Dự đoán nhanh kết quả Bài toán tìm x, ycủa đa thức hai biến bậc hai

Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà trờng đóng vai trò vô cùng quan trọng dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn học của nhà trờng, đối với giáo viên dạy toán là niềm

Phòng giáo dục huyện đông triều

kinh nghiệm

Dự đoán nhanh kết quả

“ Bài toán tìm x, y của đa thức hai biến bậc hai

f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 +dx + ey + g (1)

đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị đó “

Ngời viết : Hoàng Quang Phong

Đơn vị công tác : Trờng THCS Tân Việt

Năm học : 2004-2005

Phần I:

Cơ sở lý luận và thực tiễn

1*/ Cơ sở lý luận :

Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh

tế, Quân sự trong cuộc sống Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà trờng đóng vai trò vô cùng quan trọng dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn học của nhà trờng, đối với giáo viên dạy toán là niềm tự hào song đó cũng là thử thách vô cùng lớn.Để dạy toán và học toán tốt thì Thày và Trò không ngừng rèn luyện và đầu t trí và lực vào nghiên cứu học hỏi.Học và dạy toán với chơng trình cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũi nhọn lại vô cung gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc ngời học và ngời dạy phải có trí tuệ nhất định

mà cả thày và trò phải dày công đầu t vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra ngời dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình cùng góp sức để đa bộ môn toán ngày càng phát triển

Thực hiện nhiệm vụ năm học cũng nh đợc sự phân công của Ban giám hiệu nhà trờng THCS Tân Việt, qua quá trình bồi dỡng học sinh giỏi vài năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó Đứng trớc một bài toán nếu ngời thày cha hiểu cha có hớng giải thì ta hớng dẫn học sinh nh thế nào, thật khó trong những tình huống nh thế ngời thày sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, còn học sinh đã không giải đợc toán nhng lại mất niềm tin ở thày và cảm thấy việc học toán là cực hình là khó vô cùng không thể học đợc

Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại một bộ môn khoa học đa dạng

về thể loại không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnh cao của trí tuệ nhân loại Khi trực tiếp bồi dỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức toán của bản còn rất hạn chế từ bài toán:

“Tìm x, y của: Đa thức hai biến bậc hai

f(x,y) = ax 2 +bxy + cy 2 +dx + ey + g (1)

đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị đó ”

Đây là bài toán có cách thức để giải xong cả thày và trò lại rất ngại khi đụng

đến vì phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách phân tích đa thức dạng (1) thành tổng các bình phơng Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hớng dẫn học sinh nhận xét để phân tích đa thức bằng các phơng pháp mà học sinh và thày đợc trang bị trong cấp học, nhng đều không thành công bởi chính thày cũng phải lần mò mãi mới có lời giải Cho đến một ngày tôi đọc đợc bài báo của tác giả Trần Văn Vuông - Hà Nội trên báo Toán học và tuổi trẻ ra tháng 8 năm 1998, bài báo này đã giúp tôi nhất nhiều trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi, đối với bài toán trên khi

áp dụng kiến thức của bài báo vào, mỗi khi hớng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự

tin và giữ vai trò chủ đạo để hớng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán

đợc bằng nhiều cách, đặc biệt là việc lần mò phân tích thì không phải lo nghĩ về vấn đề thời gian các em có hớng phân tích cụ thể, và có hứng thú thực sự với dạng toán này Từ thực tế này tôi xin đợc trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng bài toán này đợc mở rộng và phát triển sâu rộng hơn

2*/ Cơ sở thực tiễn :

A-Tình hình chung :

a) Tình hình học sinh :

Đối tợng là học sinh giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tơng đối vững có trí tuệ nhất định Xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng làm đợc, đối với

Bài toán tìm x, y của đa thức hai biến bậc hai

“

f(x,y) = ax 2 +bxy + cy 2 +dx + ey + g (1)

Đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị đó”

