Trình bày các tính chất cơ bản của hàm số trên tập số hữu tỉ như tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính và nhân tính, đồng thời có trình bày một số dạng phương trình hàm cơ bản có sử dụng
Trang 1Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số 60 46 01 13
Người hướng dẫn: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu
Năm bảo vệ: 2013
Abstract Trình bày các tính chất cơ bản của hàm số trên tập số hữu tỉ như tuần hoàn,
phản tuần hoàn cộng tính và nhân tính, đồng thời có trình bày một số dạng phương trình hàm cơ bản có sử dụng các phương pháp như quy nạp, nguyên lý thứ tự, sử dụng các tính chất của số học, … , ngoài ra còn mở rộng phương trình hàm trên tập số hữu tỉ
và một số đề thi Olympic Trình bày tính chất cơ bản của hàm số xác định trên tập rời rạc bao gồm hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính, nhân tính; hàm số chẵn, hàm số lẻ Phần này cũng trình bày một số hàm xác định trên tập số nguyên (tuần hoàn, phản tuần hoàn) và một số dãy số dạng đặc biệt Trình bày phương pháp giải một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên đó là sử dụng nguyên lý quy nạp (hàm chuyển đổi các phép tính số học, hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình, v.v…), nguyên lý thứ tự, áp dụng một số tính chất của dãy số và hàm số, ngoài ra có
đề cập phương pháp sử dụng tính chất của hàm tuần hoàn nhân tính và sử dụng một số tính chất của số học Các hàm số xác định trên tập số nguyên là rất đa dạng Ngoài các vấn đề của hàm số như đơn điệu, bị chặn, tuần hoàn, đơn ánh, chúng còn liên quan đến các khái niệm của số học như tính chia hết, số nguyên tố, số chính phương, quan
hệ đồng dư, hàm nhân tính, Trong một số trường hợp, bản chất của bài toán về các hàm số xác định trên tập số nguyên chính là bài toán số học Mặt khác, khi xét các bài toán về hàm ta có thể chuyển về bài toán của dãy số Sử dụng các kết quả của dãy số,
ta thu được các tính chất cần thiết để giải các bài toán liên quan đến phương trình hàm Trình bày phương trình hàm mở rộng trên tập số hữu tỉ và một số bài toán về phương
trình hàm trong các đề thi Olympic
Keywords Toán học sơ cấp; Hàm số; Số học
Trang 2Mở đầu
Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú bao gồm các loại phương trình tuyến tính, phương trình phi tuyến, phương trình một
ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm
Trong các kỳ thi Olympic Toán Quốc gia và Quốc tế thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm Để giúp các thầy cô giáo, học sinh các trường phổ thông có thêm nhiều tư liệu mới về vấn đề này tôi xin trình bày một số phương pháp chọn lọc trong việc giải phương trình hàm trên tập số nguyên
Luận văn gồm ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây:
Chương 1 trình bày các tính chất cơ bản của hàm số (tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính và nhân tính) và một số dãy đặc biệt
Chương 2 trình bày một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên
Chương 3 trình bày một số phương trình hàm mở rộng trên tập số hữu tỉ và một số bài toán về phương trình hàm trong các đề thi Olympic Toán
Trang 3Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Tài Chung, Chuyên khảo Phương trình hàm, Nhà xuất bản DDaHQG Hà Nội, 2013
[2] Nguyễn Văn Mậu, Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2005
[3] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, Nhà xuất bản Giáo Dục, 1996 [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Giới hạn của dãy số và hàm
số, Nhà xuất bản Giáo dục, 2003
[5] Nguyễn Văn Mậu, Nội suy và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007 [6] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề các phép tính trên dãy số, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, 2003
[7] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề Toán rời rạc và một số vấn đề liên quan, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2007
[8] Nguyễn Văn Mậu, Một số chuyên đề Toán chọn lọc, Tài liệu Trường
Hè, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, 2006
[9] Nguyễn Văn Mậu, Một số chuyên đề Toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, 2004
[10] Lại Đức Thịnh, Giáo trình số học, Nhà xuất bản Giáo dục, 1997 [11] Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thủy, Bài giảng Số học, Nhà xuất bản Giáo dục, 1997
[12] Nguyễn Trọng Tuấn, Bài toán hàm số qua các kỳ thi Olympic, Nhà xuất bản Giáo dục 2004