Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn

Dựa trên phươngpháp giải tích Fourier và định lý điểm bất động Leray-Schauder, tác giả đã thiết lập được sự tồn tại nghiệm của bài toán nhưng dưới hạn chế vềđiều kiện tăng trưởng của hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

NGÔ THỊ KIM QUY

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN CẤP BỐN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

NGÔ THỊ KIM QUY

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự hướngdẫn khoa học của GS.TS Đặng Quang Á và PGS.TS Hà Tiến Ngoạn.Những kết quả trình bày trong luận án là mới, trung thực và chưa từngđược công bố trong bất kỳ công trình của ai khác, các kết quả thực nghiệm

đã được kiểm tra bằng các chương trình do chính tôi thiết kế và kiểm thửtrên môi trường Matlab, số liệu là hoàn toàn trung thực Các kết quả đượccông bố chung đã được cán bộ hướng dẫn và đồng tác giả cho phép sửdụng trong luận án

Nghiên cứu sinh

Ngô Thị Kim Quy

Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu các Thầy

Cô và các cán bộ nghiên cứu đã giúp em trong suốt quá trình học tập vàhoàn thành luận án Trong thời gian qua, Viện Công nghệ thông tin, Họcviện Khoa học và Công nghệ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và thườngxuyên có những lời động viên, nhắc nhở giúp em thực hiện tốt công việcnghiên cứu của mình

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Kinh

tế và Quản trị Kinh doanh, Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm KhoaKhoa học cơ bản, lãnh đạo Bộ môn Toán cùng toàn thể giáo viên trong Bộmôn, các bạn bè đồng nghiệp, gia đình và người thân đã luôn động viênkhuyến khích, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn!

Danh sách hình vẽ

2.1 Công bội thực tếr(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải)

trong Ví dụ 2.1 42

2.2 Công bội thực tếr(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải) trong Ví dụ 2.2 44

2.3 Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.4 với N = 100 54

2.4 Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.5 56

2.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.5 56

2.6 Đồ thị của ek trong Ví dụ 2.6 57

2.7 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6 58

2.8 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.8 73

3.1 Đồ thị của ek trong Ví dụ 3.1 với N = 100 92

3.2 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.2 94

3.3 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.3 95

3.4 Đồ thị của ek trong Ví dụ 3.4 với N = 100 114

3.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.5 115

3.6 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6 117

Danh sách bảng

2.1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.4 542.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 2.7 713.1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.4 113

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức bổ trợ 12

1.1 Một số định lý điểm bất động 12

1.1.1 Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp 13

1.1.2 Định lý điểm bất động Brouwer 15

1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder 15

1.2 Phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân 17

1.3 Hàm Green đối với một số bài toán 20

1.4 Phương pháp số giải phương trình vi phân 25

Chương 2 Phương pháp lặp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn 29

2.1 Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ 30

2.2 Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ 45

2.2.1 Trường hợp các điều kiện biên dạng gối-tựa đơn giản 45

2.2.2 Trường hợp các điều kiện biên dạng ngàm-tự do 58

Chương 3 Phương pháp lặp giải bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn 75

3.1 Bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ 75

3.2 Bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy

đủ 96Kết luận chung 119Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận

án 121Tài liệu tham khảo 122

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của luận án

Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thôngqua mô hình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối vớiphương trình vi phân cùng với các điều kiện biên khác nhau Có thể chiaphương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân cấpbốn không đầy đủ và phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Phương trình

vi phân cấp bốn mà trong đó hàm vế phải chứa ẩn hàm và chứa đầy đủcác đạo hàm các cấp của nó (từ cấp một đến cấp ba) được gọi là phươngtrình vi phân cấp bốn đầy đủ Ngược lại, phương trình được gọi là phươngtrình vi phân cấp bốn không đầy đủ

Bài toán biên đối với phương trình vi phân đã thu hút được sự quantâm của các nhà khoa học nhự Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós, Một số nhà toán học và cơ học Việt Nam, như Đặng Quang Á, Phạm KỳAnh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn HữuCông, Lê Lương Tài, cũng nghiên cứu các phương pháp giải bài toánbiên cho phương trình vi phân Chẳng hạn, các kết quả liên quan đếnphương trình vi phân thường phi tuyến cũng đã được tác giả Đặng Quang

Á và cộng sự công bố trong [14], [15], [16], Tác giả Phạm Kỳ Anh cũng

đã đề xuất phương pháp lặp Seidel-Newton giải bài toán biên hai điểm

x(n)+ f (t, x, x0, , x(n)) = 0; x(i)(0) = x(i)(1); i = 0, n − 1, (0.0.1)

cũng như bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân thường,(xem [5]- [7]) Hướng nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn và bài toán biêncho phương trình vi phân phi tuyến đã được một số tác giả Liên Xô cũ xétđến trong cuốn sách [45] của tác giả Samoilenko.

