Một 8ố bài toán truyền sóng trong môi trường đàn hồi có biến dạng ban đầu.
Trang 1T Ạ P C H Í K H O A H Ọ C N o 4 - 1 9 9 3
NÁ M TH EN BA N KHONG GIAN ĐAN HOI PHI T Ư Y E N ,
CO Ư N G SƯAT BAN DAƯ T H U A N NIIAT
Đào Vấn Dủng
Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đ ạ i học Tổng hợp Hà Nòĩ
Việc nghiên c ứ u sóng Lôvơ có một ý ng hĩ a t h ự c tiễn r ấ t lấn Vì vậy t u y là s ó ng cổ điển n h ư n g nhi ều n h à c ơ học v ã n qu a n t â m nghiên cứu Ịl, 4] Tuy nhiên các kết q u ả m ó i chì n h ậ n đ ư ợ c cho
m ộ t số trưcrng hợp đ ơ n giản Trong [5] đ ã nghiên c ứ u sóng Lôvơ cho môi t r ư cm g gồm n lớp n ằ m
t r ê n b á n không gian, đ ã n h ậ n được phưorng t r ì n h t á n sắc cho t rưcmg h ợ p x ấ p xỉ s ó ng dài V ấ n đề cần nghiên c ứ u t iếp là xây d ự n g p h ư ơ n g t r ì n h t á n sắc tổng q u á t ciia sóng L ô v a t r o n g mỏi t r ư ờ n g gồm n l á p n ằ m t rê n bá n khôn g gian Kết q u ả n h ậ n đ ư ơ c biểu t h ứ c giải tích c ủ a p h ư ơ n g t r i n h t á n sắc, t r o n g t r ư ờ n g h ợ p riêng t r ờ về các kết q u i t r o n g [1, 4, 5],
Xét môi t r ư ờ n g đàn hồi phi t u y ến có ứng s u ấ t t r ư ớ c gồm n lớp đ ư ợc p h â n c h i a b a n g các m ặ t
p h ẳ n g song song, n ằ m t rê n bá n không gian đà n hồi Đ ư a và o 2 hệ t ọ a độ: Hệ ( x [ J 1, X [2J 1 , xí / *) v à
v à hiến d ạ n g b a n đ ầ u là t h u ầ n n h ấ t [2, 3]
1 BÀI T O Á N
(1.2)
(1.1)
Khi đó p h ư ơ n g t r ì n h chuyển động mô t ả bồri hệ sau:
( / = 0 , 1, 2, , n; I, m, a , p = 1, 2,3, tổng t he o I, /9) (1.3)
Ở đ ây : j = 0 để chi các đại l ượng liên q ua n đến b á n không gian.
Tải t r ọ n g m ặ t khi z 3 = con st có d ạn g
Trang 22 S Ó N G M Ặ T L Ô V Ơ
G i ằ s ử sóng t r u y ề n t r o n g môi t r ư ờ n g vóri vể ctơ sóng Ả: (Ả:, 0 , 0 ) Xét sóng p h â n cực t rong m ặ t
p h ẳ n g Z \ O Z i đ ư ợ c đ ặc t r ư n g b ở i Ư 2 * Ỷ 0) = 0, ư — = 0 Khi đó phưcrng t r ì n h (1.3) có
d ạ n g sau:
T h à n h p h ầ n lực m ặ t khi Z3 = const
Đ ể t ì m ngh iệm (2.1) t a biểu di ễn d ư ớ i dạng
= Ữ 2 ^ ( Z 3 ) e x p t(/cZi — wr ) (2.3)
k hi đ ó đ ư ạ c xác dị nh n h ư sau:
T h à n h p h ầ n lực m ặ t khi Z3 = const
với
t r o n g đổ
V ^3223
CJ
V = — là vân tốc t r u y e n sóng Lôvơ
k
là v ậ n tốc t r u y ề n sóng n ga n g t h e o t rụ c O Z 2 khi p h ư ơ n g t r u y ề n sóng t heo o z 1
N g hi ệ m v ừ a t ì m đ ư ợ c ò t r ê n cần phải t h ổ a m ã n các điều kiện biên sau:
n m
1 TVên m ặ t Z 3 = h a t ự do đối với ứn g s uấ t
a = 1
Trang 3(2.8 )
2 S ự liên t ụ c t r ê n biên p h â n chia giữa lớp t h ứ j v à y + 1
Ạ Ị ^ Í À ! + • + hj ) = ẬỊ>+1,(Ã 1 + ' + h j )
( j = 0 , 1, , n - 1)
3 Điều ki ện t ắ t d ầ n c ủ a sóng khi Z 3 — ♦ —00 là ừ 2 ^ ——* 0 khi Z3
l áy s uy r a i4j = 0 v à a*°* là t h u ầ n ảo Kết h ợp với (2.7) suy r a r ằn g
V < K ,0).
