DSpace at VNU: Song ánh bảo toàn hình thoi và khái niệm dàn con co được

Vietnamica, Nol, Vol.

T Ạ P CHÍ KHOA HỌC N o 4 - 1993

SONG ÁNH BẢO T O À N HÌNH THOI

VÀ KHÁI NIỆM DÀN CON c o D ư ợ c

N g u y ề n D ứ c Đ ạ t Khoa Toán - C ơ - Ti n học, Đ ạ i học Tổng h ợp Hà Nộ i

§1 M Ở ĐẦU

N ă m 1978 G G r a t z e r ỊlỊ đ ã nễu bài toán: “T ì m điều kiện để d à n S u b (L) xác đ ị n h d à n L t&i

m ử c đ ẳ n g c ấ u ”

Tr o ng bài “Về bài t o á n c ủa G r a t z e r ” Hoàng Minh C h ư ơ n g [2j đ ã t r ì n h bày đ ị n h lý: “C h o hai

d à n L, V b ấ t kỳ, S u b (L) ~ S u b ( ư ) <=> có (p : L —► V là song á n h bầo t oàn h ì n h t h o i ”

Bài n à y nghi ên c ứ u q u a n hệ t ư ơ n g đ ư ơ n g p t rê n L xác đị nh bỏri song á nh bảo t o à n h ì n h thoi

<p nêu t rê n Kết q u ả ch ín h c ủ a bài là định lý 2.5 nêu t ro ng §2 X u ấ t p h á t t ừ đị nh lý c h ú n g t ôi đề

x u ấ t kh ái ni ệm “d à n con co đ ư ợ c ” Áp d ụ n g khái niệm n à y ch ún g tôi đ ả giải q uy ế t có k ết q u ả bài

t o á n c ủ a G r a tz e r

§2 C Á C K H Á I N I Ệ M VÀ K Ế T Q U Ả C H Í N H

C h o <p : L — ♦ ư là m ộ t song ánh bảo t o à n hì nh thoi, t rong đó L, ư là hai d à n b ấ t kỳ Tr ễn

L có q u a n hệ Po’

f a > b , p ( a ) < <p(b) hoăc

a Po à neu <

1 a < b, <p( a( > <pịb).

V à d o đó có q u a n hệ t ư ơ n g đ ư ơ n g p sinh bỏ'! Po'.

M ị a = b hoăc

I 3i 0 = 1 • • •» z n —If Xfi = 6 : X ị p o X ị ^ 1, t € 0, fi 1.

N h ư v ậ y t ưc mg đ ư ơ n g p đ ượ c hoàn t o à n xác đị nh b ở i <p.

Đ i n h n g h ĩ a 2 1 : C h o song á nh b i o t o à n hình thoi <p : L —♦ V Q u a n hệ tưcrng đ ư ơ n g t r ê n

L sinh bỏ^i q u a n hệ Po đ ư ợ c gọi là q ua n hệ t ư ơ n g đ ư ơ n g xác đị nh b&i (p v à đ ượ c ký hiệu là p(<p)

hoặc p.

Chú ý: T h e o đ ị n h nghĩ a, hai phần t ử a ,6 6 L, a Ỷ b, t ư ơ n g đ ư ữ n g với n h a u t h ô n g q u a các

phần t ử Xo, X \ y , x nì trong đó ta nhận thấy:

a) N ếu 3i sao ch o Xị < Xị + 1 < 2 t+ 2 hoặc Xi > Xị +I > xt + 2 th ì các phần t ử x 0 ,X i

Xi+ 2 i • • • > x n xác đị nh a p b.

b) N ếu 3t, j 0 < % < J < n sao cho Xx = Xj thì các phần t ử x 0 , xì } , Zj, , x n xá c địn h a p b ( t n r ờ n g h ạ p j = n th ì các phần t ử Xị , x % = b xác định a p b).

T ừ n h ậ n xét này t a có đị nh nghĩa:

Đ ỉ n h n g h ĩ a 2.2: C h o a p b td â y u = (xo, * 1 , , x n ) t r on g đổ Xo = a, x n = b đ ư ợ c gọi l à

dãy xác đ ị n h a p b v ờ i độ dài d(u) = n, nếu:

(1) x P o * t +1, t € 0 , n - 1,

(3) X ị > X i + I < = > X i + ị \ X i < X + 1 < = > X i + 1 > X i +2, » € Õ , n - 2.

CAú ý: a) Nếu d ã y u đồng t h òi là d â y chuyền t h ì t a nói u là d â y c huyền xác đị nh a p b.

b) Để t h u ậ n tiện t a ký hiệu a s b nếu a 30 s ánh 6 v à a II 6 nếu a không so s á n h b.

