PHẦN 2 –CHƯƠNG 4 4.9 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH ĐUƯỜNG MẶT NƯỚC

2 Xác định chiều sâu chảy đều h0 hay y0; chiều sâu phân giới hc hay yc.. Người đọc tự tính trong Excel Tích phân phương trình sử dụng phép cầu phương Gauss-Lengendre Chapra & Canale, 199

PHẦN 2 –CHƯƠNG 4

4.9 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH ĐUƯỜNG MẶT NƯỚC

4.9.1 Phương pháp số tính đường mặt nước cho dòng ổn định

Gồm các bước sau:

(1) Biết kích thước kênh, dốc đáy S0, nhám n, lưu lượng Q

(2) Xác định chiều sâu chảy đều (h0) hay (y0); chiều sâu phân giới (hc) hay (yc)

(3) Xác định điểm kiểm tra hay khống chế (chiều sâu dòng chảy) ở đầu hay cuối kênh

(4) Tích phân phương trình: 0 e

2

S S dh

dx 1 Fr





 tìm chiều sâu h và năng lượng (5) E = E(x)

(1.1) Đối với kênh lăng trụ có thể áp dụng công thức Chezy-Manning tìm h0:

2/3 0

nQ

1 0

và tìm hc theo:

2 3

Q B

1 0

Độ dốc năng lượng của dòng không đều tại chiều sâu h xác định theo:

2 2 (h ) 2 4 / 3

n Q S



(1.4)

Phương pháp cộng trực tiếp theo năng lượng đơn vị mặt cắt

2

0 (h )

Đối với thay đổi nhỏ của h và v giữa xi và xi+1 thì:

i 1

i

x

i 1 i 0 (h ) i 1 i 0 (hm)

x



            (1.6) trong đó: hm = (hi+1 + hi)/2 Vậy:

m

i 1 i

i 1 i

0 (h )







Các bước: 1- Chọn hi+1

2- Tính

2

i

Q

2gA

   và S(hm) khi biết hm 3- Tính xi+1

4- Tại vị trí k, giả thiết xk tới lúc thỏa mãn xk

2.5; tại x = 2000 (m) kênh hạ bậc thẳng đứng Tìm đường mặt nước và đường năng lượng cách cuối kênh 800 (m) nếu n = 0.015 và S0 = 0.0006

Lời giải:

+ Tìm h0 và hc từ phương trình (1.2) & (1.3)

 

2 / 3 2 0

5 / 3 2

2

c

3 2

22 0.015 7.5 2h 1 2.5

1 0 1

7.5h h 2.5 2.5 0.0006

2

22 7.5 h 2.5 2.5

1 9.81 7.5h h 2.5 2.5

2

 

       

Giải ra được h0 = 1.292 (m) và hc = 0.865 (m)

+ Giả thiết cuối kênh có hc = 0.865 (m) tương ứng với x = 2000 (m) Chọn trước chiều sâu h1 = 0.085 (m); h2 = 0.1 (m) = h3 = h4;h5 = 0.02 (m) Kết quả cho bước 6 có h6 = 1.27 (m) thì x = 1230 (m) và e = 1.404 (m), v = 1.623 (m/s), A = 13.557 (m2), hm = 1.26 (m),

S(hm) = 6.574E-04 (Người đọc tự tính trong Excel)

Tích phân phương trình sử dụng phép cầu phương Gauss-Lengendre (Chapra & Canale, 1998)

Từ phương trình (1.1):

 

0 e

1 Fr







i 1

i

h

i 1 i h



Với thí dụ trên có số liệu vào: Q = 22 (m3

/s), M = 2.5, b = 7.5 (m), L = 2000 (m), S0 = 0.0006, n = 0.015, g = 9.81 (m/s2)

+ Xác định:

A(h) = bh + Mh2, B(h) = b + 2Mh, P(h) = b +2h 2

1 M  ,  

     

 

 

2

2 2

h

h 3.3333 1.333 h 3

Q B

Q n

 



+ Tính h0 h0 = 1.292 (m); hc hc = 0.865 (m)