(2.9)
0 0 T ừ điều kiện
( 2 10)
S a u đ ây s ử d ụ n g điều kiện biên đ ả nêu Trirớc h ết ch ún g t a viết (2.4) v à (2 6 ) d ư ớ i d ạ n g m a
t r ậ n
r - I •» * ể ì 1 p ị,ị[ J ì z * p - i a {j) z ì a [ j * ,
Ư) 1
( j ) ( 2 11)
C h ú ý r ằ n g de t [ C ( j , Ị / 0 nên gọi [ c ^ * ] ỉà m a t r ậ n ngược c ủa [ c ^ ] Khi đó t h a y (2.11) v ào điều kiện (2.9) t a t h u đ ư ợ c liên hệ sau:
( J + 1)
ư + 1)
(>) 1 ( j) [ c ^ + I »(fc, + • + /»,)] + - + M ]
(; = 0 , l , , n - 1)
Biểu d iễn m ộ t cách tưcmg t ự n h ư trên liên t iếp n lần t a n h ậ n đirợc mối liên hệ sau:
(2.1 2)
Ả \ ịn
[c,<2>(Ã1)]"1[c,(1>(fc1)] • [ c (1)(o)]"i [ c (0)(o)] ,(0)0
T h a y biểu t h ứ c (2.13) và o (2.8) v à n h â n các m a t r ậ n vóri n ha u , kết q u ả t a n h ạ n đ ư ợ c
(2.13)
t r o n g đổ
vậy
( 0 ) = 0 (2.14)
[ ỡ H ( M ] = [ c íê)(fci + ■ • • + M ] [ c (' > ( / n + • • + f c - i ) ] -1
Trang 4[ D ^ ( h ) ) =
°11
rf21 d {9) 22 .
a ( ' )‘Zl3223
a 1’ 11^3223 s i n a ('*/i, C O S a
sin a ’
Wfc.
N h ư vậ y t ừ (2.14) t a có t h ể t ì m đ ư ợc p h ư ơ n g t rì nh t á n sắc c ủ a bài t o án Sa u đ â y t a sẽ đi
x â y d ự n g công t h ứ c t r u y c h ứ n g c ủ a p h ư ư n g t r ì n h t á n sắc và trên c ơ sờ đó t ì m công t h ứ c tổng
q u ấ t c ủ a bài t oấn
1 C ô n g t h ứ c t r u y ch ứn g
G i ầ s ử gọi Fnì Fn - 1, Fn - 2 là v ế t rá i c ủ a các chưcmg t r ì nh t á n sắc (Fa = 0; a = n, n — 1,
n — 2) đối với môi trircrng gồm n l á p n - 1, n — 2 lớp n ằ m t rê n bá n khô ng gian Khi đó t a có mối liên hệ g i ử a c húng n h ư sau:
^21
C h ứ n g m i n h :
K ý hiệu
t = n - 3
Khi đó (2.14) sẽ có d ạ n g đơn giản n h ư sau
[ 4 “ ‘ 4 ỉ ’] t o ' — 0 ] [ o ' " - « ] [ ‘ ] 4 0 | o (2.17)
T ừ đ â y s a u khi n h â n các m a t r ậ n (2.17) với n ha u v à t ừ điều kiện ^ 2°^ Ỷ 0, n h ậ n đ ư ợ c v ế t r á i c ủ a
p h ư ơ n g t r ì n h t á n sắc đối với môi t rưcmg gồm n l ớp n ằ m t rên bá n khô ng gian
+ {4"'[á í r ^ i r 21 + ,(n-2)l 22 J r 22 [“ 21 + Á V k ? ~ 1)<í,1r,(n) r 12 2) + d í r I ì d i n -22 “ 22
(2.18)
M ộ t cách tircmg t ự t a xác định các hệ t h ức Fn _ 1 v à F n - 2
F n - 1 = ( 4 r 1, 4 r 2, + 4 r 1)4 r 2, ) f c + ( 4 7 _ 1,4 r 2) + 4 r 1, 4 r 2 , ) á
F„ _ 2 = < 4 r 2 | fe + < 4 r 2 | -<*
(2.19)
(2.20)
