Tên đề tài " hớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử " A.. Việc giải quyết tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phơn
Trang 1Phòng GD-ĐT Chơng Mỹ Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Phần I : Sơ yếu lý lịch.
Chuyên ngành đào tạo: Toán-Tin
Bộ môn đợc phân công giảng dạy: Toán 6A+6B
Phần II : Nội dung đề tài.
Tên đề tài
" hớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử "
A Đặt vấn đề
1 Lý do chọn đề tài.
a Lý do chủ quan
Tôi là một giáo viên mới ra trờng còn hạn chế nhiều về chuyên môn, nghiệp vụ nên việc học hỏi trau dồi kinh nghiệm là điều rất cần thiết Trong giai đoạn cha ổn định về mặt phơng pháp nh hiện nay, bản thân tôi luôn phải thể nghiệm các phơng pháp, nhóm phơng pháp để đúc rút kinh nghiệm cho mình từ đó nâng cao hiệu quả giảng dạy cho bản thân
Học sinh trờng THCS Trung Hoà ít có điều kiện và khả năng tự học Các em còn yếu và còn thiếu về kiến thức cơ bản cũng nh về kỹ năng nhìn nhận tìm hớng đi cho một bài toán
b Lý do khách quan
Đại số 8 nói chung và bài toán phân tích thành nhân tử là một nội dung rất hay và phong phú, nó rèn kỹ năng tính toán và óc t duy linh hoạt cho học sinh Đây là những kiến thức cơ bản làm nền móng cho việc tiếp thu kiến thức ở các lớp trên
Việc giải quyết tốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử sẽ hỗ trợ
đắc lực cho việc giải phơng trình sau này
Do yêu cầu đổi mới SGK, đổi mới phơng pháp giảng dạy đối với bộ môn toán 8 theo tinh thần " lấy học sinh làm trung tâm ", nên việc tổ chức hớng dẫn để các em tìm tòi cách giải toán là yêu cầu cần thiết của ngời thầy
Trang 2Mặt khác, kiến thức SGK rất cơ bản nên việc phát hiện bổ xung kiến thức, tìm tòi các phơng pháp mới trên cơ sở nền tảng kiến thức SGK là
điều cần thiết, nó tạo cho các em tính “tò mò khoa học”, “ tính tự lập” và hình thành thói quen tự học
Hơn thế nữa, toán 8 là một mắt xích quan trọng trong trục chơng trình, không những nó giúp các em học toán tốt hơn ở những năm học sau này,
mà còn giúp các em học tốt hơn cả những môn học tự nhiên khác
Khi giải quyết đợc vấn đề này, đồng thời các em cũng giải quyết đợc nhiều mặt khác nh :
+ Củng cố kiến thức
+ Rèn kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp,
+ Phát triển t duy
+ Tạo ra một lng vốn kiến thức cho những năm học sau này
Từ những tâm huyết và trăn trở nêu trên, tôi đã xây dựng một đề tài mang tên “Hớng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử “
2 Thời gian thực hiện và phạm vi đề tài
a Thời gian
Học kỳ I năm học 2002 - 2003
b Phạm vi thực hiện
Lớp 8D trờng THCS Trung Hoà - Chơng Mỹ - Hà Tây
3 Khảo sát trớc khi thực hiện đề tài
Các em chỉ hiểu và làm đợc các bài toán đơn giản trên cơ sở một vài phép biến đổi thuần tuý, cha có khả năng phán đoán, định hớng đúng cho việc giải bài toán
Về mặt phơng pháp các em còn hiểu rất sơ sài mà chủ yếu, các phơng pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm nhiều hạng tử Việc vận dụng các phơng pháp còn mang tính nhỏ lẻ thiếu đồng bộ và không hệ thống
Trớc khi thực hiện đề tài này tôi cho các em làm bài kiểm tra khảo sát chất lợng nh sau :
Lần 1: (15’)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1 A = 8x3 + 1
2 B = x + y + xy + y2
Kết quả nh sau
Tổng số
học sinh
Điểm
0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB
Trang 3Lần 2: (20’)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1 A = (x+2)2 - 6(x+2) + 9
2 B = x3 - 2x2 - x+2
Kết quả nh sau
Tổng số
học sinh
Điểm
0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB
Qua hai bài kiểm tra tôi thấy chất lợng có đi lên nhng rất chậm, cha
đáp ứng đợc yêu cầu ngày càng cao về chất lợng của các môn học thay sách
Từ thực trạng trên, tôi đa ra một số giải pháp sau:
B Giải quyết vấn đề
I Kiến thức cơ bản :
Việc nắm vững kiến thức cơ bản là một điều rất cần thiết sẽ giúp các
em giải quyết bài toán một cách thuận lợi và dễ dàng hơn Kiến thức cơ bản
là xơng sống để từ đó phát triển mở rộng các phơng pháp giải bài tập
Từ những quan điểm trên tôi trang bị cho học sinh những kiến thức sau đây
1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ
2 Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử (SKG toán 8 - tập 1)
- Phơng pháp đặt nhân tử chung
- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
- Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
3 Nghiệm của đa thức
Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x)
Ta có f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức
4 Đồng nhất hệ số
Nếu anxn + an-1xn-1 + + a1 = bnxn + bn-1xn-1 + + b1
thì
1 1
1 1
.
