BTL qua trinh ngau nhien ung dung de tai 15 : Tìm hiểu chung về phổ, phổ công suất, ước lượng phổ và áp dụng trong xử lý tín hiệu

BTL qua trinh ngau nhien ung dung de tai 15 : Tìm hiểu chung về phổ, phổ công suất, ước lượng phổ và áp dụng trong xử lý tín hiệu. Như những phần xem xét trước đây ta xét, một tín hiệu là một hàm của thời gian; người ta chứng minh được rằng một hàm bất kì luôn biểu diễn được thành tổng các hàm sin. Hàm sin là một hàm tuần hoàn, có chu kỳ và tần số. Khi khai triển một hàm thành một chuỗi các hàm sin thì tập hợp các tần số của các thành phần gọi là phổ của hàm đó. Như vậy, có thể khái quát phổ là cách biểu diễn tín hiệu trên miền tần số. Theo lý thuyết tín hiệu, khái niệm phổ gắn liền với phép biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier là một công cụ toán được định nghĩa là một cặp biến đổi thuận – ngược có dạng như sau (xét trong trường hợp tín hiệu liên tục):

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 2

Mục Lục

Lời nói đầu 4

I Phổ trong xử lý tín hiệu 5

1 Khái niệm 5

2 Môt số tính chất của phổ 6

II Phổ công suất 8

1 Khái niệm 8

2 Đặc điểm, tính chất 9

3 Hệ thống tuyến tính 12

3.1 Định Lý 12

3.2 Hệ Quả 13

3.3 Một số hệ tuyến tính 14

III Ước lượng phổ 18

1 Ước lượng phổ 18

2 Phổ chu kỳ 19

2.1 Định nghĩa - Định Lý 19

2.2 Cửa sổ dữ liệu 20

2.3 Phương Sai 20

IV Bài Tập 22

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 3

Đề Cương – Phân Công Công Việc

Lời nói đầu

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 4

Chúng ta đang sống trong một thế giới tương tự (analog) Mọi thông tinchúng ta nhận được và xử lý thông qua các giác quan đều liên tục theo thờigian Đối với một hệ thống số, tín hiệu đầu vào cũng là liên tục, đầu ra của nócũng phải là liên tục theo thời gian Vì sao lại như vậy? Vì chỉ có như vậy thì

hệ thống số của ta mới có giá trị sử dụng trong thực tế

Tuy đầu vào và ra là tương tự như vậy nhưng việc xử lý trong hệ thống chúng

ta lại phải thực hiện dưới dạng số (digital) Có nhiều nguyên nhân dẫn đến việcphải sử dụng DSP (digital signal processing) như yêu cầu về tốt độ xử lý, khảnăng chống nhiễu, kích thức và độ bền của thiết bị số so với tương tự

Từ đầu vào tương tự, ta phải tiến hành biến đổi thành tín hiệu số trước khithực hiện DSP Việc biến đổi này gọi là rời rạc hóa tín hiệu, hay lấymẫu(sampling) Hiểu 1 cách đơn giản đó là việc ta đo giá trị của tín hiệu saumỗi khoảng thời gian rồi ghi lại khoảng thời gian đó gọi là chu kỳ lấy mẫu Từchu kỳ lấy mẫu ta có thể tính được tần số lấy mẫu

Mặt khác do những hạn chế về công nghệ, hiện nay con người mới chỉ sửdụng được một phần rất hạn chế của trục tần số đề truyền tin Nghĩa là thực tếthì băng tần số là hữu hạn chứ không phải là vô hạn, và do vậy phải chia sẻmỗi người, mỗi hệ thống truyền tin chỉ được chiếm một mảnh xác định băngtần Vì vậy bên cạnh việc biểu diễn thông thường tin hiệu như một hàm củathời gian lại nảy sinh ra nhu cầu xem xem tín hiệu truyền đi tồn tại trên trục tần

số như thế nào, tức là phải biểu diễn được tín hiệu trên miền tần số

Bởi vậy cần nghiên cứu phổ của tín hiệu để biết đặc trưng của tín hiệu trênmiền tần số và để xử lý tín hiệu

I Phổ trong xử lý tín hiệu

1 Khái niệm

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 5

Như những phần xem xét trước đây ta xét, một tín hiệu là một hàm của thờigian; người ta chứng minh được rằng một hàm bất kì luôn biểu diễn đượcthành tổng các hàm sin Hàm sin là một hàm tuần hoàn, có chu kỳ và tần số.Khi khai triển một hàm thành một chuỗi các hàm sin thì tập hợp các tần số củacác thành phần gọi là phổ của hàm đó

Như vậy, có thể khái quát phổ là cách biểu diễn tín hiệu trên miền tần số.Theo lý thuyết tín hiệu, khái niệm phổ gắn liền với phép biến đổi Fourier.Biến đổi Fourier là một công cụ toán được định nghĩa là một cặp biến đổithuận – ngược có dạng như sau (xét trong trường hợp tín hiệu liên tục):

