Xử lý tín hiệu số - leminhthuy2106 ď Chuong 2_Z

Xử lý tín hiệu số - leminhthuy2106 ď Chuong 2_Z tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

FITA- HUAChương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG

2.1 BIẾN ĐỔI Z

2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z

2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC

2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA

Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía

• Biến đổi Z của dãy x(n):

Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):

FITA- HUA

2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z

(ROC)

• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)

là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho

X(z) hội tụ.



+ +

1 ( )

0 ( )

(

0

x x

x n

x

n

1 )

tiêu chuẩn Cauchy

• Tiêu chuẩn Cauchy:

Một chuỗi có dạng:

hội tụ nếu:

FITA- HUAVí dụ 2.1.1: : Tìm biến đổi Z & ROC của:

Giải:

) ( )

a z

az

n n

n→ ∞  −   < 1 ⇔ >

lim

1 1

FITA- HUA

Ví dụ 2.1.2: : Tìm biến đổi Z & ROC của:

Giải:

) 1 (

) (n = −a u −n −

m

z a

1 lim

z a

FITA- HUA 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z

a) Tuyến tính

) 1 (

) ( )

( n = a u n − b u − n −

R ROC

: ) ( )

R ROC

: ) ( )

) ( )

( )

( )

1

1)

R1 : >

b z

a R

FITA- HUA

b) Dịch theo thời gian

) 1 (

) ( n = a u n −

a az

n u

) 1 (

) ( n = a u n −

: ) ( )

R'ROC

: )()

− n Z− X z n

R

RR'

FITA- HUA

c) Nhân với hàm mũ a n

) ( )

az X

n u a n

( )

( )

(

R ROC

: ) ( )

RROC

: )(

( )

( )

; 1

FITA- HUA

d) Đạo hàm X(z) theo z

) ( )

a az

z X n

u a n

( )

( )

R ROC

: ) ( )

( n ← → X z =

R ROC

: )

dz

dX(z) z

n x

n Z

dz

z

dX z

z G n

nx n

z X n

u a n

( )

( )

R ROC

: ) ( )

( n ← → X z =

R X

a 1

1 )

z ( X )

z (

FITA- HUA

f) Liên hiệp phức

R ROC

: ) ( )

( n ← → X z =

R X

n

x * ( ) ← →Z * (z*) : ROC =

g) Tích 2 dãy

RR

ROC :

d)

(2

1)

()

n x n x

RROC

: )()

RROC

: )()

FITA- HUA• Ví dụ 2.2.5: Tìm x(0), biết X(z)=e 1/z và x(n) nhân

• Giải:

X(z) lim

) 0

i) Tích chập 2 dãy

RROC

: )()

2 n ←→ X z =

RROC

: )()

1 n ←→ X z =

)()

()

(

*)

x ←→Z ;ROC có chứa R1 ∩ R2

1 e

FITA- HUA

5 0 :

; 5

0 1

1 )

( )

( )

5 0 ( )

u n

2 :

; 2

1

1 )

( )

1 (

2 )

u n

2 5

, 0 :

; ) 2

1 (

1

) 5

0 1

(

1 )

( ) ( )

z H z X z

Y

2 5

, 0 :

; ) 2

1 (

1

3

4 )

5 0 1

(

1

) 1 (

2 3

4 )

( )

5 0

( 3

1 )

(

* ) ( )

5 0 ( )

x = n h ( n ) = − 2nu ( − n − 1 )

• Giải

:

FITA- HUA TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z

z X

v

X

j C

1 2

1 ( ) 2

) 1

−

− az az

FITA- HUA

2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

=

C

n dz z

) z (

X j

) n (

2

1

π

Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong

mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ

 Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng

• Các phương pháp biến đổi Z ngược:

 Thặng dư

 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa

 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản

(*)

X ( ) ( )

(*) (**)

2 1

) ( z = z − z + − z− + z−

Suy ra:

FITA- HUA

Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết: : 2

2 1

1 )

Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả và

sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

2

1 1

(

n

n

n z z

X

) ( 2

0 :