Các em đều cho rằng bài toán có lời giải nhng vì đầu t vào sẽ mất nhiều thời gian, vì với các phơng pháp đợc học để phân tích đa thức dạng (1) thật không dễ chút nào nên các em thờng bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán này

b) Tình hình giáo viên

Thời lợng thực dạy trên lớp 20 tiết/1 tuần và chuẩn bị giáo án đồ dùng để phục vụ tiết dạy đẫ nấp kín thời gian trên lớp và ở nhà, mặt khác trong nền kinh tế thị trờng với đồng lơng “bèo bạc” không đáp ứng đợc cuộc sống đạm bạc của các nhà s phạm Nên không thể tự mình để mình đói đợc vậy phải đầu t vào kiếm sống

và sinh nhai cho bản thân cùng gia đình Trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn

và bao trùm Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất khó, có lẽ mọi ngời cùng một suy nghĩ rằng - cố gắng hoàn thành nhiệm vụ

là đợc còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học

Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải cho các bài toán lă những ngời phải có trí tuệ, phài là bậc vĩ nhân Suy nghĩ này chỉ

đúng một phần vì “Ngọc không mài thì không sáng đợc” Đối với bài toán tìm cực

trị của Đa thức hai biến bậc hai f(x,y) = ax 2 +bxy + cy 2 +dx + ey + g (1) lại không

có cách giải cụ thể mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của ng ời làm toán

Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và thinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng đợc chuyên môn, công việc giảng dạy của mình Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với bài toán trên song không vận dụng đợc vào cấp học phổ thông, hoặc cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chơng trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện hành

c) Các tài liệu

Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về

số lợng, có vô số và lan tràn khắp thị trờng, vì mục đích kinh doanh bề ngoài sách

đẹp, tiêu đề sách thu hút song nội dung thì trùng nhau lời giả sơ sài, tính s phạm không cao Sách giáo khoa của Bộ giáo dục vì lý do s phạm vì khuôn khổ chơng

trình học của cấp học nên phần giải Bài toán tìm cức trị của Đa thức hai biến bậc

hai f(x,y) = ax 2 +bxy + cy 2 +dx + ey + g (1) chỉ có tính chất giới thiệu thông qua bài

tập ứng dụng, mà không bố trí riêng tiết dạy trong chơng trình của cấp học

B- M ụ c đ íc h -N h iệ m vụ - Ph ơ ng ph á p n g h iê n c ứ u

a) Mục đích :

Nhằm nâng cao chất lợng giải bài toán cực trị của đa thức hai biến bậc hai Giải quyết khó khăn về thời gian, và tạo niềm tin cho giáo viên trong quá trình hớng dẫn học sinh phân tích đa thức thành tổng các bình phơng Giúp cho thày và trò trong dạy và học đạt đợc kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi khối THCS, học sinh có kỹ năng vận dụng và hứng thú để làm loại toán này

b) Nhiệm vụ :

Vì lý do s phạm vì khuôn khổ chơng trình học của học sinh kinh nghiệm này chủ yếu phục vụ giáo viên trong quá trình soạn bài Thông qua dự đoán giá trị cực trị và tìm xo, yo của Đa thức f(x,y), tạo điều kiện cho giáo viên có thời gian đầu t vào việc hớng dẫn học sinh phân tích Đa thức f(x,y) thành tổng các bình phơng bằng nhiều cách, khoa học và phù hợp với đối tợng học sinh Khẳng định vai trò chủ đạo của ngời thày trong đổi mới phơng pháp dạy và học Giáo viên dễ dàng vận dụng các phơng pháp dạy học đổi mới, tạo hứng thú cho học sinh học toán, phát huy phơng pháp phân tích đi lên (xuống) và phơng pháp tổng hợp trong học và dạy toán

c) Phơng pháp :

Để viết đợc kinh nghiệm này bản thân tôi đã sử dụng những phơng pháp sau :

*- Nghiên cứu tài liệu :

SGK - Sách tham khảo ; tạp trí toán học.

*- Sử dụng phơng pháp phân tích đi lên (xuống), tổng hợp

của dạy học.

*- Vận dụng thực hành trong giảng dạy.

*- So sánh, tổng kết

*- Kết hợp với hội đồng s phạm nhà trờng cùng nghiên cứu vận dụng kiến thức hợp lý không quá sức học sinh trong khuôn khổ chơng trình học.