T ừ (2.19) (2 20) biểu t hị ồ v à d q u a Fn - ị v à Fn - 2 sau đó t h a y vào (2.18), sau iỸiột vài p h é p biến
đổi n h ậ n đ ư ợ c điều p h ả i c hứn g minh
+ d'ir 1, í ,n - a } (2 21)
4
Trang 5S ứ d ụ n g các biểu t h ứ c c ủ a d \ y t ro ng (2.15) viết Fn d ư ớ i d ạ n g hiển sau
t r o n g đó A , = a (í,)(2>3223 (5 = 0 , 1 , , n)
Ý n g h ĩ a c ủa (2 22) ồr chỗ nếu biết đư ợc các hệ t h ứ c đối vói n — 1 v à n — 2 t a h o à n t o à n t ì m
đ ư ợ c hệ t hức cho n
P h ư c m g t r ì n h t á n sắc t ổng q u á t c ủa bài t oán là
2 Phư cmg t r ì n h t á n sắc
T rê n c ơ sòr công t h ứ c t r u y c h ứn g (2.22) bằng phép quy n ạ p t a c h ứ n g m i n h đ ư ợ c r ằ n g
a) Nếu Tì = 2k (n c h ẵ n ) t hì
/2ẪC = A o J ~ Ị c o s + ( “ i ) E A , s in a à , n COS C L flh fl 4" * ' 4"
I , , 1 k )
2 k —2
<*!< <a2fc-J <*!*•• a J*-J y= 1 /»*(aẳ
+ ( - > ) 2fc~1 X ] Ẳ ” 1 A *” ' 1 n 8i n s ^ ) n c o s aph fi +
a l < < a u - l 017 a J f c - 3 j = l a 3 f c - l )
b) Nếu n = 2k — 1 (n lề) t a CÓ
/ 2/C-1 — A() n cos a„hẠ + ( —t) £ A , sin a , Ẵ, n COS CLphp + • • •
/ » € ( 1 2 k — i )
2ẮC_3
° 1 < < a i f c - i 0, 2 a a f c 4 y = 1 / > # ( * > 1 a 7 k - i )
a l < < a 7 k - 7 0, 1 4t 7 k - 3 ; = 1 / * # ( ' * 1 a 3 f c - a )
y= 1 +
Trang 6-C h ứ n g m i n h (các b ư ớ c chính)
T a s ử d ụ n g phưc mg p h á p quy n ạ p t oán học
V ó i n = 1 v à n = 2 hiển nhiên (2.24), (2.25) là đ ú n g vì
Fi = A o c o s a i / i i + ( - t ) A i sin a ì h ìl
F 2 — A o c o s c i i h i COS (I2/12 + ( — %) A i s in a i ^ i COS CI2/Í2 +
+ ( —1) A 2 sin a 2/i2 COS d ị h ị + (—t) —^ — sin d ị h i sin a2^2
Ai
V ới n = 3 công t h ứ c đ ú n g vì biết Fị v à ^ 2» d ự a y ào (2.22) t a xác đ ị n h đ ư ợ c / 3 b ằ n g
F 3 = An Ị ] [ COS a , / i , + ( ~ i ) ^ A , sin a , A, 008 0 ^ 0 +
+ ( - t ) 2 5 1 n coi a p ĩ i ị Ị + ( - i ) 3 ^ £ 1 Ỵ [ sin a j h j
B ằ n g c á c h t ưc mg t ự biết /*2, F 3 t a t ìm đ ượ c F4f công t h ứ c đ ú n g khi n = 4 c ứ t iếp t ục n h ư v ậy giầ s ử (2.24), (2.25) đ ú n g đ ến n = 2k — 1 và n = 2k — 2 t a c h ứ n g m in h công t h ứ c đ ú n g c ho n = 2Ắ:
T h ậ t v ậ y s ử d ụ n g công t h ứ c t r u y c h ửn g (2.2 2 ) t a có:
I F 1 cos a 2J c - i ^ 2fc-i sin a 2/c_i/i2ic- 1 \
COS a 2fc-i/l2Ảc-l-^2fc-2j 7 - : - f - 7 - - * 2k — 2 í
A 2fc-1 sin a 2i c - i ^ 2fc-i ^ 2ẢC-1 (2 2 6 )
