tổng hợp các công thức giải nhanh toán học 12, chuẩn bị cho ôn thi đại học, đặc biệt là thi trắc nghiệm, giúp giải nhanh các bài tự luận trong khoảng thời gian ngắn, phù hợp với thi trắc nghiệm THPT quốc gia
Trang 1b
b
b4
16a2
b
3
8a 8a
4 a
2a
2
ax4bx2c
MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN LÀM
NHANH TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN
Sưu tầm – Biên soạn lại: Đoàn Công Chung
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số y
Phương trình đường tròn đi
qua A, B,C : x2 với n
b 4a
a 0 : 1 cực tiểu
a 0 : 1 cực đại
a 0 : 1 cực đại,2 cực tiểu
a 0 : 2 cực đại,1 cực tiểu
Hàm số
5
có 3 cực trị
Với a 1,b m 2015
Từ 8a b3 0 b3 8 m 2017
Trang 2Tam giác
3 0 m? để hàm số y9 x4
có 3 cực trị tạo
8 thành tam giác đều
Với a 9 ,b 3 m 2017
8
Từ 24a b3 0 b3 27 m 2016
BAC 8a b3
.tan2
0 2
m? để hàm số y 3x4
m 7 x2
có 3 cực
Với a 3,b m 7
Từ 8a 3b3 0 b 2 m 5
S ABC S0 32a3S2 b5 0
0 m? để hàm số y mx4 2x2m 2 có 3 cực
trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1
Với a m,b 2
Từ 32a3S2 b5 0 m3 1 0 m 1
0
b5
S0 3
32a
m? để hàm số y x4 2 1 m2 x2 m
1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất
Với a 1,b 2 1 m2 .
5
Từ S 1 m2 1 m 0
0
r ABC r0
b2
r0
b3
a 1 1
a
m? để hàm số yx4
mx2 3
có 3 cực trị tạo thành
2
tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1
Với a 1 ,b m Từ r m 2
BC m0 am2 2b 0
0 m? để hàm số y m2 x4mx2 1 m có 3 cực trị
Với a m2
,b m Từ am22b 0 m 1 vì m 0
0
AB AC n0 16a2n2 b4 8b 0
0 m? để hàm số y mx4x2 m có 3 cực trị
Với a m,b 1
Từ 16a2n2b4 8b 0 m 3 do m 0
0
Trang 3B,C Ox b2 4ac 0 m? để hàm số y x4 mx2 1 có 3 cực
Với a 1,b m,c 1.
Tam giác
cân tại
A
Phương trình qua điểm cực trị
3
BC : y và AB, AC : y b x c
Tam giác có
3 góc
nhọn
8a b3 0 m? để hàm số y x4 m2 6 x2 m 2 có 3
cực trị tạo thành tam giác có 3 góc đều nhọn
Với a 1,b (m2 6)
Từ 8a b3 0 b 2 2 m 2
Tam giác
có trọng
tâm O
b2 6ac 0 m? để hàm số yx4 mx2 m có 3 cực trị tạo
thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng
tâm
Với a 1,b m,c m
Tam giác
có trực
tâm O
có 3 cực trị tạo thành tam giác có trực tâm
O.
Với a 1,b m,c m 2
Từ b3 8a 4ac 0 m 2 do m 0
R ABC R0 R b3 8a
0
8 a b
m? để hàm số y mx4x2 2m 1 có 3 cực
trị tạo thành tam giác nội tiếp trong đường tròn có bán kính
R 98
b3 8a
Với a m,b 1 Từ R0
Tam giác
cùng O
tạo hình
thoi
trị cùng gốc tọa độ O lập thành hình thoi.
Với a 2,b m,c 4
Tam
giác,
tâm O
nội tiếp
c 0 m? để hàm số y mx
trị lập thành tam giác có O là tâm đường tròn
nội tiếp
Với a m,b 2,c 2
3
Trang 4Tam giác,
tâm O
ngọai tiếp
c 0 m? để hàm số y mx
lập tam giác có O là tâm đường tròn ngoại
tiếp
Với a m,b 1,c 2m 1.
Từ b3
8a 8abc 0 m 0,25 do m 0
Hàm số
y có trị3 cực A Oy, B,C tạo thành:
Tam giác
vuông
cân tại A
a b3 0 m? để hàm số y x4
thành tam giác vuông cân
Với a 1,b m 2016
Từ a b3 0 b 1 m 2017
0 m? để hàm số y 9x4
Với a 9,b m 2020 Từ
3a b3 0 b 3 m 2017 BAC a b3
.tan2
0 2
m? để hàm số y 3x4
2017 có 3 cực
Với a 3,b m 2018
Từ a b3.tan2 6000 b 1 m 2017
S ABC S0 a3S2 b5 0
0 m? để hàm số y mx4 4x2 2017m
2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 2
Với a m,b 2 Từ a3S2b5 0 m 1
0
R ABC R0
R 1 b2 a
0
2 a b m? để hàm số y mx
4
2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính ngoại tiếp bằng 1
Với a m,b 1 Từ R 1 b2 a m 1
0
Trang 5axb cxd
c2
axb cxd kxm
BxC0
p.D2.C
r ABC r0
b2
r0
b3
a 1 1
a
m? để hàm số y x4 2 m 5 x2 2016m3
2017 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính nội tiếp bằng 1
m 7
Với a 1,b m 5,r0 1 b 2;1
m 4
Tiệm cận: Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị
hàm số y
min d
đến 2 tiệm cận đạt
Tương giao: Giả sử
d : y cắt đồ thị hàm số y tại 2 điểm phân biệt M, N.