Trong số các phương trình vi phân thì phương trình vi phân phi tuyếncấp bốn được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đây vì nó là mô hìnhtoán học của nhiều bài toán trong cơ học Dưới đây chúng tôi điểm quamột số bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn.Đầu tiên, xét bài toán về dầm trên nền đàn hồi được mô tả bởi phươngtrình vi phân phi tuyến cấp bốn dạng

u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)) (0.0.2)hoặc

u(4)(x) = f (x, u(x), u0(x)) (0.0.3)trong đó u là độ võng của dầm, 0 ≤ x ≤ L Các điều kiện biên tại hai đầucủa dầm được cho phụ thuộc vào ràng buộc của bài toán Đã có một sốkết quả nghiên cứu về định tính của các bài toán biên đối với các phươngtrình vi phân trên như sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm.Đáng chú ý phải kể đến các bài báo của Alves và cộng sự [2], Amster vàcộng sự [3], Bai và cộng sự [8], Li ([25]-[27]), D Ma và X Yang [35], R

Ma và cộng sự [31], T F Ma ([32]-[34]), , ở đó phương pháp nghiệm trên

và nghiệm dưới, phương pháp biến phân, các định lý điểm bất động được

sử dụng Trong các bài báo này, điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải

f (x, u, v) hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếuđược

Để cụ thể hơn, ta xét bài toán mô tả độ võng của dầm trên nền đàn

hồi với hai đầu mút được gối-tựa đơn giản

u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)), 0 < x < 1,u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0,

(0.0.4)

trong đó f : [0, 1] ×R2 → R là hàm liên tục Bài toán trên đã thu hút

sự quan tâm của nhiều tác giả vì nó có ý nghĩa quan trọng trong cơ học.Chẳng hạn, năm 1986, Aftabizadeh [1] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm củabài toán này với giả thiết về sự giới nội của hàmf (x, u, v) trong toàn miền

[0, 1] ×R2 Tính duy nhất của nghiệm được chứng minh nếu thêm các giảthiết liên quan đến đạo hàm riêng của f theo u và v Năm 1997, bằngphương pháp đơn điệu, khi biết trước nghiệm dưới và nghiệm trên, Ma vàcộng sự [31] đã xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cựctrị của bài toán Ở đó, các tác giả thu nhận được kết quả với giả thiết hàm

f (x, u, v) đơn điệu tăng theo biến u và đơn điệu giảm theo biến v trongdải được xác định bởi nghiệm dưới và nghiệm trên Sau đó, vào năm 2004,khi nghiên cứu bài toán (0.0.4), Bai và cộng sự [8] độc lập với Ma cũngxây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toánbằng cách xét phương trình tương đương

u(4)(x) − au00(x) + bu(x) = f (x, u(x), u00(x)) − au00(x) + bu(x), (0.0.5)trong đó a, b là các hằng số dương được chọn phù hợp Giả thiết f thỏamãn một phía điều kiện Lipshitz theo u và v trong miền được định nghĩaphức tạp bởi các nghiệm dưới, nghiệm trên và các tham số a, b Ý tưởngnày cũng được sử dụng trong bài báo gần đây của Li [27] Ngoài kết quả

về sự tồn tại, Li còn thành công khi nghiên cứu tính duy nhất nghiệm củabài toán Cần lưu ý rằng, trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm đượcnghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nóichung không dễ dàng

Trong các bài báo đã nhắc đến ở trên, phương trình vi phân cấp bốnkhông chứa đạo hàm cấp ba Khoảng hơn chục năm trở lại đây, phươngtrình vi phân cấp bốn đầy đủ, cụ thể là phương trình

u(4)(x) = f (x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)) (0.0.6)thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả (xem [10], [12], [18], [20], [28], [29],[37], [43], ) Các kết quả chính trong các bài báo trên là nghiên cứu sự tồntại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm Các công cụ được sử dụng là

lý thuyết bậc Leray–Schauder [43], định lý điểm bất động Schauder trên

cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên [9],[18], [20], [37] hoặc giải tích Fourier [28]

Năm 2009, Minhós [37] nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phươngtrình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ có dạng

u(4)(x) = f (x, u, u0, u00, u000), 0 < x < 1, (0.0.7)với điều kiện biên

u(0) = u0(1) = u00(0) = u000(1) = 0, (0.0.8)trong đó f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện tăng

trưởng Nagumo Áp dụng phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới vànghiệm trên, tác giả không những chỉ ra được kết quả tồn tại nghiệm màcòn đưa ra một số tính chất của nghiệm cũng như đạo hàm cấp một, cấphai của nghiệm Sự phụ thuộc vào đạo hàm cấp ba bị hạn chế bởi điềukiện tăng trưởng Nagumo