Phổ được chia làm hai loại là: phổ công suất và phổ tín hiệu Trong đó

- Phổ công suất hay còn được gọi là mật độ phổ công suất là phổ củahàm tự tương quan của tín hiệu; hàm tự tương quan thể hiện mối quan

hệ của tín hiệu đó qua thời gian đây là thành phần được coi gần đúngnhư là tất định

Cặp biến đổi Fourier với quá trình ổn định theo nghĩa rộng – WSS vớihàm tự tương quan là R (τ )

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 6

Cặp biến đổi Fourier với quá trình ngẫu nhiên x (t)

 Nếu x(t) là tín hiệu thực thì P(w),|S(w)| là hàm chẵn theo w, Q(w),j(w)

là hàm lẽ theo w Trong đó: |S(ω)|, φ (ω) , P( ω) ,Q (ω )có tên gọi tương ứng

là phổ biên độ, phổ pha, phổ thực và phổ ảo

 Tính chất dịch chuyển trong miền thời gian

x(t - t0) ↔ S(ω¿e−jωt0

x(t + t0) ↔ S( ω¿e jωt0

 Tính chất dịch chuyển trong miền tần số

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 7

2

X (ω)

d2ω

 Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier

Ta thấy rằng biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu S(ω) hội tụ Vậy ta có thểphát biểu như điều kiện hội tụ của chuỗi này như sau:

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 8

tự tương quan) thì tích chất trên vẫn được bảo toàn( thay x(t) thành hàm

tự tương quan).Trong phàn trình bày dưới đây là tìm hieeut về phổ công suất xét trên quá trình ổn định theo nghĩa rộng- WSS

1 Khái niệm

Phổ công suất của một quá trình ngẫu nhiên x(t) (thực hoặc phức) là phépbiến đổi Fourier S(ω) trên hàm tự tương quan của nó Hàm tự tương quan thểhiện mối quan hệ của tín hiệu qua thời gian nên phổ công suất được coi gầnđúng là tất định

Với tín hiệu ổn định, phép biến đổi Fourier được sử dụng để miêu tả mộthàm như là phép chồng lũy thừa

Xét một quá trình WSS x(t) (thực hoặc phức) với hàm tự tương quan là

R (τ )=E {x (t +τ ) x¿

(t )};Khi đó phổ công suất của quá trình trên là:

Xét một quá trình ngẫu nhiên WSS x(t) với hàm tự tương quan R(τ ) ta có:

 Nếu x(t) là một quá trình ngẫu nhiên thực, thì R (τ ) là thực và chẵn suy ra

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 9

 Phổ công suất chéo của 2 quá trình x(t) và y(t) là biến đổi Fourier S xy(ω)

trên hàm tự tương quan chéo R xy ( τ )=E {x (t + τ ) y¿(t)}

Ví dụ: Tìm phổ của các xung Poisson có dạng

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 10

 Tích phân phổ: Trong toán học, những tính chất phổ của 1 quá trình x(t)được thể hiện trong điều kiện của tích phân phổ F (ω) định nghĩa nhưtích phân của S(ω) và y(t) qua biển)

Phổ hiệp phương sai tích hợp F c(ω) và y(t) qua biển) là tích của phổ hiệp phương sai Từ biểuthức (3) suy ra rằng F (ω)=F c(ω)+2 π η2U (ω).

 Phổ vecto Quá trình ngẫu nhiên X(t) = [xi(t)] là WSS nếu thành phầncủa nó xi(t) là WSS đồng thời Trong trường hợp này, ma trận tự tươngquan của nó chỉ phụ thuộc vào τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes: = t1 – t2 Từ điều này suy ra rằng:

Phổ công suất của quá trình vecto WSS X(t) là ma trận vuông có dạng:

S xx (ω )=[S ij (ω)], các thành phần của nó là biến đổi Fourier S ij ( ω) của các phần tử

R ij (τ ) của ma trận tự tương quan chính nó R ij (τ ) Tương tự xác định các ma trận

S xx (ω ) và S xx (ω ) kết luận từ (4) rằng

S xy ( ω)=S xx (ω) H+¿(ω)S yy(ω) =S xy(ω)H(ω) ¿Với H (ω)=[ H´ ji(ω)]là một ma trận m×r với các thành phần biến đổi Fourier

H ji (ω) của phần tử h ji (t )¿của ma trân đáp ứng xung H (t ). Vì vậy

S yy(ω)= ´H (ω) S xx(ω) ´H+ ¿ (ω)¿Đây là mở rộng hệ quả của hế thống tuyến tính (được trình bày ở dưới) với hệthống nhiều đầu cuối

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 11

 Định lý WIENER – KHINCHIN Từ biểu thức biến đổi ngược của phép

biến đổi Fourier ta có ( biểu thức số (2) )

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 12

Chúng ta sẽ dùng (5) để làm rõ phổ công suất S(ω) và y(t) qua biển) của một quá trình x(t) như

là công suất trung bình của quá trình y(t) khác thu được bằng cách lọc x(t).Đặt ω1=ω0+δ và ω2=ω0– δ, kết luận rằng nếu δ là đủ nhỏ