2 )

x = n ≥ ≡ n

⇒

FITA- HUA

Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: : 2

2 1

1 )

Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân quả và

sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

3

2 2

(

n

n

n z z

X

) 1 (

2 0

: 2 )

FITA- HUA

2.3.3 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH TỔNG CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN

Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:

) (

)

( )

(

z B

z

D z

0 1

1 1

0 1

1 1

b z

b z

b z

b

d z

d z

d z

d

N N

N N

K K

K K

++

++

++

)

( )

(

z B

z

D z

) (

)

( )

(

z B

z

A z

=

0 1

1 1

0 1

1 1

b z

b z

b

a z

a z

a z

a z

N

N N

M M

M M

++

++

++

++

−

−

−

Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc M≤ N

•Nếu K≤ N, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)

Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn

đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc

M≤ N

FITA- HUA

Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc M≤ N :

) (

) ( )

(

z B

z

A z

z X

=

Xét đén các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là

đơn, bội và phức liên hiệp

0 1

1 1

0 1

1 1

b z

b z

b z

b

a z

a z

a z

a

N N

N N

M M

M M

++

++

++

) ( )

(

z B

z

A z

z X

=

)(

))(

(

)(

) ( )

(

z B

z

A z

z X

=

)(

)(

)

2 1

1

cN

N c

K z

z

K z

K

Với hệ số K i xác định bởi:

ci Z Z

=

−

ci Z Z

i

z B

z

A K

=

=

)(')(

FITA- HUA Suy ra X(z) có biểu thức:

)1

()

1()

1(

)

2

2 1

K z

z

K z

z

K z

X

cN

N c

K

) 1

K z

X

ci

i i

x

1

) ( )

(

Xét:

FITA- HUA

Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết:

65

5

2)

z

z z

X

Giải:

với các miền hội tụ: a) |z|>3, b) |z|<2, c) 2<|z|<3

) 3 )(

2 (

z

) 3 (

) 2 (

K

6 5

5 2

z z

z X

Với các hệ số được tính bởi:

z

X

)3(

52

z

X

)2(

52

) 3 (

1 )

2 (

1 )

z

z

X

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

z X

FITA- HUA

Với các miền hội tụ:

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

z X

a) |z|>3 : x ( n ) = 2nu ( n ) + 3nu ( n )

b) |z|> < 2 : x ( n ) = − 2nu ( − n − 1 ) − 3nu ( − n − 1 )

c) 2<|z|<3 : x ( n ) = 2n u ( n ) − 3n u ( − n − 1 )

FITA- HUA

b) Xét X(z)/z có điểm cực Z c1 bội r và các điểm cực đơn:

Z c(r+1) ,…,Z cN ,

) (

) ( )

(

z B

z

A z

z X

) 1 (

r c

K z

z

K z

z

K z

z

X

)(

)(

)(

)(

1

2 1

2 1

i

z z

K z

Z Z

r 1 c )

i r (

) i r (

z

)z(

Xdz

d)!

ir(

1K

=

−

= ( ) ( )

)(

)( ( 1)

1

cN

N r

c

r

z z

K z

FITA- HUA

Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:

Với giả thiết ROC của X(z): |z|> max{ |z ci | }: i=1÷ N,

biến đổi Z ngược của thành phần K i /(z-z ci ) r sẽ là:

) 2 ) (

a i

n n

n a

)

( )!

1 (

) 2 ) (

1

( )

K n

u i

a i

n n

n K n

r l

n cl l

i n r

) 2 (

4 5

2 )

2 3

z z

z z

Giải:

) 1 (

) 2 (

4 5

2 )

z

z z

z

X

) 1 (

) 2 (

) 2 (

3 2

K z

K

FITA- HUA

Vậy X(z)/z có biểu thức là:

Với các hệ số được tính bởi:

)1(

1)

2(

2)

2(

1)

z z

z X

1 )

1 (

4 5

z

z dz

d

2

2 )

1 2 (

) 1 2 (

)!

1 2 (

z

X dz

d K

2 )

1 (

4 5

2

2 )

2 2 (

) 2 2 (

)!