Trong bài báo gần đây, Pei và Chang [43] sử dụng lý thuyết Schauder chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biêncho phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ với giả thiết hàm f (x, u, y, v, z)

Leray-thỏa mãn điều kiện Nagumo và không giảm theo u và không tăng theo v

Đã có một số công trình, chẳng hạn, [19], [40], [41], trong đó các tácgiả giải gần đúng một số bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốnđầy đủ nhưng chưa thu được đánh giá sai số tổng hợp của nghiệm số thực

trong đó f : [0, 1] ×R4 → R là liên tục Đây là bài toán mô tả độ võng của

dầm trên nền đàn hồi với hai đầu được gối-tựa đơn giản Dựa trên phươngpháp giải tích Fourier và định lý điểm bất động Leray-Schauder, tác giả

đã thiết lập được sự tồn tại nghiệm của bài toán nhưng dưới hạn chế vềđiều kiện tăng trưởng của hàm f (x, u, y, v, z) theo mỗi biến tại vô cùng.Năm 2016, Li [29] xét bài toán giá trị biên cấp bốn đầy đủ

Tuy nhiên, trong tất cả các bài báo nêu trên, các tác giả cần đến mộtgiả thiết rất quan trọng là hàm f : [0, 1] × R4 → R thỏa mãn điều kiện

Nagumo và một số điều kiện khác về tính đơn điệu và tăng trưởng tại vôcùng.

Các bài toán về hệ phương trình vi phân cấp bốn được nghiên cứu chưanhiều, chẳng hạn trong [4], [21], [22], [30], [50], trong đó các tác giả xétphương trình chỉ chứa các đạo hàm cấp chẵn Bằng việc sử dụng định lýchỉ số điểm bất động trên nón, các tác giả đã thu được sự tồn tại nghiệmdương Tuy nhiên, các kết quả đạt được là có tính lý thuyết thuần túy vìkhông có ví dụ nào minh họa sự tồn tại nghiệm

Năm 2012, trong [22] với các điều kiện rất phức tạp, tác giả đã thiếtlập sự tồn tại nghiệm dương của hệ hai phương trình vi phân







u(0) = u0(0) = u00(0) = u00(1) = 0,v(0) = v0(0) = v00(0) = v00(1) = 0

(0.0.12)

Tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính giải được của hệ bằng việc sửdụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm trên và Định lý điểm bất độngSchauder Chứng minh kết quả này rất cồng kềnh và phức tạp, trong đóđòi hỏi điều kiện Nagumo đối với các hàm f và h.

Mặc dù đã có các thành tựu quan trọng đạt được trong việc nghiêncứu định tính và tìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự pháttriển của các lĩnh vực ứng dụng như cơ học, vật lý, sinh học, luôn đặt

ra các bài toán mới mà phương trình cũng như các điều kiện biên phứctạp hơn Các bài toán này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và thựctiễn Hơn nữa, trong các bài báo kể trên, các điều kiện đưa ra phức tạp

và khó kiểm tra, trong đó hạn chế về điều kiện Nagumo và điều kiện tăngtrưởng tại vô cùng của hàm vế phải Với phương pháp đơn điệu, giả thiếttìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìmchúng nói chung không dễ dàng Mặt khác, một số bài báo chưa có ví dụminh họa cho các kết quả lý thuyết Chính vì thế, việc tiếp tục nghiên cứu

cả về mặt định tính và định lượng các bài toán mới cho phương trình và

hệ phương trình vi phân cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau là rất

có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đó là lí do vì sao chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải bài toánbiên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn"

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận án

Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với cácphương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải

số một số bài toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình

vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong

đó không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo,

của hàm vế phải.

3 Phương pháp và nội dung nghiên cứu

Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phươngtrình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, cùng với các công cụ của toángiải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiêncứu sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của một sốbài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyếncấp bốn không đầy đủ và đầy đủ

Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháplặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp.Một số ví dụ được đưa ra, trong đó biết trước hoặc không biết trướcnghiệm đúng, để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết vàthực hiện tính toán trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của cácphương pháp

4 Kết quả đạt được của luận án

Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính và phương pháplặp giải bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phituyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bàitoán về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải Các kết quảđạt được là:

• Thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệmcủa các bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra

• Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụcủa phương pháp với tốc độ cấp số nhân

• Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả

lý thuyết, trong đó có các ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệmcủa chúng không được bảo đảm bởi các tác giả khác do không thỏa mãncác điều kiện trong các định lý của họ.