b a
b a
b a
n n
n n
5 Nếu thay x1=a1 hoặc x2=a2 mà A(x1,x2, ,xn)=0 thì A(x1,x2, ,xn) (x1 a1), (x2 a2),
Vậy A(x1,x2, ,xn) = K(x1-a1)(x2-a2)
6 Tam thức bậc hai
Trang 4Tam thức ax2+bx+c phân tích đợc thành nhân tử khi b2-4ac 0 (thừa nhận dấu hiệu này)
II Các dạng bài tập và cách giải
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph ơng pháp “ tách
Cơ sở :
Nếu f(a) = 0 thì f(x) = (x-a)g(x) với f(x) và g(x) là các đa thức
Quy tắc: tách một số hạng tử thành một số hạng tử khác làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức từ đó bài toán đợc giải quyết
1 Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = x2 - 4x+3
Phân tích tìm lời giải:
Ta phải tách một trong ba hạng tử thành các hạng tử mới để gộp với hai hạng tử còn lại trở thành các nhóm, mỗi nhóm xuất hiện nhân tử chung giống nhau, nhờ thế bài toán đợc giải quyết
Lời giải Cách 1: (Tách hạng tử giữa)
A = x2 - x - 3x +3
= x(x-1)-3(x-1)
=(x-1)(x-3) Cách 2: (Tách hạng tử cuối)
A =x2-4x-1+4
=x2-1-4x+4
=(x-1)(x+1)-4(x-1)
=(x-1)(x+1-4)
=(x-1)(x-3) Cách 3: (Tách hạng tử cuối)
A =x2-4x+4-1
=(x-2)2-1
=(x-2+1)(x-2-1)
=(x-1)(x-3) Cách 4: (Tách hạng tử cuối)
=x2-9-4x+12
Trang 5=(x-3)(x+3-4)
=(x-3)(x-1) Cách 5: (Tách hạng tử giữa và hạng tử cuối)
A =x2-2x-2x+3
=x2-2x+1-2x+2
=(x-1)2-2(x-1)
=(x-1)(x-1-2)
=(x-1)(x-3) Bài toán trên không phức tạp các em có thể dễ dàng tiếp thu Tôi muốn
đa ra bài toán này để giúp các em có học lực yếu cũng có thể nhận thức
đ-ợc Việc giải bài toán theo nhiều cách giúp các em biết xem xét bài toán ở nhiều góc cạnh từ đó các em có cái nhìn phong phú hơn
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 4x2 - 4x-3
Lời giải Cách 1 :(Tách hạng tử thứ hai)
=2x(2x+1)-3(2x+1)
=(2x+1)(2x-3) Cách 2 :(Tách hạng tử thứ ba)
=(2x-1)2-4
=(2x-1-2)(2x-1+2)
= (2x+1)(2x-3)
Nhận xét :
Việc tách hạng tử với mục đích tạo ra các hệ số tỷ lệ từ đó xuất hiện các thừa số chung, nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức
2 Bài tập tự luyện
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2-6x+8
b) 9x2+6x-8
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) -c2(a-b)+b2(a-c)-a2(b-c)
Gợi ý: tách a-c=(a-b)+(b-c)
Trang 6b) (x-y)-x3(1-y)+y3(1-x)
Gợi ý: tách 1-y=(x-y)+(1-x)
Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph ơng pháp “ thêm
Cơ sở thêm và bớt cùng một hạng tử vào đa thức làm xuất hiện nhân tử hoặc hằng đẳng thức từ đó cho ra kết quả
1 Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
4x4+81
Phân tích tìm lời giải:
ở bài toán này chúng ta cha thể sử dụng đợc bất kỳ hằng đẳng thức nào, mặt khác cũng cha có nhân tử chung vì thế cần thêm bớt nh thế nào
đó để có hằng đẳng thức Đến đây, tôi đặt câu hỏi cho học sinh : “Nếu sử dụng hằng đẳng thức a2+2ab+b2 thì thiếu bộ phận nào”
Lời giải:
4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2
=(2x2+9)2-(6x)2
=(2x2+9-6x)(2x2+9+6x)
=(2x2-6x+9)(2x2+6x+9)