+ Tính đường mặt nước với x0 = 2000 (m), h0 = hc, h = 0.1 (m), N = 4, i = 1, 2,…N

i i 1

h





Ngoài ra còn phương pháp tính tích phân trực tiếp bằng cách sử dụng bảng kết quả của tích phân

4.9.2 Dòng không ổn định thay đổi chậm

(a) Phương trình liên tục rút ra từ định luật bảo toàn khối lượng

Trong không gian vô cùng bé giới hạn bởi 2 mặt cắt của đáy không xói, không dòng nhánh: Tại t có đường mặt nước a-a, lưu lượng Q; tại (t + dt) có đường mặt nước b-b và tại  có lưu lượng Q Qdx

x





 đồng thời A thay đổi

A dt t





x







A dt t





h(x,t)

Đi đoạn dS cần dt, do đó chênh mực nước trong dt là: Q Q Qdx dt Qdxdt

Trong thời gian dt không gian giữa 2 mặt cắt thay đổi lượng thể tích:

s

dtdx dtdx b dtdx

Nước không chịu nén nên (2.1) = (2.2) suy ra:

0

0

x t

(kênh chữ nhật rộng)

trong đó

s

Q q

b

 - lưu lượng qua 1 đơn vị chiều rộng

Thay Q = Av thì (2.3) cho:

s

Nếu có dòng nhánh thì: Q A q ' 0

   

q’ là lượng lượng chảy ra hay vào trên một đơn vị dài dòng chảy Nếu sông có bãi nông có thể coi bãi không đóng góp lưu lượng

(b) Phương trình động lượng

Chất lỏng trọng lực chịu gia tốc g Phương trình Euler cho 1 đường dòng đối với 1 đơn vị khối lượng:

2

f

 gz f

x



 

 do đó:

2

gz

hay cho 1 đơn vị trọng lượng (x1/g):

2

z

Chất lỏng thực có nhớt (ma sát):

f h

z

Tích phân cho toàn dòng có:

2

f h

z

Dòng sông thay đổi chậm thì hc  0, còn hl

Vì

l

Q Q V V

S





  Do đó (2.11) là:

Q Q

S

(c)Cách viết khác: Phương trình năng lượng

Năng lượng cho 1 phần tử chất lỏng: ' p u2

2g

  

0 0

2g



Nếu dòng không ổn định, đổi dần thì năng lượng giữa 2 mặt cắt cách nhau dx là:

1 v dx

g t



 : do gia tốc;

0

f e

1 dP

dx h S dx

g dA

f 0

h dA g

dP dx

  

1 v dx

g t





2

v

v dv

d



 

  

 

Do đó: e 2

f

hay: 1 v v v h Sf S0 0

g t g x x

      

z S x

  

2 f

1 v

4R 2g

 hay ở dạng Chézy:

2

f 2

8g 1 v S

C 4R 2g



Thay v Q

A

 thì có:

2

f

hay: nhân cả 2 vế với g 

2

2

gQ Q

trong đó: h = f1(x,t) và Q = f2(x,t)

Lời giải số của phương trình Saint Venant có thể có 2 cách :

1 Chuyển đạo hàm riêng sang thường nhờ phương pháp đặc trưng

2 Thay đạo hàm riêng bằng thương số sai phân hữu hạn và sử dụng phương pháp sơ đồ hiện hay phương pháp sơ đồ ẩn

Trước hết tìm hiểu về lý thuyết

4.9.3 Phương pháp số giải phương trình Saint Venant

(a) Giới thiệu chung

- Ra đời 1871, song lời giải bằng giải tích là không thể

- Giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn (FD), phương pháp đặc trưng và phương pháp

số dọc theo các đường (NMOL)

- Phương pháp phần tử hữu hạn (FE) không hiệu quả cho dòng 1 chiều

- FD do Courant, Friedrichs & Leavy khởi thảo năm 1928 Song 20 năm sau Isaacson, Troesch & Stoker tạo ra mô hình toán từ các mặt cắt nhất định của sông ở Ohio & Mississippi

1961 lời giải khá hay của Preissmann & 1970 sử dụng máy tính và từ đó có hàng trăm lời giải khác mà chủ yếu là FD

