XSTK Ứng Dụng Trong Kinh Tế - TLU and maths ď Chuong5_HO_P2

.3 Một số phân phối lý thuyết quan trọng Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối chuẩn Phân phối đều Phân phối mũ Phân phối chuẩn xấp xỉ một số phân phối rời rạc Trần Minh Nguyệt

Trang 1

.

Chương 5: XÁC SUẤT, BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY

LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phần II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC QUY LUẬT

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

.2 Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Các đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên

.3 Một số phân phối lý thuyết quan trọng

Phân phối nhị thức

Phân phối Poisson

Phân phối chuẩn

Phân phối đều

Phân phối mũ

Phân phối chuẩn xấp xỉ một số phân phối rời rạc

Trần Minh Nguyệt (ĐH THĂNG LONG) Xác suất thống kê ứng dụng trong kinh tế xã hội Tháng 9 năm 2014 2 / 94

Biến ngẫu nhiênNội dung trình bày

Phân phối đều

Phân phối mũ

Trang 2

Phân phối đều

Phân phối mũ

Biến ngẫu nhiên Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên

Ta thường ký hiệu các biến ngẫu nhiên bởi các chữ X, Y, Z, Các giá trị

mà biến ngẫu nhiên nhận thường viết bằng chữ thường: x, y, z,

Ví dụ 1: Xét phép thử tung đồng thời hai đồng xu.

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần được mặt sấp trong hai lần tung

Trang 3

.

Ví dụ 2: Xét phép thử: tung một đồng xu cho đến khi được mặt sấp Gọi

X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần tung

Ví dụ 3: Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một thanh niên Việt Nam trong

độ tuổi 22-26 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ chiều cao của một thanh niên

Việt Nam trong độ tuổi trên

Không gian mẫuΩ là tập hợp tất cả thanh niên Việt Nam trong độ tuổitrên

X là một hàm số xác định trênΩ, gán mỗi thanh niên Việt Nam trong độtuổi trên với chiều cao của người đó

Biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên

Nội dung trình bày

Phân phối đều

Phân phối mũ

Trang 4

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Phân phối đều

Phân phối mũ

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối đều

Phân phối mũ

Trang 5

.

Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Kí hiệutX = xu là biến cố ”X nhận giá trị x”.

tX xu là biến cố ”X nhận giá trị nhỏ hơn x”, v.v.

Ví dụ: Xét phép thử tung đồng thời hai đồng xu.

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần được mặt sấp trong hai lần tung Hãy

mô tả các biến cố sau bằng lời:

tX = 0u, tX = 2u, tX ¤ 1u.

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

..1 Ta dùng hàm phân phối xác suất P X (x) để mô tả phân phối xác suất

của một biến ngẫu nhiên rời rạc

..2 Ta có thể dùng bảng hoặc công thức để chỉ rõ hàm P X (x).

Trang 6

.

Ví dụ 1: Quay trở lại ví dụ trên: Xét phép thử tung đồng thời hai đồng xu.

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần được mặt sấp trong hai lần tung.

Ta có thể mô tả phân phối xác suất của X bằng bảng sau:

P X (x) 0.25 0.5 0.25

Ví dụ 2: Một gia đình dự định sinh ba con Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ

số con gái mà có khả năng họ sẽ có trong hai đứa con này Lập bảng phân

phối xác suất của X.

bạn từ nhóm đó Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số sinh viên nam trong số

10 người được chọn Mô tả phân phối xác suất của X.

Trang 7

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Phân phối đều

Phân phối mũ

Trang 8

.

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì P(X = x) = 0 với mọi x.

ñ Không có khái niệm hàm phân phối xác suất P X (x) cho biến ngẫu nhiên

liên tục

ñ Hàm phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả phân phối xác suất của biếnngẫu nhiên rời rạc, chứ không thể dùng mô tả cho phân phối xác suất củabiến ngẫu nhiên liên tục được

Người ta dùng hàm mật độ xác suất để mô tả quy luật phân phối xác

suất của các biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên nào đó nếu và chỉ nếu nó

thỏa mãn hai điều kiện sau:

Trang 9

Xác định a để f(x) trở thành hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X nào đó.

Tính xác suất từ hàm mật độ

Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là f(x) thì xác suất để X nhận giá

trị trong khoảng[a, b] là:

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Các đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên

Phân phối đều

Phân phối mũ

Trang 10

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm phân phối xác suất P X (x).

Kỳ vọng (còn gọi là trung bình) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là

E (X) hoặc µ x , được xác định bởi công thức:

µx =°

x xP X (x)

Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là V (X) hoặc σ2

x , được xác định bởi công thức:

Ví dụ tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc

Quay trở lại ví dụ về biến ngẫu nhiên X chỉ số lần được mặt sấp trong hai lần tung đồng xu, ta có bảng phân phối xác suất của X như sau:

P X (x) 0.25 0.5 0.25 Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X

Kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ là f (x).

