trình một ẩn

Ta nhận thấy không là nghiệm của phương trình nên

Xét hàm số :

Do

đồng biến trên các khoảng

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có).

Bước 2: Biến đổi hai phương trình của hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau.

Bước 3: Thay hai biểu thức đó bởi hai biến mới u, v chuyển sang hệ mới và giải tìm u, v Bước 4: Với u, v tìm được ta sẽ tìm được x, y.

Với phương trình ta có thể đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đơn giản hơn, hoặc đặt ẩn phụ không hoàn toàn, hoặc đặt ẩn phụ đưa về hệ

Bài giải

+) Biến đổi sao cho hai phương trình của hệ xuất hiện hai biểu thức giống nhau

Do không thỏa mãn hệ trên nên

+) Với ta được hệ phương trình

+) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là

Đặt

Ví dụ 4 Giải phương trình :

pt

Khi đó ta có hệ :

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Giải các hệ phương trình

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

2

2 2



2

a b  t ab t  t

2

33 2 x x 4 x  1 x 5

2

2

4 4

1 34

uv

u v



2

x xy x y







2

y x xy y

y x y x y x













2





2 2

    



















2 2

2 2 3

x y xy x y

x y







2

7

x xy y







4 3 2 2







Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp đánh giá.

Thường là sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: Cô-si, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối,

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương

(3)Phương trình (3) có một nghiệm là nên ta định hướng phân tích (3) thành dạng

1212

21212

+) Điều kiện:

Vì x ≥ 0 nên (*) vô nghiệm Do đó (3) x = 0 hay x = 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm

x y   2x22xy5y2  x 2y  ** x y

   * & **  VT  1  5x22xy2y2  2x22xy5y2 3x y VP  1

x y  3

2 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm

B MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC ĐẲNG THỨC.

Xuất phát từ một biến đổi tương đương do ta chọn :

Khi đó, chọn thì (1) đúng Do vậy, cũng với thì

Ta sẽ thu được : 0Từ đó ta có bài toán sau:

Nhân hai vế của (2) với -3 rồi cộng với (1) ta được:

169

x y

Thay vào (2) ta được : .

Nhận xét: tại sao ta biết nhân hai vế của phương trình (2) với -3 rồi cộng với phương trình

(1), tại sao lại là số -3 mà không phải số khác, tại sao lại cộng với phương trình (1) màkhông phải trừ? Ta có thể giải thích vấn đề đó thông qua việc sử dụng phương pháp hệ sốbất định

Từ (3) ta chọn sao cho thỏa mãn :

Chú ý rằng: việc xét vẫn không giảm tổng quát hơn so với việc xét

, vì khi ta giải phương trình có quyền chia cả hai vế cho một số khác 0

Tương tự khi xuất phát từ một biến đổi tương đương do ta chọn:

Khi đó, chọn thì (1) đúng Do vậy, cũng với thì

Ta sẽ thu được : Từ đó ta có bài toán sau:

Giải hệ phương trình :

Với việc xuất phát từ đẳng thức :

Khi đó, chọn thì (*) đúng Do vậy, cũng với thì

Khi đó ta có bài toán sau:

(HSG Quốc gia 2010) Giải hệ phương trình :

Nhân phương trình (4) với -8 rồi cộng với phương trình (3) ta được :

+) Khi thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được :

+) Khi thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được :

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm :

Nhận xét: Câu hỏi được đặt ra như trước là tại sao lại nhân phương trình (4) với -8 rồi lại

cộng với phương trình (3) ? Điều này được lý giải tương tự như ở trên và được xuất phát từ

Xuất phát với ý tưởng như trên, sau đó ta có thể thông qua phép biến đổi ẩn nữa ta có thểthu được một bài toán phức tạp hơn

Chẳng hạn, xuất phát từ đẳng thức và qua biến đổi tương đương do ta chọn :

Khi đó, chọn thì (*) đúng Do vậy, cũng với thì Ta

(HSG Quốc gia 2004) Giải hệ phương trình :

Giải

Thay vào (2) ta được :

trình bậc hai theo Để làm được điều đó, ta se nhân phương trình (1) với vàphương trình 2 với rồi cộng lại :

Ta cần chọn sao cho :

.Đồng nhất hệ số ta tìm được : .Từ đó ta chọn và

Xét một phương trình bậc 3 nào đó, chẳng hạn : .Suy ra

Ta ghép với một hàm đơn điệu :

Khi đó ta được bài toán :

Tương tự ta có thể thu được các bài toán sau :

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Đôi khi thông qua việc dự đoán nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình, ta có thểxây dựng được phương trình hoặc hệ phương trình mới và tìm được hướng giải quyết bàitoán

Ta dự đoán được nghiệm , và ta viết lại phương trình như sau:

Mặt khác, ta có:

Nên phương trình thứ hai vô nghiệm Vậy (1) có 2 nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

(2)

Giải:

Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm

nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử Ta

> 0 với mọi x Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 3: Giải phương trình

(3)

Giải:

Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa

phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử

Ta viết lại như sau:

(4)

nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có:

Pt (*)

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:

Hướng 1: bình phương hai vế…

Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

x 

2 12 5 3 2 5

x    x x 

Đk:

Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình Như vậy phương trình đã cho có thể

phân tích được về dạng !