• Các thực nghiệm tính toán minh họa tính hiệu quả của phương pháplặp

Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A6] trong danh mục cáccông trình của tác giả liên quan đến luận án

5 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chínhcủa luận án gồm 3 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số định lý điểmbất động; phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình viphân; hàm Green đối với một số bài toán và phương pháp số giải phươngtrình vi phân Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quantrọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong Chương 2 vàChương 3

Trong Chương 2, bằng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến

về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đốivới ẩn hàm, chúng tôi đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất và một số tính chấtcủa nghiệm đối với một số bài toán cho phương trình vi phân phi tuyếncấp bốn không đầy đủ và đầy đủ Cũng trên cơ sở phương trình toán tử,chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứngminh sự hội tụ của phương pháp Một số ví dụ, trong đó biết trước hoặckhông biết trước nghiệm đúng, đã minh họa cho tính đúng đắn của cáckết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp

Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối

với hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy

đủ, chúng tôi cũng thu được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm

và sự hội tụ của phương pháp lặp Các kết quả này làm phong phú thêm

và khẳng định tính hiệu quả của cách tiếp cận đưa các bài toán biên phituyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải

Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thựcnghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máytính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:

1 Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 25/12/2015

23-2 Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 23/4/2016

21-3 Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội,12-13/11/2016

4 International Conference on Advances in Information and cation Technology, Thai Nguyen, Vietnam 12-13, Dec 2016

Communi-5 Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Côngnghệ thông tin, Viện Công nghệ thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học

và Công nghệ Việt Nam

Chương 1

Kiến thức bổ trợ

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho cácchương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [24], [31], [36], [46], [48],[49]

1.1 Một số định lý điểm bất động

Cho ánh xạ T : A → A, trong đó A là không gian Banach Mỗinghiệm x của phương trình x = T x được gọi là một điểm bất động củaánh xạ T

Ba định lý điểm bất động sau đây là các định lý nền tảng cơ bản được

sử dụng phổ biến trong các bài toán ứng dụng

1 Định lý điểm bất động Banach cho các toán tử co với hệ số co k

2 Định lý điểm bất động Brouwer cho các toán tử liên tục trong khônggian hữu hạn chiều

3 Định lý điểm bất động Schauder cho các toán tử hoàn toàn liên tục trênmột tập con lồi, khác rỗng và compact trong không gian Banach (vô hạnchiều) Đây là một tổng quát hóa của định lý điểm bất động Brouwer.Ngoài ra, một số định lý điểm bất động quan trọng khác được sử dụngnhiều trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phituyến, chẳng hạn như định lý Leray-Schauder cho các toán tử compact

trên một tập con lồi, khác rỗng, bị chặn của không gian Banach.

Cùng với các định lý điểm bất động, lý thuyết bậc Brouwer (Brouwerdegree) và lý thuyết chỉ số điểm bất động (fixed point index) cũng lànhững công cụ quan trọng, được ứng dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồntại điểm bất động của các ánh xạ liên tục cũng như sự tồn tại nghiệm củacác phương trình vi phân phi tuyến

1.1.1 Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp

Xét phương trình phi tuyến

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm toán tử co

Định nghĩa 1.1 (xem [49]) Toán tử T : M ⊆ X → X trên không gianmetric (X, d) được gọi là co với hệ số k nếu và chỉ nếu

d(T x, T y) ≤ kd(x, y) (1.1.2)với mọi x, y ∈ M và k cố định 0 ≤ k < 1

Định lý 1.1 (xem [49]) (Định lý điểm bất động Banach (1922))

Giả sử rằng

(i) T : M ⊆ X → M là một ánh xạ từ M vào chính nó;

(ii) M là tập đóng, khác rỗng trong không gian metric đầy đủ (X, d);(iii) T là một ánh xạ co với hệ số co k

Khi đó ta có các kết luận sau đây:

a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Phương trình (1.1.1) có duy nhất nghiệm

x tức là T có duy nhất một điểm bất động trên M

b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong

M, dãy xấp xỉ liên tiếp (xn) hội tụ tới nghiệm x

c) Đánh giá sai số: Với mọi n = 0, 1, 2, ta có các đánh giá sai số tiênnghiệm

(B) Sự duy nhất nghiệm;

(C) Sự ổn định của nghiệm dưới nhiễu nhỏ của phương trình;

(D) Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ;

(E) Đánh giá sai số tiên nghiệm;

(F) Đánh giá sai số hậu nghiệm;

(G) Đánh giá tốc độ hội tụ;

(H) Sự ổn định của phương pháp xấp xỉ

Định lý điểm bất động Banach có ứng dụng quan trọng trong giảiphương trình phi tuyến và trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phươngtrình vi phân thường (Định lý Picard–Lindel¨of) Ngoài ra, ứng dụng củađịnh lý trong giải phương trình đại số tuyến tính, giải phương trình tíchphân tuyến tính, phương trình toán tử tuyến tính có thể tìm thấy chi tiếttrong [49]

1.1.2 Định lý điểm bất động Brouwer

Khác với Định lý điểm bất động Banach, Định lý điểm bất động Brouwerkhông chỉ ra tính duy nhất của điểm bất động cũng như phương pháp lặpxấp xỉ liên tiếp Tuy nhiên các giả thiết của Định lý Brouwer được nới lỏnghơn so với Định lý điểm bất động Banach

Định lý 1.2 (xem [49]) (Định lý điểm bất động Brouwer (1912))

Giả sử M là tập con khác rỗng, lồi, compact của RN, trong đó N ≥ 1 và

f : M → M là ánh xạ liên tục Khi đó f có một điểm bất động

Một hạn chế của Định lý Brouwer là chỉ áp dụng được cho các ánh

xạ liên tục trên không gian hữu hạn chiều Tuy nhiên khi xét sự tồn tạinghiệm của các phương trình vi phân ta phải xét trên các không gian hàm,đây là không gian Banach vô hạn chiều, vì thế không thể áp dụng Định lýđiểm bất động Brouwer Đối với các toán tử trên không gian vô hạn chiềuthì Định lý điểm bất động Schauder - một phiên bản mở rộng của Định lýđiểm bất động Brouwer đặc biệt hiệu quả và được sử dụng phổ biến Định

lý này sẽ được trình bày trong phần 1.1.3

1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder

Trong phần này, chúng tôi trình bày một tổng quát hóa của Định lýđiểm bất động Brouwer cho các toán tử compact trong không gian Banach

vô hạn chiều Đó là Định lý điểm bất động Schauder

Toán tử compact được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2 (xem [49]) Cho X và Y là các không gian Banach và

T : D(T ) ⊆ X → Y là một toán tử T được gọi là toán tử compact nếuhai điều kiện sau đây được thỏa mãn

(i) T liên tục;

(ii) T ánh xạ mọi tập bị chặn vào tập compact tương đối.

Các toán tử compact đóng vai trò quan trọng trong giải tích hàm phituyến Thực tế có nhiều kết quả cho các toán tử liên tục trên RN đượcchuyển sang các không gian Banach khi thay thế tính liên tục bằng tínhcompact

Khi đó S, T ánh xạ M vào C([a, b],K) là toán tử compact

Định lý 1.3 (xem [23, Mục 31]) Xét trong không gian C[a, b], toán tử

y = Ax xác định bởi công thức

y(t) =

Z b a

Công thức (1.1.6) xác định một toán tử compact trong không gian C[a, b]

nếu hàm K(t, s) giới nội trong hình vuông a ≤ t ≤ b, a ≤ s ≤ b và tất cảcác điểm gián đoạn của hàm K(s, t) nằm trên hữu hạn các đường cong

s = ϕk(t), k = 1, 2 , n,

trong đó ϕk(t) là các hàm liên tục.

Định lý 1.4 (xem [49]) (Định lý điểm bất động Schauder (1930)) Cho

M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X,

và giả sử T : M −→ M là toán tử compact Khi đó T có điểm bất động.Một phiên bản khác của Định lý điểm bất động Schauder được phátbiểu như dưới đây

Hệ quả 1.1 (xem [49]) (Phiên bản khác của Định lý điểm bất độngSchauder) Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, compact của không gianBanach X, và giả sử T : M −→ M là toán tử liên tục Khi đó T có điểmbất động

Định lý Schauder có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải tích hàm vàgiải tích số như trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tíchphân với tham số bé, sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tích phân và

hệ phương trình vi phân,

1.2 Phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối

với phương trình vi phân

Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồntại, duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng của phương trình

vi phân là phương pháp đơn điệu Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệmtrên và nghiệm dưới đối với bài toán biên phi tuyến đã thu hút sự chú ýcủa các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây Phương pháp này phổbiến vì nó không chỉ đưa ra cách chứng minh các định lý tồn tại mà còndẫn đến các kết quả so sánh khác nhau, đó là kỹ thuật hiệu quả để nghiêncứu các tính chất định tính của nghiệm, có thể xem thêm trong [24]

Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và

β, α ≤ β, tương ứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệmtrên (upper solution) của bài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặphai dãy hàm αk và βk hội tụ đơn điệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏamãn điều kiện

α ≤ α1 ≤ α2 ≤ ≤ αk ≤ ≤ u ≤ u ≤ ≤ βk ≤ ≤ β2 ≤ β1 ≤ β

Trong trường hợp u = u bài toán có nghiệm duy nhất trong dải hα, βi,nếu khác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên

Công cụ cơ bản để nghiên cứu tính đơn điệu của các dãy hàm và sự hội

tụ của chúng là nguyên lý cực đại thích hợp cho từng loại bài toán Ở đây,cần phải nói rằng nguyên lý cực đại đối với các phương trình tuyến tínhđơn giản với các điều kiện biên cơ bản đã có trong cuốn sách chuyên khảo[44], song đối với các bài toán phức tạp hơn cần có nguyên lý cực đại phùhợp

Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và nghiệm trên đãđược nghiên cứu từ năm 1890 bởi Picard Sau đó, nhiều bài báo nghiêncứu phát triển phương pháp này cho các bài toán biên phi tuyến đối vớiphương trình vi phân cấp hai và cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau

Để minh họa cho phương pháp đơn điệu, ta xét ví dụ trong bài báo của

Ma và cộng sự (1997, [31]) nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phươngtrình vi phân cấp bốn dạng

u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)), 0 < x < 1,u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0,

(1.2.1)

trong đó f : [0, 1] ×R2 → R là hàm liên tục.

Bài toán này mô tả độ võng của dầm trên nền đàn hồi với hai đầu mútđược gối-tựa đơn giản Bằng phương pháp đơn điệu khi biết trước nghiệm

dưới và nghiệm trên, với giả thiết hàm f (x, u, v) đơn điệu tăng theo biến

u và đơn điệu giảm theo biến v trong dải được xác định bởi nghiệm dưới

và nghiệm trên, các tác giả đã xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tớicác nghiệm cực trị của bài toán Tác giả đưa ra nguyên lý cực đại đối vớitoán tử

β00(0) ≤ 0, β00(1) ≤ 0

Bằng việc xây dựng hai dãy đơn điệu hội tụ tới nghiệm cực trị của bàitoán, trong đó giả sử f (x, u, v) là hàm tăng theo u, giảm theo v trong dải

định nghĩa bởi nghiệm dưới và nghiệm trên, bài báo đã chứng minh định

lý khẳng định sự tồn tại nghiệm của bài toán

Định lý 1.5 [31] Nếu tồn tại α và β tương ứng là nghiệm dưới và nghiệmtrên của bài toán (1.2.1) thỏa mãn α ≤ β và α00 ≥ β00, và nếu f : [0, 1] ×

β0 = β hội tụ đều tới nghiệm cực trị trong [α, β] của bài toán (1.2.1)

1.3 Hàm Green đối với một số bài toán

Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bài toán giá trịbiên Đặc biệt, hàm Green là công cụ quan trọng để chỉ ra sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của các bài toán

Xét bài toán giá trị biên tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa 1.4 (xem [36]) Hàm G(x, t) được gọi là hàm Green của bàitoán giá trị biên (1.3.1)-(1.3.2) nếu xem như hàm của biến x, nó thỏa mãncác điều kiện dưới đây với mọi t ∈ (a, b) :

(i) Trên [a, t) và (t, b], G(x, t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tớicấp n và thỏa mãn phương trình (1.3.1) trên (a, t) và (t, b), tức là:

Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất

trong đó các hệ số pj(x) và các hàm vế phải f (x) trong phương trình(1.3.3) là các hàm liên tục, với p0(x) 6= 0 trên (a, b) và Mi biểu diễn cácdạng độc lập tuyến tính với các hệ số hằng.

Định lý sau thể hiện mối quan hệ giữa tính duy nhất nghiệm của (1.3.4) với bài toán thuần nhất tương ứng

(1.3.3)-Định lý 1.7 (xem [36]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứngvới (1.3.3)-(1.3.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.3.3)-(1.3.4) cónghiệm duy nhất biểu diễn dưới dạng

y(x) =

Z b a

G(x, t)f (t)dt,

trong đó G(x, t) là hàm Green của bài toán thuần nhất tương ứng

Một số ví dụ dưới đây chỉ ra cách xác định hàm Green đối với bài toángiá trị biên cụ thể

(1.3.5)Hàm Green được tìm dưới dạng sau

Điều kiện liên tục (iii) cho ta phương trình

B2(1 − t) − A2t = 0 (1.3.8)

Từ điều kiện (iv) ta được

B2 + A2 = 1 (1.3.9)

Ta có thể tìm các hệ số A2, B2 bằng cách giải các phương trình (1.3.8) vàphương trình (1.3.9) Kết quả ta được A2 = 1 − t, B2 = t

Thay các hệ số tìm được vào phương trình (1.3.7) ta được hàm Green

(1.3.10)

Do đó, nghiệm của bài toán (1.3.5) biểu diễn được dưới dạng

u(x) =

Z 1 0

(1.3.11)Hàm Green được tìm dưới dạng sau

A1 = A2 = A3 = B3 = 0

Do đó hàm Green của bài toán là

(1.3.14)

Từ điều kiện (iv) ta được

Ta có thể tìm các hệ số A4, B1, B2, B4 bằng cách giải các phương trình(1.3.14) và phương trình (1.3.15) Kết quả ta được

(1.3.17)

Khi đó, hàm Green tương ứng với bài toán này có dạng

(1.3.18)

Do đó, nghiệm của bài toán (1.3.17) biểu diễn được dưới dạng

u(x) =

Z 1 0

(1.3.19)Khi đó, hàm Green tương ứng với bài toán này có dạng

G(x, t)ϕ(t)dt

Có thể tìm được hàm Green đối với các bài toán biên với các điều kiệnbiên khác (xem [48])

1.4 Phương pháp số giải phương trình vi phân

Để giải các bài toán biên đối với phương trình vi phân, người ta chỉ

có thể tìm được nghiệm giải tích của chúng trong một số rất ít các trườnghợp đặc biệt còn đại đa số các trường hợp buộc phải sử dụng phương phápgiải gần đúng Phương pháp sai phân là một trong những phương pháp sốgiải gần đúng phương trình vi phân Ý tưởng chung của các phương phápsai phân là đưa bài toán vi phân về bài toán rời rạc trên một lưới điểm

dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính Với các phương pháp

số giải phương trình lưới có thể xem trong cuốn sách nổi tiếng [46], [47].Người ta chia các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính

cỡ lớn thành hai loại: Các phương pháp trực tiếp và các phương pháp lặp.Phương pháp trực tiếp là phương pháp cho ta nghiệm đúng của hệphương trình sau một số hữu hạn các phép tính (với giả thiết không có sai

số làm tròn)

Phương pháp lặp là phương pháp xây dựng một dãy vô hạn các xấp xỉ

x(k), mà giới hạn của nó là nghiệm đúng của hệ Trong thực hành ta buộcphải dừng lại tại một bước k cụ thể nào đó và xem x(k) là nghiệm gầnđúng của hệ với một sai số có thể ước lượng được

Bài toán giá trị biên đối với các phương trình vi phân cấp hai, bằngphương pháp sai phân ba điểm dẫn đến giải hệ phương trình có ma trận

hệ số dạng ba đường chéo Một trong các phương pháp trực tiếp hữu hiệugiải hệ này là phương pháp truy đuổi (xem [46])

Các công thức (1.4.3)-(1.4.5) chứa 3N phép nhân, 2N + 1 phép chia,

3N phép cộng và trừ Khi đó tổng số phép tính toán là Q = 8N + 1, trong

đó 3N − 2 phép toán được sử dụng để tính αi và 5N + 3 phép toán đểtính βi và yi Bổ đề sau là điều kiện đủ cho tính khả thi và ổn định củacông thức truy đuổi

Bổ đề 1.2 (xem [46]) Giả sử các hệ số của hệ (1.4.1) là số thực và thỏamãn điều kiện

|b0| ≥ 0, |aN| ≥ 0, |c0| > 0, |cN| > 0, |ai| > 0, |bi| > 0, i = 1, 2, , N − 1,

|ci| ≥ |ai| + |bi|, i = 1, 2, , N − 1, (1.4.6)

|c0| ≥ |b0|, |cN| ≥ |aN|, (1.4.7)trong đó có ít nhất một bất đẳng thức trong (1.4.6) hoặc (1.4.7) là chặt,tức là ma trận A là chéo trội Khi đó trong công thức (1.4.3)-(1.4.5) củaphương pháp truy đuổi ta có

ci − aiαi 6= 0, |αi| ≤ 1, i = 1, 2, , N − 1

Điều này đảm bảo tính khả thi và ổn định của phương pháp

Chú ý 1.1 Nếu các điều kiện trong Bổ đề 1.2 thỏa mãn thì hệ (1.4.1) cónghiệm duy nhất với mọi vế phải

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1Chương 1 đã trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số định lýđiểm bất động; phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phươngtrình vi phân; hàm Green đối với một số bài toán và phương pháp số giảiphương trình vi phân Các kết quả này được sử dụng trong nghiên cứuđịnh tính và phương pháp giải cho nhiều bài toán phi tuyến cấp bốn vớicác điều kiện biên khác nhau Đây là những kiến thức rất quan trọng làmnền tảng cho các nghiên cứu sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương

3 của luận án

và nghiệm trên [9], [18], [20], [37] hoặc giải tích Fourier [28] Trong cácbài báo này, điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải hoặc về bậc tăngtrưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu được Trong các bài báo nêutrên, các tác giả đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với ẩnhàm u(x) Khác với cách tiếp cận đó, trong các bài báo [A1]-[A4], chúngtôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vếphải ϕ(x) = f (x, u(x), v(x), ) Ý tưởng này bắt nguồn từ một bài báotrước đây của tác giả Đặng Quang Á (2006, [13]) khi nghiên cứu bài toánNeumann đối với phương trình kiểu song điều hòa Xét trong miền bị chặnthích hợp, chúng tôi không dùng đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng,điều kiện Nagumo của hàm vế phải Khi đó, toán tử đối với ϕ dưới một

số điều kiện dễ kiểm tra của hàmf trong miền bị chặn là toán tử co Theo

nguyên lý ánh xạ co, bài toán ban đầu có duy nhất nghiệm và đảm bảo sựhội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ Tính dương của nghiệm vàtính đơn điệu của dãy lặp cũng được chỉ ra Một số ví dụ, trong đó nghiệmchính xác của bài toán đã biết hoặc chưa biết được đưa ra để minh họacho các kết quả lý thuyết thu được.

Các kết quả của chương này được trình bày trong các bài báo [A1]-[A4]trong danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án Cần nóithêm rằng, trong bài báo [17], tác giả Đặng Quang Á và Trương Hà Hải đãphát triển phương pháp trên với phương trình elliptic cấp bốn phi tuyến

2.1 Bài toán biên đối với phương trình vi phân phi

tuyến cấp bốn không đầy đủ

Phần này tập trung nghiên cứu bài toán biên đối với phương trình viphân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ mô tả độ võng của dầm trên nềnđàn hồi với hai đầu được gối-tựa đơn giản dạng

u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)), 0 < x < 1,u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0,

(2.1.1)

trong đó f : [0, 1] ×R2 → R là hàm liên tục Bài toán đã thu hút sự quan

tâm của nhiều tác giả vì nó có ý nghĩa quan trọng trong cơ học Năm 1986,Aftabizadeh [1] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán này với giảthiết về sự giới nội của hàm f (x, u, v) trong toàn miền [0, 1] × R2 Tínhduy nhất của nghiệm được chứng minh nếu thêm các giả thiết liên quanđến đạo hàm riêng của f theo u và v Năm 1997, Ma và cộng sự [31] bằngphương pháp đơn điệu, khi biết trước nghiệm dưới và nghiệm trên đã xâydựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán

Ở đó các tác giả thu nhận được kết quả với giả thiết hàm f (x, u, v) đơnđiệu tăng theo biến u và đơn điệu giảm theo biến v trong dải được xác

định bởi nghiệm dưới và nghiệm trên Sau đó, vào năm 2004, khi nghiêncứu bài toán (2.1.1), Bai và cộng sự [8] độc lập với Ma cũng xây dựng haidãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán Giả thiết f

thỏa mãn điều kiện Lipshitz một phía theo từng biến u và v trong miềnđược định nghĩa phức tạp bởi các nghiệm dưới, nghiệm trên và các tham

số a, b Ý tưởng này cũng được sử dụng trong bài báo gần đây của Li [27].Bằng phương pháp lặp đơn điệu sử dụng các nghiệm trên và nghiệm dưới,tác giả đã thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cầnnhấn mạnh rằng, trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệmdưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chungkhông dễ dàng

Trong bài báo [A2], chúng tôi cũng xét bài toán (2.1.1) Khác với cáchtiếp cận của các tác giả khác, chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phươngtrình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải và chứng tỏ rằng toán tử nàytrong một số điều kiện dễ kiểm tra có tính chất co Điều này bảo đảm bàitoán gốc có nghiệm duy nhất sinh bởi điểm bất động của toán tử và sựhội tụ của phương pháp lặp xây dựng nghiệm gần đúng Các ví dụ trongmột số bài báo của các tác giả trước đây [8, 31, 42] thỏa mãn các điều kiệncủa chúng tôi đặt ra, do đó bài toán có nghiệm duy nhất, trong khi họ chỉchứng minh được tồn tại nghiệm Thực nghiệm số trên các ví dụ này chothấy sự hội tụ nhanh của phương pháp lặp được đề xuất

Dưới đây, luận án sẽ trình bày các kết quả theo cách tiếp cận này khixét bài toán (2.1.1)

Để nghiên cứu bài toán (2.1.1), với ϕ ∈ C[0, 1], ta xét phương trìnhtoán tử

trong đó A là toán tử được xác định như sau

Do đó, với ϕ ta có phương trình (2.1.2) trong đó A là toán tử phi tuyếnxác định bởi (2.1.3)

Vì vậy, nếu u(x) là nghiệm của (2.1.1) thì ϕ là nghiệm của (2.1.2) trong

đó A được xác định bởi (2.1.3)-(2.1.5)