B ổ d ề 2 3 : Nếu a p b đ ư ợ c xác đ ị nh bả*i d ẵ y u = ( a , x i , x 2 ,ò) t h ì hoặc u là m ộ t d â y chuyền, hoặc có t h ể t h iế t lập t ừ u m ộ t d ãy V xác định a p b vó i d(v) < 2.

( C h ú ý r ằ ng khi d(v) = 2 t h ì V v ẫ n có t hể là d ây chuyền).

C h ứ n g m i n h : Vì p đối x ử n g nên t a xem u = (a, Xi, X2 , b) với a < X\ Xé t q u a n hệ gi ữa

a v à % 2 '.

(i) a II x 2 : Xét h ì nh t hoi (a, X2 \a A X — 2, a V X2).

1) Nếu <pịa A X2) > ^ ( a ) t hì £>(a A I 2 ) > ^ ( ^ 2) > ¥?(&)• Vậ y chọn t; = ( a , a A x 2 ,b) ( H l )

V i a A X ị )

ỷ ( * t ) ự>(Q)

r ( a * x 2 )

9 ( b )

Hình 1 2) Nếu <p(a A I 2) < v?(a) t h ì £>(a V X2 ) > £>(*2) > do đó a A I 2 Sb

2a) a V X2 < f>, t heo (H.2) t a chọn V = (a, ồ)

2b) a V X2 > 6, th eo (H.3) ta chọn V = (a, Xj, 6).

a/ i x i

Via)

<p l a VXỊ )

>r(p(aAXỊ )

V l ô )

0 / X 2

a A X ỉ

(ii) a S x 2 : x é t 2 tr ư ờ n g họrp a < %2 v à a > 12 :

1) a < X2 : suy r a a < X2 < 6 v à d o đó y?(a) 5 <£>(6)

l a ) Nếu <p(a) > <p(b) chọn V = ị a , b )

l b ) Nếu <p(a) < <p(b) thì <p(b) > <p(xỵ) (vì <p(a) > ^ ( x ị ) ) Suy r a b Sx ỵ V ậ y a ì x ì ì x 2 ì b làm

t h à n h một d â y chuyền

r ỉ Xi)

<f(ố)

W f a A x t )

2) a > %2 : Nếu <p(a) < V?(x2), chọn u = ( a t X 2 ,b), còn nếu <p(a) > <pịx2) t h ì £>(a) > <p(b) (vì

^>(x2) > ^ (^ ) )- Vậ y a 5 ò Nếu a < 6, chọn lí = (a, 6), còn nếu a > 6, có dâ y chuyền x 2 < b < a < X 1.

Bổ đề 2.3 đ ã đ ư ợc c h ứn g minh

B ổ d ề 2 4 : Nếu a p b v à a Ỷ t hì cổ dã y ti xác đị nh a p b d ư ớ i một t rong hai d ạng sau:

1) u là d ã y có độ dài d = 2

2) ti là m ộ t d â y chuyền

C h ứ n g m i n h : G i ả s ử Uo là dã y xác đị nh a p 6, t a c h ứ n g mi nh b ằ ng q u y nạ p theo d(iLo)

rằng có th ể th iế t lập t ừ Uo d ã y u v ó i d ( u ) = 2, hoặc dây ch u yền u sa o cho ti x á c định a ọ b:

Nếu d(uo) < 2 t hì u = Uo.

Nếu d(uo) — 3 t hì á p d ụ n g bổ đề 2.3.

G i ả t hi ết đối với các trưÒTig h ạ p d(u'0) < n, dã y ti đ â đ ư ợ c thiết lập, xét d ã y tiQ với d ( u 0) =

n -h i G iả s ử u0 = (a, a', l i , x n _ i , 6) v ớ i a > a' Xét d ã y u x = (a', X ị t Xw-1» 6): Ui XẮC định

a ' p ò v à có íi(tii) = n T h e o giả t hiế t qui nạp, có 2 t r ư ờ n g h ợ p (i) v à (ii) d ư ớ i đây:

(i) t ừ Uị lập đ ư ợ c d ã y V = ị a \ X, ố), độ dài 2, xác định a' p b.

Nếu X < a ' , b t h ì t a có u = (a, X, 6)

N ếu X > a', ò, chọn u = (a, ò) khi a = X, còn khi a ^ I áp d ụn g giả thiết qui nạp vì (a, a', X, 6)

có á = 3

(ii) T ừ Ui lập đ ư ợc d â y chuyền t; xác định a' p b B ằ n g qui n ạ p t heo d(v) t a x â y d ự ng d ã y u

xác đ ị nh a p b n h ư yêu cầu c ủ a bổ đề:

a) d(v) = 1 t ức V = ( a; ,ò): nếu a' > b chọn u = (a, ò) còn nếu a' < ò, có ngay u = ( a a ' , ò )

b) d(t/) = 2 , t r ư ờ n g h ợ p đặc biệt của (i)

c) G i ả t h iế t v ớ i các d â y chuyền t /, d(v') < k , dãy u đ ã đ ượ c xâ y d ự n g , x ét dâ y chu yề n

