Bài 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCI... .0r về bên trái và phải song song với trục hoành Ox với ir là véc tơ đơn vị trên trục Ox... Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I- Phương trình lượng giác cơ bản.
Trang 1Bài 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1) A
B có nghĩa khi B 0� (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0�
2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 � � � �
2
5) Hàm số y = tanx xác định khi
2
x� k
Hàm số y = cotx xác định khi x�k
Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1) y = sin x4 2) y = 2 sinx 3) y = tan(x +
4
) 4) y = cot(2x - )
3
5) y = 1 osx
1-sinx
c
6) y = cos 1
2
x x
7) y =
sinx 2 osxc
II Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin2(-x) = 2
sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x
PP: Bước 1 : Tìm TXĐ: D ; Kiểm tra x D� �x D x� ,
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có 3 khả năng
+ Nếu f(-x) = f(x) thì f(x) là hàm số chẵn.
+ Nếu f(-x) = - f(x) thì f(x) là hàm số lẻ.
+ Nếu f(-x) �- f(x) �f(x) thì f(x) là hàm số không chẵn không lẻ.
Ví dụ: Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau:
a)ysin2x.cot3x b)ycos x sin2 x c)
x
x
cos 1
tan
d)
x
x y
2 sin
5 sin
III Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 � � � � ; 0 �sin2 x �1 ; A2 + B �B
PP: B 1 : Biến đổi hàm số về dạng y = asinx + b hoặc y = acosx + b
B 2 : Ta có 1 sinx 1 � � � a a� sinx� a � a b a� sinx+b�a b
B 3 : GTLN của y là: a + b khi sinx = - 1 2
2
x k
� GTNN của y là: - a + b khi sinx = 1 2
2
x k
�
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
a) y =
2sin(x-2
) + 3 b) y = -1 - os (2x + )2
3
c) y = 1cos(4x )2 - 2 d) y 3cosx sinx e) y = sin4x + cos4x f) )
3 cos(
y
ĐS: a, LN: 5, NN: 1 b, LN: - 1, NN: - 2 c, LN: 2 2 , NN: - 2 d, LN: 12 , NN: 1
2
1
Trang 2IV- Đồ thị của hàm số lượng giác
1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
– Tìm tập xác định D
– Tìm chu kỳ T0 của hàm số
– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần)
– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:
0, 0
x���� ���. – Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ
– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v k T ir 0r về bên trái và phải song song
với trục hoành Ox (với ir là véc tơ đơn vị trên trục Ox).
2) Một số phép biến đổi đồ thị:
a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên
trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0
b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành.
c) Đồ thị ( ) ( ), ( ) 0
f x khi f x
f x khi f x
�
được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua
trục hoành
Ví dụ: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = f(x) = sinx b) y = f(x) = cosx c) y = sin2x d) y = 1 + cosx e) y = sinx
�Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
x
x
y
2
sin
5 sin
b)
x
x y
cos 2 1
sin
c)
x
x y
3 cos 2 2
tan
x
x y
sin 2 3
2 cot
ĐS: a, \{ }
2
k
3 k
�
k
k
�
k
�
Bài 2: Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a) y = sinx + x b) y = sin x + x2 c) y = tan5x.cot7x
d) y = cosx + sin2x e) y = sin2x.cos3x
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau.
