c Mối liên hệ giữa số vector của một hệ hữu hạn vector độc lập tuyến tính và hạng của nó?. Điều đó gợi cho bạn thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính nào không?. So với cách sử dụng
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 4 cho K65, khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 10/2015
Các khái niệm cơ bản của Đại số tuyến tính: Tiếp theo
Không gian vector con; Cơ sở; Số chiều
Câu hỏi 1 Một vài câu hỏi về trọng tâm kiến thức mục này, mục đích chủ yếu là nhằm ôn lại kiến thức và gợi ý cách học
(a) Cơ sở của không gian vector là gì?
(b) Chiều của không gian vector là gì?
(c) Mối liên hệ giữa số vector của một hệ hữu hạn vector độc lập tuyến tính và hạng của nó? Trong trường hợp hệ phụ thuộc tuyến tính thì điều gì xảy ra? Điều đó gợi cho bạn thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính nào không? So với cách sử dụng định nghĩa, tức là xét một
tổ hợp tuyến tính bằng ~0 rồi suy ra các hệ số của tổ hợp tuyến tính có bằng 0 không, thì cách nào có ưu điểm hơn? (ví dụ so sánh về thời gian tính toán, khối lượng tính toán v.v.)
(d) Một không gian vector có n chiều thì phải chăng mọi hệ n + 1 vector đều là phụ thuộc tuyến tính? Vì sao?
Bài tập 2 Trong các hệ sau đây, hệ nào lập thành một cơ sở của R3?
(a) (2,4,-4), (3,5,-2)
(b) (1,0,-1), (3,2,0), (0,4,-3), (-2,1,3)
(c) (1,1,1), (1,2,3), (3,-2,1)
(d) (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4)
Bài tập 3 Xét tập V của Rn gồm các vector có tọa độ (x1, x2, , xn) thỏa mãn
x1+ 2x2+ + nxn= 0
Thừa nhận V là R−không gian vector Tìm một cơ sở của không gian vector này
1
Trang 2Gợi ý Tìm một cơ sở gồm các vector bậc thang.
Bài tập 4 Giả sử ~u1, ~u2, , ~un là một cơ sở của R−không gian vector V Chứng minh rằng hệ vector ~u1, ~u1− 2~u2, ~u2− 3~u3, , ~un−1− n~un cũng là một cơ sở của V
Bài tập 5 Cho ~u1, ~u2, , ~un là một hệ các vector độc lập tuyến tính và ai,j là các vô hướng với
1 ≤ i ≤ j ≤ n Chứng minh rằng các vector
~v1 = a1,1~u1,
~v2 = a2,1~u1+ a2,2~u2,
~
vn= an,1~u1+ + an,n~un
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a1,1a2,2· · · an,n6= 0
Bài tập 6 Xét các vector sau trong R3: ~a = (1, 2, 1), ~b = (1, 3, 2), ~c = (1, 1, 0), ~d = (3, 8, 5) Đặt
F là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của vector ~a và ~b; đặt G là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của vector ~c và ~d So sánh hai tập F và G
Bài tập khó hơn
Bài tập 7 Cho V là một R−không gian vector n chiều (với n > 0) Cho S ⊂ V là một tập con hữu hạn khác rỗng Ký hiệu span(S) là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector nằm trong
S Chứng minh rằng span(S) cũng là một R−không gian vector và chiều của nó bằng rank(S)
Ghi chú Trong giáo trình span(S) được gọi là không gian vector con sinh bởi S và hay được ký hiệu là hSi
Bài tập 8 Chứng minh rằng R là một Q−không gian vector, nhưng không có chiều hữu hạn
2