- Các mô hình nổi trội là:

 CARIMA & CAREDAS ở SOGREAH (1961, Liggett Ja Cunge 1975)_ Pháp

 Delft 1973, Hà Lan

 DHI với 11 SIVA 1971 & thành công nổi trội MIKE 11

 DAMBRK do NWS (Cục thời tiết Mỹ, 1978, 1982)

 HEC, 1981, HEC-RAS

(b) Cơ sở lý thuyết phương pháp FD

Sử dụng gần đúng

x 0

lim

Giả thiết f(x) là liên tục và có đạm hàm tùy ý Nên thay thế bằng chuỗi Taylor

dx 2! dx



Giải (2.2) theo df df f x x    f x

x

  

Gần đúng FD phía phải là:

f x x f x df

  

Phía trái là:

x

dx 2! dx



f x f x x df

(3.2) – (3.5) được:



Gần đúng FD dây cung AC là:

f x x f x x df

    

Thường áp dụng gần đúng phía phải

Trong FD gần đúng thì lưới toại độ song song grid (x,t)

Đối với phương trình Saint Venant thì biến là Q (v) và mặt nước (y) hay chiều sâu (h) Đạo hàm riêng thay bằng FD (3.1) & (3.4); (3.6) & (3.8) song thường là (3.4) Vậy có:iu

Thí dụ: Lưu lượng tại E là n

j

Q và mực nước tại C là n 1

j 1

y Vậy có:

n n

j 1 j

df

 

(3.9)

n n

j j 1

E j 1

f f df







n n

j 1 j 1

df





f đại diện cho (Q, v, y, h)

Tương tự cho

n 1 n

E

df

 

 

  Các biến tại (A, B,…) trong sơ đồ gần đúng là:

j j 1

A x, t  0.5 A  A hay:

j j 1 j j 1

A x, t  0.5 A  A  A   A

Từ đây có lời giải tường hay ẩn:

n 1 n 1 n n

j j 1 j j 1

f





 n 1 n 1    n n

j

f

f

2



 = 0.6 ÷ 0.8 thì ổn định đối với 04 điểm

Sơ đồ hiện

Biết vl, hl và vr, hr ở t Tìm vp, hp tại t+t

Kênh chữ nhật thì:

q h v h h

       

     (bs = const)

t

2 x





và 1 v v v h S0 Se

g t g x x

Biết P P 2

e 4 / 3 hp

v v

R

 và đặt

2

1

4 / 3 hp

n

g t R



  

2

v      v 0

 2 1/ 2 P

1

2

        Điều kiện: t  x 

v C



 



t = (tP - tR) hay t = (tP – tL); x = (xP - xR) hay x = (xP – xL)

Sơ đồ ẩn

n 1 n n 1 n

j 1 j 1 j j

h

n 1 n n 1 n

j 1 j 1 j j

Q

h

1

Q

1

j 1 j

x x x

1

Biết 2

0

S K Q Q và h = (h + z) là cao độ mặt nước đối với tọa độ cố định

Phương trình động lượng:

j 1 j 1 j j

1

   

j 1 j

1

2







 



Là phương trình đại số phi tuyến đối với n n n 1 n 1

h , Q , h  & Q  Phương trình liên tục:

j 1 j

j 1 j j 1 j

0



  

Thí dụ tính mô hình cho cầu Vĩnh Tuy qua sông Hồng tại Hà Nội

Phương trình Saint Venant cho chất lỏng đồng nhất không chịu nén là phương trình bảo toàn khối lượng và động lượng được MIKE 11 do viện Thủy lực Đan Mạch viết

q

  

(1) 2

2

Q

g Q Q A

(2) Phương trình được sai phân hữu hạn thông qua lưới của điểm Q & h

j 1 j 1 j 1 j 1

j

Q



(3)

n 1 n

s

b

 



(4)

 n 1 n

Q

 

(5)

2

j

Q

A

(6)

n 1 n n 1 n

j 1 j 1 j 1 j 1

j

h





(7) (n, j là bước thời gian và khoảng cách; bs là chiều rộng sông)