Lé Trung Kién THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội „ ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI __ ĐÈ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYEN KHTN NAM 2013 MÔN: TOÁN Vò
Trang 1Lé Trung Kién THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
„ ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI ĐÈ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYEN KHTN NAM 2013
MÔN: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I (3 điểm)
1) Giải phương trình
x3x+l+v2-x=3 2) Giải hệ phương trình
Câu H (3 điểm)
1) Với a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức (ø+b)(b+ e)(e+ a)=8abe Chứng minh
4 (a+b)\(b+e) (b+e)(e+a) (e+a)(a+b)
lng: 2 yey a+b b+c cta
2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abeđ sao cho be—(10đ +) chia hết cho 101
Câu II (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC Đường phân giác của góc BAC cắt (Ø) tại điểm D khác A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A Chứng minh rằng
1) Tam giác BDM và tam giác BCF đồng dạng
2) _EF vuông góc với AC
Câu IV (1 điểm)
Với a,b,c,đ là các số thực đương thỏa mãn điều kiện abe + bcđ + cđa+ dab =1 Tìm giá trị nhỏ nhất
cita biéu tite P= 4( a? +b? +0? )+9d?
Trang 2Lé Trung Kién THPT Nguyén Du-Thanh Oai-Hà Nội
DAI HOC QUOC GIA HA NOI ĐÈ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỤ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYEN KHTN NAM 2013
MÔN: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Cau L điểm)
1) Giải hệ phương trình
x"ty?=lty—x+xy
pe yrx=7 2) Giải phương trình
mm 1-3 Cau II (3 điểm)
1) Tim eée cap sé nguyén x,y théa man: 5x? +8y? = 20412
2) Với x,y là các số thực thỏa mãn x+ y <1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
|r)
Cau IL (3 diem)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H Gọi P là điểm nằm trên đường
tròn ngoại tiếp tam giác tam giác HBC (P khác B, C và H) và nằm trong tam giác ABC PB
cắt đường tròn (Ø) tại M khác B, PC cắt đường tròn (Ø) tại N khác C BM cắt AC tai E, CN
cắt AB tại F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANE
cắt nhau tại Q khác A
1) Chứng minh M, N, Q thẳng hàng
2)_ Giả sử AP là đường phân giác của góc MAN chứng mình rằng khi đó PQ đi qua trung điểm của BC
Giả sử đấy số thực có thứ tự x, <x, < <x„, thỏa mãn điều kiện
2013
=2013 Chứng minh rằng xạ;; — %
Hy Hig tact Xgg =
+]
https ://www.facebook.com/letningkienmath https.//sites google com/site/letningkienmath
Trang 3
hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath i s:/isites.google.com/site/letrungkienmath
Heting dén gidi BE THI TUYEN SINH VAO LOP 10
TRUONG THPT CHUYEN KHTN - DHQG HA NOI
mamema NAM HOC 2013-2014 WWBE
VONG 1
Câu I 1) Điều kiện -.<2 Bình phương
hai về của PT ta được v~3x?+5x+2=3—x
42-1 Bxt1=025x=Lx=E (thỏa mãn ĐK)
2) Hệ PT tương đương với (Moe
=y+— tìm được w=—; =3
Đáp sổ Hệ PT có hai nghiệm (x; y) là (1)
và (1;2)
Câu LL 1) Dang thite cần chứng minh tương
đương với
a eee eee et
ante) Hel bra) 4c{e+8)-arbXbreycta)
©ae(ate)+Ö*(a+e)+(ba2+abe)+c2b+abo=8abe
©(a+e)(ac+b2+ab+be)=8abc
©(a+e)(e+b)(b+a)=8abc (luôn đúng)
2) Ta có abcde=abc.101~abe+đe
Nhận thấy abe-đe=abe-(10d+e) chia hết
cho 101 <>abede=101.m(meN)
Do 10000<abœ<99999—10000<1012m<99999
và meN nên 100<m<990
Vậy số các số có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu
bài toán là 990 — 100 + 1 = 891
Câu HI (h.1)
Hình ¡
1) Tr BDM=BCF (cing chin AB) va BMA=BFA=> BMD=BFC, tacé dpem
2) Vi DB=DC, nén DE L BC tại trung điểm
N của 8C Từ ABDM«ABCF ta có DM_BD
EAD=90° Vậy EF L AC Câu IV Với @ là số thực dương, áp dụng
BĐT Cauchy ta có
Oe + voce 3a3
Cộng theo về bốn bắt đăng thức trên được
2 rel 1
a )2— (dab+-dhe+-ceatabe),
Ta tìm >0 sao cho 2+ =4 3a 3a? 9
Trang 4
hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath
408-30 =6
Dit ants ' Noo 0), ta thu duge Sao
3
a4) ert )-oeoxt —12x3+1=0
a 2 #
©x=ll6+/35,x=Ñ6—V35 Do đó
‡6+vJ35+tl6-J35)
Với øz xác định như trên ta thu được
PS @ Here +e +b +03) a
(6+ 55+t6—/55)
Đẳng thức xảy ra khi a =
d=}
03 +30?
