Các khái niệm cơ bản của Đại số tuyến tính Hệ vector độc lập tuyến tính Bài tập 1.. Chứng minh các vector sau là độc lập tuyến tính cả trên R.. Chứng minh rằng k vector này độc lập tuyến
Trang 1Danh sách bài tập ĐSTT số 3 cho K65, khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 9/2015
Ghi chú: bài tập nào được đánh dấu là khó, thì có thể bỏ qua cho lần đầu tiên Sau khi hoàn thành các bài khác thì bạn có thể quay lại làm bài tập khó
Các khái niệm cơ bản của Đại số tuyến tính
Hệ vector độc lập tuyến tính
Bài tập 1 Chứng minh các vector sau là độc lập tuyến tính cả trên R
(a) (1,1,1) và (0,1,-1)
(b) (-1,1,0) và (0,1,2)
(c) (0,1,1), (0,2,1) và (1,5,3)
Bài tập 2 Viết vector X thành tổ hợp tuyến tính của hai vector A và B Viết tọa độ tương ứng của
X đối với A và B
(a) X = (1, 0), A = (1, 1), B = (0, 1)
(b) X = (2, 1), A = (1, −1), B = (1, 1)
(c) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (−1, 0)
Bài tập 3 Cho k vector ~v1, , ~vk trong Rn với 1 ≤ k ≤ n Giả sử các vector này có dạng như sau:
~vi là vector có i − 1 tọa độ đầu tiên bằng 0 và tọa độ thứ i thì khác 0 với 1 ≤ i ≤ k Chứng minh rằng k vector này độc lập tuyến tính
Ghi chú: Các vector có dạng như trong bài tập 3 được gọi là hệ vector bậc thang hoặc là các vector
ở dạng bậc thang
Bài tập 4 (câu a không khó, câu b,c khó) Xét trong không gian vector C[1, 2] các hàm số thực liên tục trên đoạn [1, 2], hệ vector nào sau đây độc lập tuyến tính?
(a) (t − 1)2, (t − 2)2, (t − 3)2
(b) 1, et, e−t
(c) sin x, sin 2x, , sin kx với k là số nguyên dương nào đó
1
Trang 2Hạng của hệ vector
Bài tập 5 (Thừa nhận bài tập 9,sử dụng bài tập đó để giải bài tập này) Cho V là K−không gian vector và {~v1, , ~vk} ⊂ V là một hệ hữu hạn các vector nào đó Giả sử λ2, λ3, , λk ∈ K là các vô hướng nào đó Khi đó chứng minh
rank{~v1, ~v2, , ~vk} = rank{~v1, ~v2+ λ2~v1, , ~vk+ λk~v1}
Bài tập 6 Trong không gian vector thực R4, tìm hạng của các hệ vector sau
(a) (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1)
(b) (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1)
Gợi ý Dùng bài tập 5 để giải các bài tập về tính hạng bằng cách chuyển hệ vector về dạng bậc thang như trong bài tập 3
Bài tập 7 (câu a dễ, câu b khó) Trong C[0, 1], không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [0, 1], tìm hạng của các hệ vector sau đây
(a) t2− 2t, t2− 3t, t2− 4t, t2− 5t
(b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x
Bài tập 8 Giả sử α1, , αn và β1, , βm là hai hệ vector của một không gian vector V nào đó Chứng minh rằng hạng của hệ vector
α1, , αn, β1, , βm
không vượt quá tổng hạng của hai hệ vector α1, , αn và β1, , βm
Gợi ý Có hai cách làm: một là áp dụng bài tập 9, hai là chỉ cần dùng định nghĩa của hạng
Bàn về cách tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ hữu hạn các vector
Bài tập 9 (bài tập này chỉ là phát biểu lại lý thuyết trên lớp, nên không chữa nữa) Cho V là một K-không gian vector và X ⊂ V là một hệ hữu hạn các vector
(a) Chứng minh rằng tồn tại một hệ con độc lập tuyến tính tối đại trong X
(b) Chứng minh rằng : mọi hệ con của X mà độc lập tuyến tính đều nằm trong một hệ con tuyến tính độc lập tối đại Nghĩa là ta có thể bổ sung thêm các vector trong X để hệ đã cho trở thành
hệ độc lập tuyến tính tối đại
(c) Giả sử Y ⊂ V là một hệ vector hữu hạn khác Ký hiệu rank(Y ) là hạng của Y Giả sử mỗi vector của X đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong Y Khi đó chứng minh rank(X) ≤ rank(Y )
Hệ quả : Nếu mỗi vector của X đều có thể biểu thị thành tổ hợp tuyến tính của các vector trong
Y và ngược lại, thì rank(X) = rank(Y )
Bài tập 10 Coi R3 là không gian vector thực với phép cộng và phép nhân thông thường Tìm một
hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau:
(a) (1, 1, 1), (2, 11, 20), (1, 2, 3), (3, 1, −1), (6, 9, 12)
(b) (1, 2, 3), (2, 3, 1), (4, 1, 0), (5, 5, 5), (1, 2, 7)
2