Hòn đảo cách bờ biên 6 km.. Goi C la diém trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biên.. Người ta cân xác định một vị 1,04 trí D trên AC đê lắp ông dân theo đường gâp khúc ADB... Tìm tọa độ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KY THI CHQN HOC SINH GIOI TINH
HAI DUONG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN THỊ: TOÁN HUONG DAN CHAM Ngay thi: 04 thang 10 nam 2017
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) (Điểm toàn bài lẫy điểm lé đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa)
1) Tim tất cả các gia tri cua m dé (C,) y=x°>—3mx+1 co hai diém cuc tri A, B sao cho (1,08)
diện tích AIAB bằng 8/2 với I(2;1)
(C„) có hai điểm cực trị A, B PT (1) có 2 nghiệm phân biệt < m > 0 °
Khi đó: 4(jứm;~2mlm +1), BÍ—m;2mlm +1)
Ta có: AB =.|4m 4m’ +1), d(I;AB)= | = (Dom > 0)
Sy spr = ~-AB.d (I; AB) =—./4m(4m? +1), = =8)2 vaBl ~ > ( ) 2 m{ m ) Jam? ai 0,25
Kết luận: m = 2
2) Một công ty muôn làm một đường ông dan dâu từ một kho A ở trên bờ đên một vị
trí B trên một hòn đảo Hòn đảo cách bờ biên 6 km Goi C la diém trên bờ sao cho BC
vuông góc với bờ biên Khoảng cách từ A đên C là 2 km Người ta cân xác định một vị (1,04) trí D trên AC đê lắp ông dân theo đường gâp khúc ADB Tính khoảng cách AD dé so ° tién chi phi thap nhat, biet rang gia dé lap dat moi km đường ông trên bờ là
100.000.000 đông và dưới nước là 260.000.000 đông
+ Đặt CD = x (km), x €[0;9] B
6km
L2 |1 (x) =260000000V x* +36 +100000000(9— x) dong
+ Xét hàm s6 T(x) trên đoạn [0 ; 9] ta có :
13x
T '(x) = 20000000 T3 — | => T’(x)=0< 13x = 5V x’ + 36
© 168x” = 25x” + 36) œ x? = ““ @ x =Š
+ Lại có T(0) = 2460000000; T(—) = 2340000000; T(9) = 2600000004117
Suy ra T(x) dat giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; 9] bằng 2340000000 khi x = 3
0,25
+ Vay chi phi lap dat thap nhat bang 2340000000 dong khi x = 2 hay điềm D cách A một
Trang 2
khoảng băng 6,5 km
sin 2x
4 ain4
Diéu kién: sin2x' 0 PT tuong duong voi —.— = eos - me 0,25
sin 2x sin’ xcosx
cos’ x
cose kêt hợp với điêu kiện : phương trình vô nghiệm 0,25
c0s2x =—2
42x+y+2 2J5-x—y=x°-3x?°+10y—8 (2) 2x+y+2>0
* DK:
(1© (x-2} +x-2=y`+y(*®)
Xét hàm số #(=#+r Ta có ƒ (=3 +1>0VieR—= f(t) đồng biến trên R 025
12 | Thay y=x~2 vào (2) ta được :AJ3x —AJ7—2x =x° —3x? +10x—28
3(x-3)_ 2(x-3)
V3x+3 14+V7-2x ( \ ) 0.25 x=3
©| 3 + 2 =x +10 ,
PT (3) vô nghiệm vì với 0<x<— thì + <1+2=3,x?+10>10 Vậy hệ
r = 3 >
có nghiệm duy nhât {; 1
y =
Đặt v =z -3=>v,, =5y Vnc[]” = dấy số (y,) lập thành cấp số nhân có công bội 025