Kỳ vọng (còn gọi là trung bình) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là

E (X) hoặc µ x , được xác định bởi công thức:

µx =»+ 8

8 xf (x)dx

Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là V (X) hoặc σ2

x , được xác định bởi công thức:

Trang 11

Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.

Lời giải

Một số tính chất của kỳ vọng và phương sai

Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên

Trang 12

Ý nghĩa của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Xét một phép thử và giả sử X là một biến ngẫu nhiên xác định trên không

gian mẫu của phép thử đó

Giả sử ta tiến hành phép thử n lần, gọi x i , i = 1, 2, , n là các giá trị của

X trong n lần thử đó Giá trị trung bình của các giá trị này là:

Ví dụ: Với X là biến ngẫu nhiên chỉ số con gái trong một gia đình dự định

sinh 3 con Ta tính được µx= 1.5 Nêu ý nghĩa của con số này

Trang 13

.

Ý nghĩa của phương sai của biến ngẫu nhiên

Phương sai chính là trung bình cộng của bình phương các sai lệch giữa cácgiá trị có thể có của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của các giátrị đó Do đó nó phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫunhiên xung quanh giá trị kỳ vọng của nó

Trong quản lý và kinh doanh, phương sai thể hiện mức độ may rủi của cácphương án lựa chọn

Phân phối đều

Phân phối mũ

Một số phân phối lý thuyết quan trọngMột số phân phối lý thuyết quan trọng

Trong phần này ta sẽ đi nghiên cứu một số phân phối lý thuyết quan trọng

..2 Phân phối Poisson

Trang 14

Phân phối đều

Phân phối mũ

Một số phân phối lý thuyết quan trọng Phân phối nhị thức

Biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong n lần thử trên Khi

đó ta nói X có phân phối nhị thức và ký hiệu:

X B(n, p).

Ví dụ về biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

..1 Tung một đồng xu 3 lần Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất

hiện mặt ngửa Ta có X B(3, 0.5) (Tại sao?)

..2 Một xạ thủ bắn 100 phát vào bia Cho biết xác suất bắn trúng đíchcủa xạ thủ này là 0.7 và kết quả trong mỗi lần bắn của xạ thủ nàykhông bị ảnh hưởng bởi việc bắn trúng hay trượt của các lần bắn khác

Gọi X là số lần bắn trúng đích trong 100 lần bắn của một xạ thủ

này.Ta có X B(100, 0.7) (Tại sao?)

..3 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số sinh viên đỗ môn Xác suất thống kêtrong một lớp gồm 80 sinh viên Biết khả năng thi đỗ của mỗi sinhviên trong lớp đều bằng 30%, và kì thi cực kì nghiêm túc Khi đó ta

có X B(80, 0.3) (Tại sao?)

Trang 15

Kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Trang 16

Đồ thị hàm phân phối xác suất của phân phối nhị thức

Trang 17

.

Câu lệnh trong R của phân phối nhị thức

Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X B(n, p).

Giá trị mặc định của lower.tail là T.

Trang 18

Phân phối đều

Phân phối mũ

Một số phân phối lý thuyết quan trọng Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 0, 1, với hàm phân phối xác suất

cho bởi công thức

Phân phối Poison

Chú ý:

Phân phối Poisson là một quy luật phân phối xác suất rời rạc

Trong thực tế, biến ngẫu nhiên chỉ số lần một biến cố cụ thể sẽ xảy ratrong một đơn vị thời gian hay không gian xác định thường tuân theophân phối Poisson

Đơn vị không gian ở đây có thể là đơn vị đo chiều dài, đo diện tích bềmặt hoặc thể tích không gian

Ta gọi một đơn vị thời gian hay không gian này là một phân đoạn

Trang 19

.

Ví dụ: Những biến ngẫu nhiên sau thường tuân theo phân phối Poisson:

Số lỗi trên một trang đánh máy

Số khách hàng đến giao dịch tại một ngân hàng trong mỗi phút vàokhoảng thời gian từ 8 đến 9 giờ sáng

Số cuộc gọi khẩn cấp nhận được trong mỗi 30 phút

Số lần cảm lạnh trong một năm của một người

Một số tính chất của phân phối Poisson

Ví dụ: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số cuộc gọi khẩn cấp đến tổng đài

115 trong mỗi 30 phút

Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ số cuộc gọi khẩn cấp đến tổng đài 115 trong

mỗi 15 phút

Nếu X P(λ = 8) thì Y P(λ = 4).

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	493,62 KB