Việc giải bài toán là một phép thêm bớt đơn giản và dễ dàng cho kết quả nhng cha đợc hớng dẫn thì quả là một vấn đề khó đối với các em Qua bài toán này các em sẽ có những kiến thức và kinh nghiệm mới cho việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
x6-1
Phân tích tìm lời giải :
Ta thấy x6-1 có thể phân tích thành (x3)2 - 1 hoặc (x2)3-1 để sử dụng ngay hằng đẳng thức mặt khác ta cũng có thể thêm bớt để xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc để nhóm
Lời giải : Cách 1: (Nối từ x6 đến 1)
x6-1 =x6-x5+x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1
=x5(x-1)+ x4(x-1)+ x3(x-1)+ x2(x-1)+ x(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x5+ x4+ x3+ x2+ x+1)
=(x-1)[x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1)]
=(x-1)(x+1)(x4+x2+1)
Trang 7= (x-1)(x+1)[(x2+1)2-x2]
= (x-1)(x+1)(x2+1-x)(x2+1+x)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) C¸ch 2:
x6-1 =x6+x3-x3-1
=x3(x3+1)-(x3+1)
=(x3+1)(x3-1)
=(x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1) C¸ch 3:
x6-1 =x6+x4+x2-x4-x2-1
=x2(x4+x2+1)-(x4+x2+1)
=(x4+x2+1)(x2-1)
=( x4+2x2+1-x2)(x-1)(x+1)
= (x2-x+1) (x2+x+1) (x-1) (x+1) C¸ch 4:
x6-1 =(x3)2-1
=(x3-1)(x3+1)
= (x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1) C¸ch 5:
x6-1 =(x2)3-1
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) C¸ch 6:
x6-1 =x6-3x4+3x2-1+3x4-3x2
=(x2-1)3+3x2(x2-1)
=(x2-1)[(x2-1)2+3x2]
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) C¸ch 7:
x6-1 =x6-x2+x2-1
=[(x3)2-x2]+(x2-1)
=(x3-x)(x3+x)+(x2-1)
Trang 8= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) Cách 8:
x6-1 =x6-x2+x2-1
=x2(x4-1)+(x2-1)
=x2(x2-1)(x2+1)+(x2-1)
=(x2-1)[x2(x2+1)+1]
= (x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) Cách 9:
x6-1 =x6-x4+x4-1
=x4(x2-1)+(x2-1)(x2+1)
=(x2-1)(x4+x2+1)
= (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) Các cách làm trên có những cách rất đơn giản nhng cũng có những cách phức tạp song tôi muốn dẫn dắt các em theo nhiều hớng khác nhau với mục đích để các em sẽ có cái nhìn phong phú hơn, khi đứng trớc một bài toán các em có kỹ năng nhận biết cách nào đơn giản nhất, từ đó có
định hớng đúng cho việc giả bài tập
Mặt khác, việc đa ra nhiều cách làm là tạo cho các em có một “lng vốn kiến thức” để khi gặp một bài toán có thể “làm cách này không đợc thì làm cách khác”
2 Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x5+x4+1
b) x8+x+1
c) 4x4+1
d) x8+98x2+1
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph ơng pháp “ đổi biến số
”
Cơ sở
Khi gặp một bài toán có một số biểu thức lặp đi lặp lại trong các hạng tử nhng luỹ thừa khác nhau để đơn giản hoá bài toán ta có thể đặt biểu thức đó thành một biến mới rồi giải quyết bình thờng Sau khi giải bài toán với biến mới, ta phải thay về biến ban đầu
1 Các bài toán
Trang 9Bµi to¸n 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a (x2+x)2+4(x2+x)-12