a) y = 4 3 os 3 c 2 x b) y = 2 sinx 31 c) y = sinx + cosx + 1 d) y = 3cosx – 4sinx + 2 ĐS: a, LN: 3, NN: 2 b, LN: 5, NN: 3 c, LN: 2 1 , NN: 2 1 d, LN: 7, NN: - 3 ………***………
Trang 3Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I- Phương trình lượng giác cơ bản
sin u = sin v
2
2
k v u
k v u
( k Z ) cos u = cos v u = v + k2 ( k Z ) tanu = tanv u = v + k ( k
Z ) cotu = cotv u = v + k ( k Z )
Phương trình đặt biệt :
sinx = 0 x = k , sinx = 1 x =
2
+ k2 ,sinx = -1 x = -
2
+ k2
cosx = 0 x =
2
+ k , cosx = 1 x = k2 , cosx = -1 x = + k2
Ví dụ 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản
a) sin(x + 1) = 1 b) 2sin(2x30) 20 c) cos(
3
x ) = 1
2
3 2 cos(
x
e) tan(2x + 100) = 1 f) 3 0
4 2
x
g) cot(x – 2) = 3 h) 1 0
5
2 2 cot
x
2
x k
b,
(75 / 2) 180 (195 / 2) 180
�
/ 3 2 2
�
�
7 /12 / 4
�
�
e, x(35 / 2)0k900 f, x7 / 6 k2 g, x 2 arc cot 3k h, x 22 /15 k2
Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi về phương trình cơ bản
Áp dụng : + Công thức biến đổi góc + Công thức nhân đôi + Công thức hạ bậc
+ Công thức biến đổi tổng thành tích
a) sin3x – cos5x = 0 b) sin(5x + 600) + sin3x = 0 c) cos2x = 3
4 d) tan3x = cotx e)
2cos 2
0
1 sin 2
x
x
f) tanx.tan2x = 1 ĐS: a, x /16k/ 4, x / 4k b, x = (-15/2)0 + k450, x =600 + k1800
c, x / 6k, x / 6k d, x / 8k / 4 e, x3 / 4 k f,
/ 6 / 3
x k
Ví dụ 3: Tìm các nghiệm thuộc một miền cho trước
6
a ��x ��
� � với b) tan 2 x 1
12
x
� � với x 2 ĐS: a) {- ;5 }
2 6
b) {- ; 5 ; }
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1) 2sin(x + 150) + 1 = 0 2) 3cos(x – 1) = 2 3) 2cos(3x – 150) + 2 = 0 4) tan( 12 ) 3
12 x 5)cot( 20 )0 3 0
4x 6)2sin2x – 1 = 0 7)sin3x + cos2x = 0 8)cotx.cot4x = 1 9)2 2 2 0
sin 4
co x x
ĐS: 1, x = - 450 + k3600, x = 1950 + k3600 2, x = 1 arccos2 2
3k
� 3,x500k1200, x = -400+ k1200
Trang 48,
k
x
9,
8
x� k
II – Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
2
a x b x c Đặt t = cosx , 1 � �t 1 2
a x b x c Đặt t = sinx , 1 � �t 1
atan2x b tanx c 0 Đặt t = tanx
acot2x b cotx c 0 Đặt t = cotx
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 b) tan2x + ( 3 + 1)tanx - 3 = 0
Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi về phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
+ Nếu phương trình có cùng góc thì áp dụng hằng đẳng thức lượng giác biến đổi
+ Nếu phương trình không cùng góc thì áp dụng công thức hạ bậc, công thức nhân đôi,
công thức biến đổi tích thành tổng và các công thức biến đổi về góc
1) cos2x + 2sinx + 2 = 0 2) cos2x + sin2x – sinx + 1 = 0 3) cos4x + cos2x + 1 = 0
4) 23 3cot 3
sin x x 5) 7tanx – 4cotx = 12 6) t anx tan 1
4
x
� � 7) 3 + 2sinx.sin3x = 3cos2x 8) sin4 os4 sin 2 1
2
x c x x 9) 2 3
� � � � 10) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x)
2
x k
2, 2
2
x k
k
x x� k
x k x k
5, arctan 2 , arctan( 2)
7
x k x k 6, x k ,xarctan 3k 7, x k 8,
4
x k
9, x 2 2
� 10,
4
x k
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1) sin2 2cos 2 0
2) 4sin4x + 12cos2x = 7 3) 3cos2x + 10sinx + 1 = 0
4) 12 2 tan 0
c x 5) 2cos 2x2cosx 2 0 6) 5tanx – 2cotx = 3
7) os2 3cos 4cos2
2
x
sin 2
x
ĐS: 1, x4k 2,
k
x
3, arcsin( 1) 2 , rcsin( 1) 2
