HTQ de thi hoc sinh gioi toan 9 nam hoc 2017

Cho tam giác ABC vuông tại A đường phân giác AD, DBC.. a Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và AB AC.. Gọi AH AD lần lượt là đường cao, đường phân , giác củ

ĐỀ 1

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ 2016-2017

Thời gian làm bài 150 phút

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)

Câu 1 Biểu thứ c 5 32

6

x

x x



  có nghĩa khi nào?

A    3 x 2 B 5

2

3 x C x   3 hoă ̣c x2. D 5

3

3

x

Q

Tìm giá trị nhỏ nhất của Q

A 2

7

Câu 3 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y2m3x4m3 Go ̣i h là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) Ti ̀m giá tri ̣ lớn nhất của h

A.2 3 B 13 C 15 D 5

Câu 4 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A2;3 ; B  4; 4 ; C 5; 1  Tính diê ̣n tích tam

giác ABC

A 30,5 B 28,5 C 42 D 38

Câu 5 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đườ ng thẳng  1

:

d x y ;

 2

1 1

:

3 2

d y  x

;   d3 : 2m3x3my0 Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy

A 1

2



3

2 3



Câu 6 Cho Parabol (P): yx2 và đường thẳng (d) có phương trình y2m2x5m16

Tìm giá trị của m để (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung

A 16

5

5

m

 

C.m   4 hoă ̣c 16.

5

5

m

Câu 7 Gọi x y0; 0 là nghiê ̣m của phương trình 2 2  

9 4 7 2 3 7

x  y  x  y x sao cho y0 đa ̣t giá tri ̣ lớn nhất Tính tổng x0 y0

A 4 B 5

2



2



Câu 8 Tìm m để phương trình x2(m4)x  m 3 0 có hai nghiê ̣m x x1; 2là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 26

A m   8 hoặc m  2 B m  2

C m   8 D m  8 hoă ̣c m   2

Câu 9 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB  2,5 cm AD ;  3,5 cm BD ;  5 cm và

DBCDAB Tính tổng BC+DC

A 17 (cm) B 19 (cm) C 20 (cm) D 22 (cm)

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A đường phân giác AD, DBC Đẳng thức nào sau đây đúng ?

AB AC  AD B 1 1 2

AB AC  AD C 1 1 1

AB AC  AD D 1 1 2

AB  AC  AD

Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC có BAC300, kẻ hai đường cao BD, CE DAC E; AB

Go ̣i ; 'S S lần lượt là diê ̣n tích  ABC ,  ADE Tính tỉ số S'

S

A 3

4 B

1

1

3

2

Câu 12 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ AH  BC , HDAB, HEAC

HBC D, AB E, AC Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A.AD AB AE AC B.BD BA CE CA

BD BAAH

Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC có ABC ACB, kẻ đườ ng cao AH, trung tuyến AM

M H, BC Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A. cot - cot

2

2

HAM 

C. tan - tan

2

2

HAM 

Câu 14 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB =2R Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA,

OB Qua M kẻ dây cung CD, qua N kẻ dây cung EF sao cho CD//EF (C, F cùng thuộc nửa đường tròn đường kính AB) và 0

30

CMO Tính diện tích tứ giác CDEF theo R

A

2

15

8

R

B

2

13 4

R

C

2

15 4

R

D

2

3 15 8

R

Câu 15 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Điểm M thuộc tia đối của tia AB, qua M kẻ

tiếp tuyến MC vơ ́ i đường tròn (O) ( C là tiếp điểm), kẻ CH vuông góc với AB HAB biết

( 0)

MAa MC  a  Tính CH theo a

A 12

5

a

B 9

5

a

C 8

5

a

5

a

Câu 16 Một ngo ̣n hải đăng ở vi ̣ trí A cách bờ biển (là đường thẳng) mô ̣t khoảng AH 3 (km)

Mô ̣t người gác hải đăng muốn từ vị trí A trở về vi ̣ trí B trên bờ biển (HB = 24 (km)), bằng cách chèo thuyền với vâ ̣n tốc 3 (km/h) tới vi ̣ trí M trên bờ (M nằm giữa H và B) sau đó từ M chạy bộ dọc theo

bờ biển đến B vơ ́ i vâ ̣n tốc gấp bốn lần vâ ̣n tốc chèo thuyền Biết tổng thời gian di chuyển từ A về

đến B hết 3 giờ 20 phút Tính khoảng cách MB ?