b (x2+x+1)(x2+x+2)-12
Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i:
a) DÔ dµng nhËn thÊy, x2+x lÆp ®i lÆp l¹i b) x2+x+2 = (x2+x+1)+1
Lêi gi¶i
a §Æt x2+x=y (x2+x)2+4(x2+x)-12 =y2+4y+12
=y2-2y+6y-12
=y(y-2)+6(y-2)
=(y-2)(y+6) Thay y = x2+x
= (x2+x-2)(x2+x+6)
=(x-1)(x+2)(x2+x+6)
b §Æt x2+x+1=t (x2+x+1)(x2+x+2)-12 =t(t+1)-12
=t2+t-12
=t2-9+t-3
=(t-3)(t+3)+(t-3)
=(t-3)(t+4) Thay t=x2+x+1
= (x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)
Bµi to¸n 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
A=x4+6x3+7x2-6x+1
Lêi gi¶i :
A = x2(x2+6x+7-6 1) 2 [( 2 12) 6 ( 1) 7 ]
2
x
x x
x x x
2 2
2
1 2
1
x x y
x x
y y
x
Thay vµo (*), ta cã:
x2(y2+2+6y+7) =x2(y2+6y+9)
=x2(y+3)2
Trang 10Thay
x x
y 1
2 2
2
) 1 3 (
] 3 )
1 ( [
x x
x x x x
Cách 2:
x4+6x3+7x2-6x+1 =x4+6x3-2x2+9x2-6x+1
=x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2
=(x2+3x-1)2
Nếu làm phép so sánh giữa cách 2 và cách 1 thì rõ ràng cách 2 đơn giản hơn rất nhiều Vậy phải chăng cách tôi đã làm phức tạp hoá vấn đề một cách không cần thiết ?
Tôi muốn đa ra bài toán trên cho học sinh không phải chỉ để làm phong phú cách làm toán mà nhằm mục đích trang bị cho các em kiến thức để sau này khi giải phơng trình bậc 4 dạng đối xứng các em có thể giải quyết nhanh gọn
2 Bài tập tự luyện
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x(x+1)(x+2)(x+3)+1
Gợi ý:
x(x+1)(x+2)(x+3) = x(x+3)(x+1)(x+2)
=(x2+3x)(x2+3x+2) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
(x2+y2+z2)-(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2
Gợi ý:
Đặt x2+y2+z2=a
xy+yz+zx=b
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph ơng pháp “ hệ số bất định ”
Cơ sở
Nếu anxn + an-1xn-1 + + a1 = bnxn + bn-1xn-1 + + b1
thì
1 1
1 1
b a
b a
b a
n n
n n
1 Các bài toán
Trang 11Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x4-6x3+12x2-14x+3 (1)
Phân tích tìm lời giải:
Ta thấy, 3 có các ớc 1, 3 nhng không là nghiệm của 1, vậy việc tìm ra nghiệm rất khó khăn và cũng có thể không có nghiệm, vì thế việc định hớng để phân tích ra nhân tử bậc 1 rất khó khăn Nếu (1) phân tích đợc thì sẽ có dạng (x2+ax+b)(x2+cx+d)
Lời giải Giả sử (1) phân tích đợc thành nhân tử, ta có
x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d)
3
1 4 12 6
bd
bc
a d
d b
a c
c a
Cho b=3 -> d=1 ->a=-2;c=-4
Vậy ta có dạng đã phân tích của (1) là
(x2-2x+3)(x2-4x+1)
Đây là bài toán khó, dạng toán phức tạp chỉ có một số ít các em làm
đ-ợc Mục đích tôi đa ra bài toán này là giúp học sinh khá giỏi giải quyết các bài toán tơng tự, từ đó mở ra một định hớng mới cho việc phân tích đa thức thành nhân tử bài toán có ý nghĩa nh một chìa khoá cho việc giải các bài toán khó phân tích Mặt khác việc làm tốt phơng pháp này, tạo thuận lợi cho các em học tốt hơn ở các lớp học tiếp theo