V = (a', X ị 9 6) Nếu a' > 6 t hì a > a ; > 6, còn n ế u a ' < ò t hì v?(a) > ^ ( a / ) > v?(a )- Vậy

a S6 v à d o đ ó a , a ! , X ị , £/ c_ 1, 6 k h ô n g là m t h à n h d â y c h u y ề n < = > 3t € i , /c — 1 sao c h o a II X,

( H, 4)

//ìn/i ^

T r ư ờ n g h ạ p 3!t = 1 t h ì x 2S a và vì I 2 < x ì nẻ n x2 < a v à <^(£2) > ^ ( a )) <£>(2 ) ( theo t ính

c h ấ t c ủ a h ì nh thoi) Vậ y u = (a, 12» •••» Zfc-1* &) là dây chuyền cần tìm

T r ư ờ n g h ợ p i Ỷ 1 x é t d ã y u ' = (a, a', x t ) 6) n ế u I, > x t + 1, ti' = (a, a ; , X ị + > J 1 , 6)

nế u Xị < Xi + I- Vì <i(u') < Ả: nên t heo t ác giả thiết qui n ạ p ( theo d(v)) t a có d a y u.

P h é p c h ứ n g m i n h b ằ n g qui nạ p t heo d ( u tì) kết t hú c, bổ đề 2.4 đ ư ợc c h ứ n g m i ni

Đ i t t h lý 2 5 : C h o <p : L — ♦ V là m ộ t song á nh b i o t o àn hình t hoi v à A v ới \A\ > 1 là 1 lớp

t ư cmg dưcmg t h eo q u a n hệ p(<p) Khi đó:

(a) A là d à n con lồi.

(b) Nếu (a, 6; c, d) là một hình t h oi t r o n g L t hì c € A <==> d € A.

C h ứ n g m i n h :

1) Chứĩig m i n h A là d àn con: C h o a, 6 € A, nếu a Sb t hì hiển nhiên a A 6, a V b (E A Nếu a II ò,

3 x £ A sao cho (a, I , 6) xác đ ịnh a p b (bổ đề 2.4) Kh ô ng m ấ t t ín h tổng q u á t , t a coi X < a, 6, suy

ra X < J A 6, v à do đó a A 6, a V ò t ư a n g đưcmg v ớ i X. V ậ y a A 6, a V 6 € A.

2) C h ứ n g m i n h A có t ính c hất lồi: G i ả s ử a, ỏ 6 A v à a < z < ò, cần c h ử n g m i n h z £ A.

N ể i <p(rt) < <£>(6) hoặc <p(a) > <£>(6) t hì hiển nhiên 2 € A vậy giả s ử <£>(a) < <p(z) < <p(b) Vì

a, b € / nên có d â y chuyền u = (a, Xi, x n _ i , 6) xác định a p b (bổ đề 2.4) C h ứ n g m i n h z € A

b ằ ng qui n ạ p t h eo d —

a) i = 2 : u = ( a , ! , 6), có t h ể giả t h i ế t X < a, ò W x < a < z v k <p(x) > <p(b) > <p(z) nên

z pQ X, 3uy ra z € A

b) Già s ử v ớ i d < n — 1 đã ch ứ n g m in h xo n g , giả s ử ti = (a, X ị f , 6) N ếu 2 Po X\ thì

z € A , :òn nếu k hô n g, ta xét a v à X ị i tr ư ờ n g h ạ p Tị < a thì X\ < z < b v à <p(xi ) < <p(z) < <p(b),

t rư cm g hcrp X\ > a thì <p(xi) < <p(a) < <p(z) nên cũng dề d à ng suy r a l i < z < b v à <p(xi ) <

<p(z) < <p(b). V ì d â y chuyền ( l i , X n - 1 , ò) xác định Xị p 6, có độ dài n — 1 nền th e o giả t h iế t qui

n ạ p z e A.

3) C h o ( a , 6; c , d ) là m ộ t hình t h oi t r ong L và c < d T a c h ứ n g m i n h c £ A => d G Ả, (d £ A => c G A c h ứ n g m i n h t ư ơ n g t ự ) Nếu <p(c) > <p(d) t h ì rõ r à ng d E A, vậy giả t h iế t

<p(c) < p ( d ) Vì c 6 A nên 3 x 6 A để c po X. T ừ t í nh c hất ciia hình t hoi suy r a d Po V ậ y d G A.