Phần II

Nội dung thực hiện

A* - Kiến thức cơ sở

Sau khi đợc phân công bồi dỡng học sinh giỏi toán tôi bắt tay vào việc phân loại học sinh, ra đề khảo sát với một số dạng toán cơ bản có kiến thức tổng hợp, rèn

nhiều kỹ năng với học sinh giỏi trong đó có bài toán : Tìm x và y sao cho A = x“ 2 -4xy + 5y 2 + 10x - 22y + 2003 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó” thật bất ngờ vì

lúc ra đề tôi hy vọng rất nhiều song khi xem bài làm của học sinh tôi rất thất vọng Nhng khi trao đổi trực tiếp với học sinh các em đều cho rằng bài toán không khó vì

có hớng giải rồi song đầu t thời gian vào thử các phơng án để phân tích thành tổng các bình phơng sẽ mất rất nhiều thời gian Điều này không chỉ xảy ra với học sinh

mà ngay chúng ta khi chuẩn bị các bài tập dạng này cũng vậy rất ngại vì mất quá nhiều thời gian Do vậy chủ yếu thực hiện cho xong không tìm tòi đầu t nghiên cứu sâu để giải bài tập này Sau rất nhiều trăn trở, ấp ủ và cũng nhiều lần thử sức và một ngày may mắn với tôi đã đến khi tôi đọc đợc bài báo của tác giả Trần Văn Vuông

-Hà Nội trên báo Toán học tuổi trẻ tháng 8 năm 1998 Xin đợc trích nội dung bài đó

nh sau: “Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức hai biến bậc hai”

1/ Định nghĩa 1 :

Đa thức hai biến bậc hai có dạng :

f(x,y) = ax2 +bxy + cy2 +dx + ey + g (1)

Trong đó a, b, c, d, e, g là hằng số và a, b, c không đông thời bằng không, còn x, y là những biến số, đợc gọi là đa thức hai biến bậc hai

(Tam thức bậc hai một biến là trờng hợp riêng của đa thức hai biến bậc hai)

Ta quy ớc gọi tắt đa thức hai biến bậc hai là Đa thức f(x,y)

2/ Định nghĩa 2 :

+/ Số M đợc gọi là giá trị lớn nhất của Đa thức f(x,y) nếu có cặp giá trị xo, yo sao cho với mọi cặp giá trị x, y ta đều có :

f(x,y) ≤ f(xo, yo ) = M khi đó ta ký hiệu M = maxf(x,y)

+/ Số m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của Đa thức f(x,y) nếu có cặp giá trị xo, yo sao cho mọi cặp giá trị x, y ta đều có :

f(x,y) ≥ f(xo, yo ) = m khi đó ta ký hiệu m = minf(x,y)

3/ Các mệnh đề :

a*/ Mệnh đề 1 :

Nếu f(x,y) là đa thức dạng (1) thì với mọi cặp giá trị xo, yo ta đều có:

f(x,y) - f(xo, yo) = a(x-xo)2 + b(x-xo)(y-yo) +

c(y-yo)2 + (2axo+byo+d)x + (bxo+2cyo+e)y

Ta dễ dàng chứng minh đợc mệnh đề trên.

b*/ Mệnh đề 2 :

Nếu  = b2 - 4ac > 0 thì Đa thức f(x,y) dạng (1) không có maxf(x,y) và cũng không có minf(x,y)

Thật vậy ta đặt :  = b2 - 4ac Khi  > 0 ta có hệ phơng trình :

 2ax o  by o  d  0

Hệ trên có nghiệm duy nhất :

Và f(x,y) - f(xo, yo) = a(x-xo)2 + b(x-xo)(y-yo) + c(y-yo)2

Xét trờng hợp :

*/ Nếu a ≠ 0 thì vì  > 0 nên phơng trình :

at2 + bt + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Gọi 2 nghiệm đó là t1, t2 thì at2 + bt + c = a(t-t1)(t-t2)

nên f(x,y) - f(xo, yo) = a[x-xo-t1(y-yo)][x-xo-t2(y-yo)]

+ Nếu A là số bất kỳ cho trớc thì khi chọn :

và ta có ngay f(x,y) - f(xo, yo) = A

*/ Nếu a = 0 thì vì  = b2 - 4ac = b2 >0 nên b ≠ 0

f(x,y) - f(xo, yo) = (y-yo)[b(x-xo)+c(y-yo)]

+ Nếu A là số bất kỳ cho trớc thì khi chọn :

Ta có ngay f(x,y) - f(xo, yo) = A

Và nh vậy ta đã chứng minh đợc mệnh đề 2

c*/ Mệnh đề 3 :

*/ Nếu  = b2 - 4ac < 0 thì Đa thức f(x,y) dạng (1) có :

Thật vậy khi xét trờng hợp  < 0

Khi đó hệ phơng trình (2) có nghiệm duy nhất (3) với cặp giá trị xo, yo đó ta vẫn có (4)