Vì đây là dạng toán khó, nên đại bộ phận học sinh trong lớp không làm đợc, nếu tiếp tục đa vào các bài tập dạng này sẽ gây tâm lý hoang mang, choáng váng cho học sinh có lực học trung bình và yếu Vì thế tôi nhanh chóng chuyển sang dạng toán khác
2 Bài tập tự luyện
Dùng phơng pháp hệ số bất định, phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x4+4x3+5x2+2x+1
b) 3x2+22xy+11x+37y+7y2+10
Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph ơng pháp “ xét giá trị riêng ”
Cơ sở:
Nếu thay x1=a1 hoặc x2=a2 mà A(x1,x2, ,xn)=0 thì A(x1,x2, ,xn)
),
(
),
(x1 a1 x2 a2
Vậy A(x1,x2, ,xn) = K(x1-a1)(x2-a2)
1 Các bài toán
Phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 12Lời giải
Nếu thay
a c
c b
b a
vào (1) thì P = 0 -> a-b, b-c, c-a là những nhân tử
với K là hằng số
Nếu thay a = 1, b = 2, c = 0 và biểu thức ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)= K(a-b)(b-c)(c-a), ta có K = 1
Đây là dạng toán phức tạp nhng tôi cố gắng chọn ra bài toán thật đơn giản vì đặc thù học sinh ở trờng tôi, các em nhận thức chậm, nếu đa bài toán phức tạp thì vừa mất thời gian lại không hiệu quả
2 Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) b) a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph ơng pháp “ tìm
Cơ sở:
- Nếu f(a)=0 thì x-a là nhân tử của đa thức f(x)
Ta có f(x)=(x-a)g(x), trong đó f(x), g(x) là các đa thức
- Nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm a', b' thì phân tích đợc thành a(x-a')(x-b')
1 Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x3+3x2-4
Phân tích tìm lời giải:
Dễ nhẩm thấy x=1 là nghiệm của đa thức -> đa thức chứa nhân
tử x-1, vậy ta phải biến đổi đa thức làm xuất hiện nhân tử x-1
Lời giải
x3+3x2-4 =x3-1+3x2-3
=(x-1)(x2+x+1)+3(x2-1)
=(x-1)[x2+x+1+3(x+1)]
=(x-1)(x2+4x+4)
=(x-1)(x+2)2
Bài toán 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 13a) x2+3x+2 (1)
Gợi ý: Hãy tìm nghiệm của đa thức
Lời giải a) Dễ thấy x=-1 và x=-2 là nghiệm của đa thức (1) Vậy
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
Trên cơ sở các em hiểu thật kỹ phần a, tôi cho các em về nhà tự làm phần b
Bài toán trên rất đơn giản, nhng lại mở ra một hớng mới cho việc suy luận tìm lời giải, nó có tác dụng định hớng cho việc phân tích làm xuất hiện nhân tử chung
Mặt khác, tôi muốn đa ra dạng toán này để các em sớm tiếp cận và làm quen với nghiệm của phơng trình đặc biệt là phơng trình bậc hai mà các
em sẽ học rất nhiều ở lớp 9 và các năm học sau này Vấn đề của bài toán tuy không “to tát” song bài toán đã hé mở cho các em một ý tởng mới
2 Bài tập tự luyện
Phân tích đa thức thành nhân tử
c) x3-x2+1 d) 2x3-2x2-x+1 e) x2-4x+3 f) 2x2+3x-2
Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều
ph
ơng pháp
1 Các bài toán
Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b)
Lời giải
A = b2c+bc2+ac2-a2c-a2b-ab2
=(abc- a2b)+(ac2-a2c)+(b2c-ab2)+(bc2-abc)
(thêm bớt abc)
= ab(c-a)+ac(c-a)+b2(c-a)+bc(c-a)
=(c-a)(ab+ac+b2+bc)
=(c-a)[a(b+c)+b(b+c)]
=(c-a)(b+c)(a+b)