2 2 (

z

X dz

d K

z

X

) 2 (

4 5

2

1 2

) 1

(

1 )

2 1 (

2 )

2 1 (

1 )

z z

z X

2 : z >

ROC

) ( )

( 2

) ( 2

)

⇒

FITA- HUA

c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Z c1 và Z* c1 phức liên hiệp,

các điểm cực còn lại đơn: Z c3 ,…,Z cN ,

) (

) ( )

(

z B

z

A z

z X

=

)(

))(

)(

(

)(

3

* 1

)(

)(

)(

)(

3

3

* 1

2 1

1

cN

N c

c

K z

z

K z

z

K z

z

K z

K z

z

K z

z

K z

z

X

3

* 1

2 1

1

)(

)(

)(

)(

Với các hệ số K 1 , K i được tính giống điểm cực đơn:

N i

: )

z z

( z

) z (

X K

ci

Z Z

ci

=

1

FITA- HUA

Xét :

Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K 2 =K 1*

)(

*)

(

)

(

* 1

1 1

1 1

c

K z

z

K z

(

*)

1(

)

1

1 1

K z

z

K z

X

c c

Nếu gọi:

β

j

e K

K1 = 1

α

j c

n cos(

z K )

n (

i

n ci i

n c

Vậy:

FITA- HUA : 2

) 1 )(

2 2

(

)

− +

−

−

z z

z

z z

X

Ví dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết:

Giải:

)1)(

22

(

1)

z z

−

−

=

z j

z j

z

3

* 1

−

=

z

K j

z

K j

z

K

1 )

1 (

) 1

z j

z

) 2 2

K

1 )

1 ( 1

2 /

1 )

1 ( 1

2 /

1 )

−

− +

−

−

+ +

−

=

⇒

z z

j z

j z

x b k

n y

a

0 0

) (

) (

h(n) Z H(z): gọi là hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z)

2.4.2 Hàm truyền đạt được biểu diễn theo các hệ số PTSP

N

k

k

k z X z b z a

z

Y

0 0

) ( )

(

Z

) (

)

( )

(

z X

z

Y z

M r

r

b

0 0

FITA- HUA

Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi: Giải: y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)

2 1

1

65

1

5

2)

(

)

()

z z

X

z

Y z

H

) 3 (

) 2 (

K

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

z H

Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:

[1 5 1 6 2] ( )[2 5 1]

)(z − z− + z− = X z − z−

Y

6 5

5

22

z z

) 3 )(

2 (

5 2

z z

z H

Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2 n + 3 n ) u(n)

1 2

) 3 (

z

3 )

2 (

z K

FITA- HUA 2.4.3 Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối

(

)

()

ROC

Im(z)

/z c / max

z n

FITA- HUA

Ví dụ: 5.4.1: Tìm h(n) của hệ thống, biết:

Giải:

) 2 (

) 2 / 1 (

K

1)

2/1(1

1)

z H

2 5

2

5

4 )

z

z z

H

) 2 )(

2 / 1 (

2

5 4

z z

z H

a Hệ thống nhân quả (/z/>2): h(n)=[(1/2) n + 2 n ] u(n)

a Để hệ thống là nhân quả

b Để hệ thống là ổn định

c Để hệ thống là nhân quả và ổn định

) 2 (

1 )

2 / 1 (

b Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2) n u(n) - 2 n u(-n-1)

c Hệ thống nhân quả và ổn định:

ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1 ⇒ không tồn tại h(n)

kY z y r z

z

1

) (

) (

Z

1 phía

) 1

0 ( )

1 ( )

− +

1 ( )

2 ( )

−

= y ( 2 ) y ( 1 ) z−1 z−2 y ( 0 ) y ( 1 ) z−1

) ( )

1 ( )

2

=

FITA- HUA

Ví dụ 5.5.1: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía

y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n≥ 0biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9

Giải:

Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:

Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)

Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra:

)3(

1

2

1)

1(

1

2

1)

3)(

1(

1)

z z

z

z

Y

) 3

1 (

1

2

1 )

1 (

1

2

1 )

z Y

[ ] 3 1 ( ) 2

1 )

⇒