E{y2(t )}≈ δ

π S(ω0)điều này chỉ ra rằng sự định vị của công suất phổ của x(t) trên trục tần số

Rxy(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) = Rxx(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:)*h*(- τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) Ryy(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) = Rxy(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:)*h(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) (7)

Sxy = Sxx(ω) và y(t) qua biển) H*(ω) và y(t) qua biển) Syy(ω) và y(t) qua biển) = Sxy(ω) và y(t) qua biển)H(ω) và y(t) qua biển) (8)

Chứng minh: Nhân liên hợp (6) với x(t + τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) và dùng các giá trị kỳ vọng,

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 13

Kết hợp hai phương trình (7) và (8), chúng ta có được

Ryy(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) = Rxx(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:)*h(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:)*h*(-τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) = Rxx(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:)*ρ(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:)

Syy(ω) và y(t) qua biển) = Sxx(ω) và y(t) qua biển)H(ω) và y(t) qua biển)H*(ω) và y(t) qua biển) = Sxx(ω) và y(t) qua biển)| H(ω) và y(t) qua biển)|2

Trong đó

Chú ý: nếu x(t) là nhiễu trắng với công suất trung bình q, thì

Rxx(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) =q δ(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) Sxx (ω) và y(t) qua biển) = q

Syy(ω) và y(t) qua biển) = q|H(ω) và y(t) qua biển)|2 Ryy(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) = qρ(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:)

Từ hệ quả trên và công thức đảo ngược Fourier, suy ra rằng

Chú ý : các kết quả trên được giữ nguyên nếu các hàm tương quan đượcthay thế bằng các hiệp phương sai tương ứng, và tất cả các phổ được thay thếbằng phổ hiệp phương sai tương ứng Điêu này từ thực tế rằng đáp ứng đểx(t) – ηx bằng y(t) – ηy

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 14

Là trung bình của quá trình x(t) trong khoảng thời gian (t – T, t + T ) Rõràng, y(t) là đầu ra của một hệ thống với đầu vào x(t), và đáp ứng xung

là xung hình chữ nhật như trong hình dưới đây

Tương ứng ρ(τ) của x(t) như là tích phân Riemann – Stieltjes:) là một tam giác Trong trường hợp này,

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 15

Hàm này gần bằng 0 trong khoảng thời gian 1/T, và nó tiến tới 1 khi ω

đủ lớn Trong đó, lọc qua cao tần ngăn chặn các tần thấp của đầu vào

 Đạo hàm Đạo hàm x’(t) của một quá trình x(t) có thể được xem như làđầu ra của một hệ thống tuyến tính với đầu vào x(t) và hàm hệ thống jω) và y(t) qua biển.Theo định lý, suy ra rằng

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 16

Trong tất cả các trường hợp, E{y2(t)} = q/2bc

 Biến đổi Hibert Một hệ thống với hàm hệ thống (hình dưới)

H (ω)={−j ω>0

j ω<0

Được gọi là bộ lọc góc vuông ( bộ lọc thông tắt) Đáp ứng xung tương ứngbằng 1/πt (Papoulis, 1997) Vì vậy H(ω) là lọc pha với = -90t (Papoulis, 1997) Vì vậy H(ω) và y(t) qua biển) là lọc pha với = -90o giai đoạnchuyển; Do đó đáp ứng của nó đối với cosωτdτωt bằng cos(ωt – 900 )=sin ωt và đápứng của nó đối với sin ω) và y(t) qua biểnt bằng sin(ωt – 900)=−cos ωt

Đáp ứng của bộ lọc vuông góc đối với quá trình thực x(t) được kí hiệu bởi

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 17

R(τ)=E {X (t+ τ /2) X¿

Nó sẽ được xác định trong điều kiện của ước lượng R(t)

Chúng ta thu được ước lượng:

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 18

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 19

Nếu S(ω) và y(t) qua biển) gần như không đổi trong khoảng thời gian theo thứ tự của 1/T,

phổ chu kỳ là ước lượng độ lệch của S(ω) và y(t) qua biển) Để làm giảm độ lêch, ta thay vào(12) quá trình x(t) bởi kết quả c(t)x(t) Điều này làm biến đổi phổ chu kỳ

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 20

Chú ý: cửa sổ dữ liệu có thể hữu ích nếu chúng ta làm mịn ST(ω) và y(t) qua biển) của trungbình toàn bộ; Giả sử chúng ta có quyền truy cập đến N các mẫu độc lập x(t, ξi)của x(t), hoặc ta chia mẫu đơn dài thành N phần tử độc lập cơ bản, mỗi khoảngthời gian 2T, chúng ta tạo phổ chu kỳ ST(t, ξi) của mỗi mẫu và trung bình củachúng

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 21

Phổ - Phổ Công suất – Ước lượng phổ 22