(6: /35+6- V35}
VÒNG 2
Câu 1 1) Cộng theo về hai PT của hệ ta thu được 334g2+6p=8©(vty~2/02+y2+4—g;t2y+21)=0)
©Œ+y-2)(x~y)?+(x+2)2+(y+2)?)=0
® Với x=y=-2 không thỏa mãn PT thứ hai
của hệ (loại)
e Với x+y-2=0 ©y=2—x Thay vào PT
Vậy giá trị nhỏ nhất cúa ? là
x=Ly=l
9
5}
2) DK ~I<x<I Biến đổi PT thành
(\ã+I+VI—x-2)(\X+1~I)=0 Đáp số x =0
Câu II 1) Nhận xới Với a, b là các số
nguyên thỏa mãn a2+2?3 thì z3 và ð3
5x2+8y2=20412>(6x249y2)~(02 + y2)=28.91, thứ hai được 7x?~12x+5=0<
Hệ PT có hai nghiệm (x; y) là on aie
hittps:/lsites.google.com/site/letrungkienmath
Suy ra x2+y2!3©xi3 và y3
Đặt x=3m, y=3yi (xi, vị cZ)
Thay vào PT ta thu được 5x?+8.y? =28.9
Lập luận tương tự, ta có s¡=3%;, 1 =3y› 0s, y›eZ)
nhận được 5x‡+8y‡=28.9 Tương tự x; ~3x;,
›=3¿ (xạ, y; 2) thu được 5x? +§.y‡ =28,
sẽ, Box nén y?=0 hoge y?=1
«Vii wet ane = (lon):
Voi y2=1 thi x2 =2? x7 =9.22, y:
8.22, y2=01,
Đáp số Có 4 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
là (54;27),(54;—27),(—54;27), (—54;—27)
2)Tác6 P2` vay ^ V19 OP 2, ae
22, yỆ =9? => x? =
2
Đặt tay) < b dược 4
Fe Ile fea teisre plea at
2 1 + 4 =
1
=> P>VI7 Ding thite xảy ra khi x=y
Vay gid trị nhỏ nhất của P là v7
Câu II (h.2)
Hình 2
BHC=189-BAC nên tứ
giác 4EPF nội tiếp, suy ra BFC+BEC=I80
Từ các tứ giác 4OFN, 4OEM nội tiếp ta có
Trang 5it Jhwww facebook.com/letrungkienmath
MON =MQA+ NQA=MEA+ NFA=180°
Viy ba điểm M, N, Q thing hang
2) Ta có AFQ=ANQ=4NM=ABM suy m
FQ /' BE Tương tự EO !/ CF Từ đó tứ giác
EOFP là hình bình hành Vậy @4N=@FP
=ÖFP=Ø4M hay AQ là phản giác của MAN
Suy ra 4, P, Q thẳng hàng Gọi K=P@¬BC
thi =OQAC =OME =NMB=PCK Tir dé
AdKC «2 ACKP suy ra KC?=KT.KA
Tuong ty KB? =KP.KA Vay KB = KC
Câu TV Gia sir k 18 chi s6 ma x52) .<x;
Ki higu S~ =x +x + +2%4,.9° =X teva +Xio2
hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
thi S-+S*=0 va S'-.=2018e8'=¬g = TT
đo xịZx,Z Zxi»; suy ra 6>: 9292 k)x„,
nen +xị = -t= —I 2S an = az
192-k k 2I(92-k)
2
Taco zk092-s<:|EEEE] = ) 2 1
=> 2-4 =
2013 ei Đảng thức xây ra khi
2xø-xi> ha TC
2013
192°
Kio =