VI t h e o giả t h i ế t qu y n ạ p F 2 k - 2 v à F 21 C - 1 đ ã biết nên t h a y hệ t h ứ c c ủ a c h ú n g t h e o (2.24) (
vóri chi số 2 k t h a y bổri 2k — 2) v à (2.25) vào (2.26) và t h ự c hiện các b ư ớ c t í n h t o á n sau:
l ị = COS d2fc/i2fc ^2ẮC-1
COS a 2k - i ^ ' 2k - ỉ
h = h
_ sin a 2f c-i/i2Ẳc-i r
i 4 = y3 - - • " 2 k — 2
& 2 k - ì
/5 = ĩ \ - & 2 k sin a 2 k ^ 2 k
T a n h ậ n đ ư ợ c
Biểu t h ứ c cuối c ù n g n ày d ã n về c hính công t h ứ c phải c h ứ n g m i n h (2.24)
3 M ộ t vài t r ư ờ n g h ợ p riêng
1 Nế u n = 1 t ừ (2.23) (2.25) n h ậ n được p h ư ơ n g t r ì n h t á n sSc c ủa sóng Lôvor n h ư sau
Trang 7a<) 0*3223 C0S a l ^ l ”■ i a 1^3223 s*n a l ^ l = 0 (2.28)
Nếu môi t r ư ờ n g là đàn hồi t u y ế n tính, không có ứ ng s uấ t t r ư ớc (2.18) trỏr về công t h ứ c xác
đị nh sóng Lôvơ cổ điển Ị1, 4j
2 T r ư ờ n g hợp x ấ p xỉ sóng d à i (2.24) (2.25) t rờ về kết q u ả t ư ơ n g t ự [5] đ ã n h ậ n đ ư ợ c b ằ n g
p h ư ơ n g p h á p khác
T ÀI LIỀU T H A M KH ẨO
1 B H o b b i ị k h A TeopHH yripyrocTH; M n p , MocKBa, 1975.
2 A H T y a b ycToftMHBocTfe Ten npn KOHeMHbix AeộopMauHHX K; “HayKOBa AỴMKa” , 1 9 73
3 A H T yab; Jle MHHb K x a n b PacnpocTpaHeHHe BOJIH B K0Mn03HTHbix cJioftcTbix MaTe-
p w a ^ a x c 6 o j i i > i i i h m h H a Ma n b H b i MH A e ệ o p M a u H H M M r i pHKJ i M e x a H H K a , 1 9 7 6 , 1 3 , JN& 1, c
3 - 1 1
4 JI Ai B p e x o B C K H X Bo j i h l i B c JioflcTbix cpeAax M3A AH CCCP, M., 1957
5 P h ạ m C h í Vĩnh Một 8ố bài toán truyền sóng trong môi trường đàn hồi có biến dạng ban đầu (Tóm tắt luận án PTS, Hà Nội, 1986)
ON T H E Ì OVE WAVES IN A N O N - L I N E A R E L A S T I C N - L A Y E R E D M E D I U M
O V E R H A L F S P A C E W I T H I NI TI AL H O M O G E N E O U S S T R E S S
Dao Van Dung
Faculty of Mathemat ics , Hanoi University
M any p r obl ems of interest in geophysics and acoustics involve p r op a g a t i o n of elastic d i s t u r bances in a layered half space In this paper, a p r o p ag a ti on of Love waves in a n o n - l i n e a r elastic n-layered m e d i u m over half space wi th initial homogeneous stress is considered A general f o r m ul a
of dispersion is given In p a r t i c u l a r cases, form t h a t general formula, w e ’ve received t h e res ul ts in
[1, 2, 6].