3) 2) Trong mặt phăng Oxy, cho đường tròn (I) có hai đường kính AB và MN với (1;0đ) H2 A(;3), ;—1) Tiêp tuyên của (D tại B cắt các đường thăng AM và AN lân lượt tại E và F Tìm tọa độ trực tâm H của AMEE sao cho H nằm trên đường thắng
Trang 3
Đường tròn (I) có tâm I(2;1) ,bán kính r=/5 AF là
đường cao tam giác MEF nên H,A,F thắng hàng 4 4 |
AI song song voi HM nên ——=——— =——> HM =2AI
HM NM 2
0,25
Goi I’d6i xứng với I qua A nên 7 {0;5) II =2AI=HM, II //HM nên HMI I' là hình bình 025 hành => "H=IM=r=V5
t=1
Cho hình chóp S.ABC có 4= SB =SC =a, ASB =60°,ESB =90°, ASC =120° (1,0) 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
A ABS đều :do SA=SB, AS8=60°—> 4B=a
ASBC vuông tạ S BC=aV2
ASAC: AC =VSA? + SC? -2SA.SC.Cos120° = aV3
0,25 IV.1
Hình chớp S.ABC có %4 = $8 = $C =a Hạ SH L (ABC)—H là tâm đường tròn ngoại tiép 025 tam giác ABC —>H là trung điểm của AC
2 3
Xét A SAC:SH= > 5 C6: Size = = — „c = {SHS san = 2 0,25
2) Gọi L, J, G lần lượt là trung diém SC, AB, IJ Mat phang (P) di qua G cắt các cạnh
SA, SB, SC 14n lượt tai A’, B’, C’ Goi V, „„ Vz „» V, „„„ lần lượt là thé tích các
IV.2 khối chóp 4.4'B'C',B.A'B'C', A.A'B'C' Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1,08)
Trang 4
Dit a= SA,b = SB,c =SC,SA'=xSA=xa,
SB' = ySB = yb,SC' = zSC = zc(0<x,y,z $1)
C'A'=SA'-SC'=xa-zc,C'B'= SB'-SC'=
GA+GB+GC+GS =2GI+2GJ =0
yb— zc
oo OG =1 (54+ 4 58 +50 -450) = 1441 5464-2 0 4 4 4
Do A’, B’,C’,G đồng phẳng nên C'G=mC'A'+ nC'8 B'=mxat nyb + c(—mz — nz)(2)
1
mx = — 4
à a,b,c không đồng phăng nên từ (1) và (2) ta có 4 ny = 1 =_-+—+—=4
1
—mz —nz =——
Ta có Vy xpc _ AA` _ SA- SA 1,
Vs apc SA’ SA’ x
Tương tự ta có Ứ2amC + su rmC + Meso: 1 +— 14+ —l=1
S.A'B'C' Ve Be Vs ope lở Z 0,25
© Via ape + Ve apc + Vo wee = V5 pcs
V5 pc: _SA' SB’ SC'
Theo bất đăng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
4= x + y + z 23 xyz & xyz 2 64 SP HEV gp t Vg ape tea 2 ~ 0,25
khi x=y=Z= thi P= nên giá trị nhỏ nhât của P là
3)Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB va SC sao cho SC RẺ Tim gia tri
nhỏ nhất của đoạn thắng MN
ặt CN AM =m(0<m<\1)
SC AB
MN = MA+ AS+SC+CN =—m(b— 4)— a+c—mc
=(m—1)a—mb +(1—m)c
oe a oe oo a
Trang 5
0,25
~3g2m—5)+11# > 1Í 2 — yy > #33 vạn c [0:1
Dấu đẳng thức xẩy ra khi m =2 Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là m3
Với các số thức dương a,b,c Tim gid trị nhỏ nhất của biểu thức| 1,0
Mặt khác 2J2(ø+c)“ +2b“ >(a+c)+b> >
5+/2atcy+2b?> Statbte
Do d6 P= } — 8
2(a+b+c) 5+a+b+ec
LO 2t S+t
1 8 3: —5)(5f + 5
#Œ)=-~z;+ 2 (S+?) = ¬ >) >0 2ƒ(S+f£)
Bang bién thién
=/(0>ƒC)=~OWVr>0 = P2 flarb+c)2——
Khi a=c=—-,b=> thi P=—-—.Vậy giá trị nhỏ nhất của 12 6 10 P là -— 10