x k x k 4,
4
x k
4
x� k
6, , arctan( 2)
x k x k
3
x� k
8,
3
x� k
III – Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2 0
+ Nếu a2 + b2 < c2 thì (1) vô nghiệm + Nếu a2 + b2 � c2 thì (2) có nghiệm
Đặt thừa số chung vế trái cho 2 2
a b �
(2) a2 b2.cos(x ) = c với cos 2 2
b a
a
Trang 5(2) 2 2.sin( )
, cos 2b 2
Chú ý: + acosx + bsinx = 0 chia hai vế cho cosx � a + btanx = 0
+ acosx + bsinx = 2 2
os
a b c : ta biến đổi vế trái về dạng a2 b2.cos(x ) = 2 2
os
a b c
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) sin 3x 3 os3c x 1 b) 3cos2x – 4sin2x = 5 c) 2sin 5x 3 os3c xsin 3x0
x x
b,
2 k
k
x x k
Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi về phương trình bậc nhất sinx và cosx.
a) 3 sin 2 sin 2 1
2
x �� x��
� � b)sin 8xcos 6x 3 sin 6 xcos8x c) 2sin
4
x
� � + sin x 4
� � =
3 2
2 d) 3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 6 2 2
ĐS: a,
3
x k
k
x k x
x k x k
d,
2
x k
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a) cosx 3 sinx 2 b) sinxc so x 2 sin 5x c) 2sin2x 3 sin 2x 3
sin cos
x
e) cosx + 3 sin 2 cos 0
3
x �� x��
x k x k
b, ,
x x
c, 5
12
x k
d, ,
k
x x k
e,
6
x k
IV - Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
Dạng : a.cos 2 x + b.sinx.cosx + c.sin 2x = d
Cách 1:
Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
2
Khi cosx � , chia hai vế phương trình (1) cho 0 cos2x � ta được: 0
Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2 (a d t ) b t c d 0
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos 2 sin 2 1 cos 2
�
.sin 2 ( ).cos 2 2
b x c a x d a c
Ví dụ : Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 b) 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0
c) 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4 d) 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
1
Trang 6c, ,
x k x k d,
4
x k
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a) sin2xsin 2x2cos2x1/ 2 b)
sin xsin 2x3cos x c)0 sin2 x3sinxcosx1 ĐS: a,x / 4k,xarctan( 5) k
b,x / 4k,xarctan( 3) k c, x / 2k,xarctan(1/ 3)k
V- Các phương trình lượng giác khác.
1, Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
Công thức biến đổi tích thành tổng và công thức hạ bậc
2 2 2
a) sin 4 os3x c xsinx b) cos os3x c x c os5 os7x c x c) sinx sin 2 xsin 3x0
d) sinx sin 2 xcosx c os2x ĐS: a, ,
x x
b, ,
x x
k
x x� k
k
x k x
2, Áp dụng công thức hạ bậc và biến đổi tổng thành tích
a) sin2xsin 22 xsin 42 xsin 32 x b) 2 2 2 3
2
c x c x c x
x k x x
b, ,
k
x x� k
3, Phương trình các dạng khác.
a) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx b) tanx + tan2x = sin3x.cosx c) sinx + cosx = os2
1 sin 2
x
d) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 e) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x
4
x k x k
b,
3
k
x
x k x k x k
x k x� k
k
x x k x k
�Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a) cosx.cos2x = cos3x b) sin5x + sin3x = sin4x c) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 d) sin3x.cosx = cos3x.sinx e) cos3x – sin3x = sinx – cosx f) sin2 tan2 os2 0
x c
ĐS: a, ,
2
k
x k x
k
x x� k
x k x x
Trang 7d, , ,
k
x k x k x
e,
4
x k
x k x k x k
………***………