A 12 (km) B 16 (km) C 18 (km) D 20 (km)

B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Cho các số dương a b c , , thỏa mãn ab bc ca1 Chứng minh rằng

HB=24km

3km

H A

2 2 2 0

a b b c c a

b) Chứng minh rằng nếu a b 3thì hai phương trình sau: 3 2 4

(a a x) a ya  1 0;

(b b x b y)  b  1 0 (a,b là các tham số) không có nghiệm nguyên chung

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình 2x 3 x 1 1

b) Giải hệ phương trình

x x y x xy y x y





Câu 3 (4,0 điểm) Cho đường tròn ( ; )O R và điểm A cố định trên ( ; )O R Gọi M, N là các giao

điểm của hai đường tròn ( ; )O R và ( ; )A R ; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN của đường tròn

( ; )A R Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt ( ; )O R tại B, C Kẻ

HI  AB IAB HK  AC KAC

a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và AB AC 2R2 b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích AIK khi H thay đổi

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn a  b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2(a b b c c a2  2  2 ) ( a2b2c2)4abc

Đề 2

Đề thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh năm 2016-2017

Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1 (3 điểm) Cho ba số , ,a b c thỏa mãn điều kiện: a b 7, b c 3 Tính giá trị của biểu thức:

2 2

a b c ab bc ca P

a c ab bc

    



  

Bài 2 (3 điểm) Giải phương trình:   2

2x1 x 3 x 3

Bài 3 (3 điểm) Giải hệ phương trình:    

  

x y y x







Bài 4 (4 điểm)

a) Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn điều kiện: 2 1

x y

x y 

  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pxy2

b) Tìm x y, nguyên thỏa mãn phương trình: xyx2y x 5

Bài 5 (5 điểm)

a) Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm GọiM N lần lượt là trung điểm của BC ,

và AH Đường phân giác góc A cắt MN tại K Chứng minh rằng: AK HK

b) Cho ABC nội tiếp đường tròn  O Gọi AH AD lần lượt là đường cao, đường phân , giác của góc A Tia AD cắt  O tại E, tia EH cắt  O tại F và tia FD cắt  O tại K

Chứng minh rằng AK là đường kính của  O

Bài 6 (2 điểm) Trong tuần, mỗi ngày năm chỉ chơi một môn thể thao Nam chạy ba ngày trong

tuần nhưng không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp Vào thứ hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi?

-Hết-

Đề 3

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Nghệ An - Bảng A năm học 2016-2017

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1 (4 điểm)

a) Tìm hệ số ,b c của đa thức   2

P x x bxc biết P x  có giá trị nhỏ nhất bằng 1, tại 2

x

b) Giải hệ phương trình

2

0

x xy xy y







Câu 2 (4 điểm)

a) Giải phương trình x 2 3 1x2  1x

b) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn ab bc ca  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

P

Câu 3 (3 điểm)

Cho tam giác ABC có BAC 135 , BC5 cm , đường cao AH 1 cm Tính độ dài các cạnh ,

AB AC của tam giác

Câu 4 (5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O , D là một điểm trên cung BC không chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác ,

ACE Gọi , P Q lần lượt là hình chiếu của K trên BC và AB, gọi I là giao điểm của EK và

AC Chứng minh rằng:

a) Ba điểm , ,P I Q thẳng hàng

b) PQ đi qua trung điểm của KH

Câu 5 (4 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m n p q, , , thỏa mãn

1 1 1 1 1

1

m   n p q mnpq 

b) Trên một bảng có ghi hai số 1 và 5 Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo quy tắc sau: Nếu

có hai số phân biệt trên bảng thì ghi thêm số z  x y xy Chứng minh rằng các số trên bảng (trừ số 1) có dạng 3k2 với k là số tự nhiên

Đề 4

Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm học 2016-2017

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1 (3 điểm)

1) Rút gọn biểu thức B 13 30 2  9 4 2

2) Cho các số thực a b c, , thỏa mãn a b c  0, 2 2 2

a b c , 2 2 2

b c a , 2 2 2

c a b

Tính giá trị của biểu thức

P

a b c b c a c a b

Câu 2 (4 điểm)

1) Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm trên đường thẳng y2x1, những điểm M x y sao  ,  cho y25y x6x0

2) Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn 0

6 5 4

a  b c Chứng minh rằng phương trình

2

0

ax bx c luôn có nghiệm

Câu 3 (4 điểm)

1) Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

2 2 2

a b c

a b abc b c abc c a abc

2) Tìm các số nguyên tố a b c, , và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình

16 9 1

a b  c  k 

Câu 4 (6 điểm)

Cho đoạn thẳng AB2a có trung điểm là O Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa

đường tròn tâm O , đường kính AB và nửa đường tròn tâm O đường kính AO Điểm ' M thay đổi trên nửa đường tròn  O (' M khác A và O ), tia OM cắt đường tròn  O tại C Gọi D là

giao điểm thứ hai của CA với đường tròn  O '

1) Chứng minh rằng ADM cân

2) Tiếp tuyến tại C của đường tròn  O cắt tia OD tại E Chứng minh EA là tiếp tuyến

chung của hai đường tròn  O và  O '

3) Đường thẳng AM cắt OD tại H , đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn

 O tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng ba điểm A M N, , thằng hàng

4) Tính độ dài đoạn thằng OM theo a biết ME song song với AB

Câu 5 (3 điểm)

1) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao cho

2

AM  AP  AN Tính góc PAN?

2) Cho các đa thức   8 2

P x x ax bx c và   2

2016 2017

Q x x  x thỏa mãn

  0

P x  có ba nghiệm thực phân biệt và P Q x   0 vô nghiệm Chứng minh rằng

2017 1008