Với kx
m
ax
b cx d
cho ta phương trình có dạng:
Ax
MN k
2
A2
1 x2
cân tại
O
2k
m 0
OMN vuông tại
O
x x 1 k2 x x
km m2 0
MN ngắn nhất khi tồn
tại
Khối đa diện:
loại n, p có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì n.M hoặc
Euler : D M 2 C
Khối đa diện
đều
Số đỉnh
Số cạnh
Số mặt
Kí hiệu
Thể tích
V 2 a3
12 Khối lập
Trang 6Khối bát diện
3 Khối thập nhị
diện (12 mặt)
đều
3
4 Khối nhị thập
diện (20 mặt)
đều
3
12
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan thể tích khối chóp
Cho hình chóp SABC với
các mặt phẳng SAB ,
SBC ,
SAC vuông góc với nhau
từng đôi một, diện tích
các tam giác SAB, SBC,
SAC lần lượt là S1 ,S2 ,S3
2S S S
A
S
C B
Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng SAB , SBC , SAC vuông góc
với nhau từng đôi một, diện tích các
tam giác SAB,
SBC, SAC lần lượt là 15cm2 ,20cm2 ,
18cm2
a3 20
3
a 3 20 a 3 20
2S S S
V 1 2 3 a3 20
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp S.ABC có
SA
vuông góc với ABC ,
hai mặt phẳng SAB và
SBC vuông góc với
nhau,
BSC , ASB
Khi đó:
SB3 .sin 2 tan
V S.ABC
12
S
B
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , hai mặt phẳng SAB
và SBC vuông góc với nhau, SB a 3
,
BSC 45 o , ASB 30 o Thể tích khối chóp
S.ABC là:
3a3 a3
6 a3 2 a3 3
A.
SB3 .sin 2 .tan 3a3
V S.ABC
Trang 7Cho hình chóp đều S.ABC
có
đáy ABC là tam giác đều
là
tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a Thể tích khối chóp S.ABC là:
a3 3 a3 2 a3 2 a3 3
a3 2
a b V SABC
12 Chọn đáp án B.
cạnh bằng a, cạnh bên
bằng b.
a2 3b2 a2
Khi đó: V S.ABC
12
G M B
Cho hình chóp tam giác
đều
S
M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với
mặt phẳng
là :
a3 3 a3 a3 3 a3
a3 tan a3 3
V SABC
C.
S.ABC có cạnh đáy bằng a
và
mặt bên tạo với mặt
phẳng
đáy góc
a3 tan
Khi đó: V S.ABC
24
Cho hình chóp tam giác
đều
S
G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có các cạnh bên bằng 2 và cạnh bên
Thể tích khối chóp S.ABC là :
3b3 .sin cos2 33
V S.ABC
Chọn đáp án A.
S.ABC có các cạnh bên
bằng b
và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc
Khi đó:
3 b3 .sin cos2
V S.ABC
4
Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có các cạnh
đáy bằng a, cạnh bên
tạo với mặt phẳng đáy
góc
a3 .tan
Khi đó: V S.ABC
12
A B
S
G M
C
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có các cạnh đáy bằng a, mặt bên
tích khối chóp S.ABC là :
a3 a3 a 3 3 a 3 3
a3 tan a3 3
V SABC
D.
Trang 8C
D
O B M
A
ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và
SA SB SC SD a Thể tích khối chóp
S.A BCD là:
a3 6 a3 2 a3 2 a3 3
Chọn đáp án C.
vuông cạnh bằng a, và
SA SB SC SD b
Khi đó:
a2 4b22a2
V S.ABC
6 Cho hình chóp tứ giác đều
B A S
O C M D
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
cạnh
đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên
khối chóp S.ABCD là:
a3 a3 3 a3 6 a3
a3 tan a3
V SABCD
D.
S.ABCD có cạnh đáy bằng
a,
góc tạo bởi mặt bên và
mặt
phẳng đáy là
a3 .tan
Khi đó: V S.ABCD
6
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng
a,
4 2 Khi đó:
a3 tan2 1
V S.ABCD
6
C D S
O B M A
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
khối chóp
S.A BCD là:
a3 2 a3 2 a3 6 a3
a3 tan2 1 a3 2
V SABCD
Chọn đáp án B.
Cho hình chóp tứ giác đều
B A S
O C M D
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
các cạnh bên bằng 1, góc tạo bởi mặt
chóp S.ABCD là:
S.ABCD có các cạnh bên
bằng
a, góc tạo bởi mặt bên và
mặt
2 Khi đó:
4a3
.tan
V S.ABCD
2 3
3 2 tan
S.ABCD
27
Trang 9Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a Gọi P là mặt
phẳng đi qua
A song song với BC và
vuông góc với SBC , góc
giữa P
với mặt phẳng đáy là
a3 cot
Khi đó: V S.ABCD
24
S F N
x
G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi P là mặt phẳng
đi qua A song song với BC và vuông góc với
SBC , góc giữa P với mặt phẳng đáy
là 300
Thể tích khối chóp S.ABC là:
a3 3 a3 3 a3 3a3
a3 cot 300 a3 3
V SABC
án A
Khối tám mặt đều có
đỉnh là tâm các mặt của
hình lập phương cạnh a.
a3
Khi đó: V
6
O' D'
O
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các
mặt của hình lập phương cạnh a có
thể tích là:
a3 a 3 3 a3 a 3 3
A
Chọn đáp án C.
Cho khối tám mặt đều
cạnh
a Nối tâm của các mặt
bên ta được khối lập
phương
2a3 2
Khi đó: V
27
S
G2 D
A G1
N M
S'
Cho khối tám mặt đều cạnh a Nối
tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có
a3
thể tích bằng V Tỷ số gần nhất giá trị
V
nào trong các giá trị sau?
A 9,5 B 7,8 C 15,6 D 22,6
2a3 2 a3 27 2
Chọn đáp án A.