Đị n h Ịj 2.5 đả đ ư ợ c c h ứn g minh

Bây giờ t a giả t hi ết d à n L có A là d à n con t h ự c s ự với \A\ > 1 v à t h ổ a m ã n các điều kiện (a), (b) nê u t r o n g đ ị nh lý Tn-n L đ ị n h n ghĩ a t ư ơ n g đẳng p ( A ) m à một l óp t ư ơ n g đ ư ơ n g là A

Cò n cá- l ó p kh ác chỉ gồm 1 p h ần t ử Đồng cấu t ự nhiên L —* L / p ( A ) đồng n h ấ t d à n con A vó i 1

p h ầ n t r t huộc d à n t h ư ơ n g L / p ( A ) v à bảo t o àn t ấ t cả các hình t hoi không t h uộc A Do v ậ y t a có

đị nh nghĩa:

Đ i n h n g h ĩ a 2 6 : C h o d à n L b ấ t kỳ, d à n con t h ự c s ự A với |i4| > 1 gọi là d à n con co đ ư ợ c

c ủa L lếu:

(a; A là d à n con lồi.

(b (a, 6; c, d) là hình t hoi t r o n g L t hì c € A <==> d € A.

v \ ỉong ánh bảo toàn hình th oi biến dàn COĨ1 co đ ư ợ c th àn h dàn con co đ ư ợ c nền ta có th ể

t h ấy :

(A Nếu d à n L có d à n con co đ ư ợ c t h ì cỏ <p : L — ♦ L' là song á n h bảo t o à n h ì n h t h o i m à <ọ

k hô n g là đ ẳ ng c ấu, c ũ ng kh ông là đối đ ẳ n g cấu

(B Nếu d à n L k hông có d à n con co đ ư ợ c t h ì mỗi song á nh bảo t o àn hình t h oi <p : L — ♦ ư

chì có tiiể là đ ẳ n g c ấu hoặc đối đ ẳ n g cấu

K l a n g đ ị nh (B) ( t r ìn h bày ò bài sau) tưcmg đ ư ơ n g với:

(C d à n L k h ô n g có d à n con co đ ư ợ c thì S u b (L) xác định L t ới m ứ c đ ẳ n g cấu hoặc đối đ ẳ ng

cấu

T r m g [2] H o à n g Minh Chưcmg đ ã c h ứn g m i n h định lý: “Dàn L m o d u l a , chiều cao h ử u h ạn

đ ị a p h ư ơ n g , k hông p h â n tích t u y ế n t ín h được t hì S u b (L) xác đị nh L tới m ứ c đ ẳ n g cấu hoặ c đổi

đẦng c ấ u ”

C ó t h ể c h ứ n g m i n h đ ư ợ c các d à n m o d u l a không p h ân tích t u yế n t ính đ ư ợ c là các d àn không

có d à n con co được Do vậy lớp d à n không có d à n con co đ ư ợ c m à chúng tôi đ â chl r a là k h á lcrn

T À I LIỆƯ T H A M K H Ả O

1 G G a t z e r , General Lattice Theory, Akademie-Verlag-Berlin 1978

2 H o à n g Mi nh C h ư ơ n g , On a Gratzer’s Problem Acta Math Vietnamica, Nol, Vol 10(1985), 134 -143

B I J E C T I O N S P R E S E R V I N G S Q U A R E S

A N D C O N C E P T O F C O N T R A C T I B L E S U B L A T T I C E S

Nguyen Due Dat Faculty of m a t h e m a t i c s , Hanoi University

In t h e s t u d y of G r a t z e r ’s problem: “Fi nd conditions on a lattice L u n d e r which S u b (L)

d e t e r m i n e s L u p t o i s o m o r p h i s m s ” (see [l]) there is result: “ Let L, Ư be l at ti ces t h e n S u b (L) ^

S u b ( Ư ) if a n d only if t h er e is a bijection <p : L —<► Ư pr es er ving s qu a re s ” (see [2 ]).

W i t h t h is bijection pr eserving squares <p we define on L t h e rel ati on Pi) by agreeing t h a t a Po b

if e i t h e r a < 6, <p(a) > <p(b) or a > b, <p(a) < <p(b) Denote by p(<p) t he equivalence ge ne ra te d by

P q We have:

T h e o r e m : Let <p : L — ♦ Ư be a bijection preserving squa re s a nd A an equivalence class of p(<p) w i t h |j4| > 1 The n:

(a) A is a convex sublat ti ce,

(b) If (a, ò; c, 6) is a s qu ar e on L t h en c € A <=> d e A.

T h e t h e o r e m leads us to the following notion:

D e f i n i t i o n : A p r o p e r s u bl at ti ce if i4 of a lattice L w it h \A\ > 1 is called a c ontr act ible

s u b l a t t i c e if A satisfies t he c ondit ions (a), (b) in t he t heor em.

In s o m e p a p e r s will be published we will i ntroduce t h e results of resolving t he G r a t z e r ’s

p r o b l e m by vising t he not ion of con tr act i bl e sublattices