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Giải:ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.

Ví dụ 8: Giải phương trình

Giải:

Đk: , ở bài này, khó là ở chỗ ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phương trình để dùng lượng liên hợp Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của công nghệ là chiếc máy tính Casio fx570 Es thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn!

Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là:

sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B.Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng cách tình A +

B và AB, ta thu được kết quả “đẹp” sau:

Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình:

Và từ đây, ta có thể dự đoán được chính là nhân tử của pt! 

Ta viết pt đã cho lại thành:

2 3

5x 1 9 x 2x 3 1x1

5

x 

2 3

Đến đây, để xuất hiện nhân tử thì với

là một hệ số Chọn = 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2) Khi đó (2)

Cũng bằng cách làm như ở Ví dụ 8, ta phân tích được như sau:

Ta cũng có thể giải thích theo cách khác tại sao lại tìm được lượng như sau:

Do x = -2 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho (x + 2) ta

x 

2 2

u v

u v





 



x y

x y

x y

a b ab

x y

x y

3

p p

Thử lại, ta thấy là nghiệm của PT Vậy PT có nghiệm

x 

33x 2

6 5x

u v

3x 2

6 5x

u v

u v

Với , thế vào (2) ta được : Vô nghiệm.

Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là:

x y





 



x y

x y

x y

3 1

y y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

5 752

x y

1

4

x x

x y

x y

x y

x y

x y





 



x y

x y

x y

x y





 

2

x y

x y





 

2

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y





 



x y

x y

x y

x y

x y

x y





 



3

x x

x y

x y

x y





 



3

x x

x y

x y

x y

x y

Bài 42 : Giải các phương trình sau:

x y

x y

x y

0

5

x x

x y





 



Bài 44: Giải các hệ phương trình sau:

C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I KẾT QUẢ

Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc phân loại các dạng toán như trên học sinh nắmđược bài, hiểu được sâu kiến thức Từ đó học sinh rèn được kĩ năng giải toán Số học sinhđam mê, yêu thích môn toán ngày càng nhiều hơn Đối với bài kiểm tra các em trình bàychặt chẽ, lôgic hơn với kết quả như sau:

x y

x y

x y

10A2 40 1 5 16 9 8 1

II BÀI HỌC TỔNG KẾT

Qua quá trình vận dụng đề tài trong giảng dạy, tôi nhận thấy khi giáo viên hướng dẫnhọc sinh giải toán bằng cách phân loại các dạng, đặt vấn đề để học sinh tự xây dựng hệthống bài tập, trao đổi với nhau thì học sinh nâng cao được khả năng tư duy và tính sáng tạotrong giải toán Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họabằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độkhác nhau

III ĐIỀU KIỆN ĐỂ ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

SKKN áp dụng cho học sinh đại trà, khá, giỏi; học sinh trung bình nắm được phươngpháp giải để vận dụng giải các bài toán đơn giản Học sinh khá, giỏi áp dụng vào các bàitoán phức tạp hơn và từ đó nâng cao khả năng tư duy và tính sáng tạo của học sinh

Mỗi bài toán trong kỳ thi tuyển sinh Đại học, THPT Quốc gia sắp tới đều là nhữngkiến thức quan trọng, căn bản Để giúp học sinh học tập, các thầy cô giáo cần giúp các emhọc sinh có cái nhìn hệ thống, tổng quan về vấn đề đồng thời hướng các em đến những suyluận lôgic Từ việc giải quyết những bài toán nhỏ, dễ đến những bài toán khó học sinh cócái nhìn tự tin và lạc quan hơn, yêu mến hứng thú với môn học hơn Kết quả rèn luyện, họctập của các em chắc chắn sẽ đạt được thành tích cao

IV KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI

Đề tài sẽ có khả năng ứng dụng, triển khai rộng rãi trong trường Đề tài có thể đưavào trong các buổi sinh hoạt Tổ chuyên môn, trong giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT, thituyển sinh Đại học, Cao đẳng trước đây và kì thi THPT Quốc gia sắp tới, đặc biệt là trongviệc ôn thi chọn học sinh giỏi các cấp

V HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU, MỞ RỘNG ĐỀ TÀI, KIẾN NGHỊ

Để nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tôi sẽ tiếp tục vận dụng mở rộng đề tàicho các bài toán tổng hợp đáp ứng nhu cầu của học sinh khá giỏi

Chuyên đề được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút, tổng kếtkinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, về cơ bản chuyên đề đã đạt được các mục tiêu đề ra.Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao và sát thực tiễn hơn kính mong các thầy cô, đặcbiệt là các thầy cô trong tổ Toán – tin, trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, tiếp tục đọc

kỹ bản thảo, thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên đề Hi vọng chuyên đề này có thểđược coi là một tài liệu để các đồng nghiệp tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh tư duylinh hoạt trong tiếp cận và giải quyết các bài toán liên quan tới phương trình, hệ phươngtrình Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú

và có hiệu quả hơn

VI Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền: