Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 1 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ Hướng dẫn giải bài tập lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ I.KIẾN THỨC CƠN BẢN 1.. Vectơ được gọi là tổng của
Trang 1Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 1 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ Hướng dẫn giải bài tập lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ
I.KIẾN THỨC CƠN BẢN
1 Tổng của hai vectơ
Định nghĩa: Cho hai vectơ , Lấy một điểm A tùy ý, vẽ = , = Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và
= +
2 Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì
3 Tính chất của tổng các vectơ
- Tính chất giao hoán + = +
- Tính chất kết hợp ( + ) + = + ( + )
- Tính chất của : + = +
4 Hiệu của hai vectơ
a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ được gọi là vec
tơ đối của vec tơ , kí hiệu -
Vec tơ đối của là vectơ
b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ , Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu
Trang 2- = + (- ).
c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có
+ = (1)
- = (2)
(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ
(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ
5 Áp dụng
a) Trung điểm của đoạn thẳng:
I là trung điểm của đoạn thẳng⇔ + =
b) Trọng tâm của tam giác:
G là trọng tâm của tam giác ∆ABC ⇔ + + =
II HƯỚNG DẪN LÀM BÀI
Bài 1 Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB Vẽ
Hướng dẫn giải:
Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M' để có =
Vậy vec tơ chính là vec tơ tổng của và
Ta lại có - = + (- )
- = + (vectơ đối)
Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có
Trang 3+ = + = (quy tắc 3 điểm)
Bài 2 Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:
= +
= +
ABCD là hình bình hành, hi vec tơ và là hai vec tơ đối nhau nên:
+ =
Cách 2 Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ
= -
= -
ABCD là hình bình hành nên và là hai vec tơ đối nhau, cho ta:
+ =
Bài 3 Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có
Hướng dẫn giải:
a) Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có
Trang 4Như vậy
b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có
- = (1)
- = (2)
Từ (1) và (2) suy ra - = -
Bài 4 Cho tam giác ABC Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ,
BCPQ, CARS Chứng minh rằng + + =
Hướng dẫn giải:
Ta xét tổng:
+ + + + + = = (1)
Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:
=
=
=
=> + + = + + = = (2)
Từ (1) và (2) suy ra : + + = (dpcm)
Trang 5Bài 5 Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài của các vectơ + và
-
Hướng dẫn giải:
Ta có + =
= = a
Trên tia CB, ta dựng =
=> - = + =
Tam giác EAC vuông tại A và có : AC = a, CE = 2a , suy ra AE = a√3
Bài 6 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
Trang 6a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:
= - (1)
Mặt khác, = (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
b) Ta có : = - (1)
= (2)
Từ (1) và (2) cho ta:
c) Ta có :
- = (1)
- = (2)
= (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm
d) - + = ( - ) + = + = + ( vì
= ) =
Bài 7 Cho , là hai vectơ khác Khi nào có đẳng thức
Hướng dẫn giải:
Trang 7a) Ta có = +
Nếu coi hình bình hành ABCd có = = và = = thì là độ dài đường chéo AC và = AB; = BC
Ta lại có: AC = AB + BC
Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa hai điểm A, C
Vậy = + khi hai vectơ , cùng hướng
b) Tương tự, là độ dài đường chéo AC
là độ dài đường chéo BD
= => AC = BD
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta
có AD AB hay
Bài 8 Cho = 0 So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ và
Hướng dẫn giải:
Từ = 0, ta có + = 0 => =
-Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài = , cùng phương và ngược hướng
Bài 9 Chứng minh rằng = khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng
AD và BC trùng nhau
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh hai mệnh đề
a) Cho = thì AD và BC có trung điểm trùng nhau Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC
Trang 8= +
=> - = -
=> + = + (1)
Vì I là trung điểm của AD nên + = (2)
Từ (1) và (2) suy ra + = (3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC
b) AD và BC có chung trung điểm I, ta chứng minh =
I là trung điểm của AD => + = => - =
I là trung điểm của BC => + = => - =
Suy ra - = -
=> + = + => = (đpcm)
Bài 10 Cho ba lực = , = và = cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên Cho biết cường độ của , đều là 100N và
=
Tìm cường độ và hướng của lực
Hướng dẫn giải:
Đáp số = 100√3 và ngược hướng với hướng với E là đỉnh thứ tư của hình bình hành MACB