Vì  = b2 - 4ac <0 nên 4ac > b2 ≠ 0 và do đó a, c cùng dấu

+/ Nếu a, c cùng dơng :

f(x,y) - f(xo, yo) =

với mọi cặp giá trị x, y ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = xo và y = yo do đó minf(x,y) = f(xo,yo)

+/ Nếu a, c cùng âm thì :

f(x,y) - f(xo, yo) =

(4) )

, f(x có

ta , x trị giá

cặp với

) (

;

0 0























2 2

0 0

0

cd bde ae

g y y

bd ae y

be cd x

) (

y y

; ) ( x

2 1 2

1

2

t t a

Aa t

t a

t Aat

















1









 xo ; y yo x

b

c A

0 c a, Khi )

, maxf(x

0 c a, Khi )

, minf(x

























2 2

2 2

cd bde ae

g y

cd bde ae

g y

0 ) (

)]

( )

x -(x

4

2 a y y o a y y o

b a

0 ) (

)]

( )

x -(x





4

2 a y y o a y y o b

a

với mọi cặp giá trị x, y; Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi khi x = xo và y = yo do

đó maxf(x,y) = f(xo,yo)

Nh vậy ta đã chứng minh đợc mệnh đề 3.

Chú ý : minf(x,y) và maxf(x,y) là giá trị f(x o ,y o )trong đó

x o , y 0 là cặp nghiệm duy nhất của hệ phơng trình (2).

d*/ Mệnh đề 4 :

*/ Nếu  = b2 - 4ac = 0 thì Đa thức f(x,y) dạng (1) có :

Không có maxf(x,y) và không có minf(x,y) khi 2ae ≠ bd hoặc 2cd ≠ be

Thật vậy xét trờng hợp  = 0 :

+/ Nếu b ≠ 0 thì 4ac = b2 > 0 nên a, c cùng dấu và

-) Nếu 2ae = bd thì f(x,y) là tam thức bậc hai của một biến

Trong đó x1 là giá trị tuỳ ý

Chú ý Rằng vì 4ac = b 2 > 0 với điều kiện 2ae=db tơng đơng với điều kiện 2cd = be

và ta có

-) Nếu 2ac ≠ bd (tơng đơng 2cd ≠ be ) thì f(x,y) là tổng của một tam thức bậc hai của một biến

và một đơn thức bậc nhất của biến y nên không có maxf(x,y) và không có Minf(x,y) +/ Nếu b = 0 thì a = 0 ≠ c hoặc c = 0 ≠ a (do giả thiết b2 = 4ac mà a, c, b không

đồng thời bằng không)

+) Nếu a = 0 ≠ c thì

f(x,y) = cy2 + dx + ey + g =

2

2

4

4

d

a d g a

g 2a

bd -2ae ) 2a

b d(x )

2a

b a(x y)

0 a Khi )

; (x y) maxf(x,

0 a Khi )

; (x y) nf(x, m

và

2a

b x t

1

1





























a

d g b

d ax f

a

d g b

d ax f

i y

4 2

4 2

2 1

2 1

c

e g a

d g

4 4

2 2







y

2a

b x

t  

dx c

e g c

e y

4 2

2 2

) (

d

và 0 c khi )

; (x y) maxf(x,

, d

và 0 c khi )

; (x y) nf(x, m

ê

1

1

0 4

2

0 4

2

2 2

























c

e g c

e f

c

e g c

e f

i n

n

2

2

4

4

d

a d g a

Trong đó x1 là giá trị tuỳ ý

Chú ý : Khi cd ≠ 0 thì f(x,y) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y)

-) Nếu c = 0 ≠ a thì

f(x,y) = cy2 +dx + ey + g =

Trong đó y1 là giá trị tuỳ ý

Chú ý : Khi a ≠ 0 thì f(x,y) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y).

Nh vậy ta đã chứng minh đợc mệnh đề 4.

B*/ Quy trình thực hiện

Trên đây bao gồm 2 định nghĩa và 4 mệnh đề đã đợc chứng minh của tác giả Trần Văn Vuông - Hà Nội Trong quá trình thực tế giảng dạy tôi đã vận dụng kiến thức này theo các bớc sau :

B

ớc 1 : Xác định chính xác các hệ số: a, b, c, d, e, g và tính =b2-4ac

B

ớc 2 : Xét các trờng hợp của 

a) Khi  > 0 thì Đa thức f(x,y) dạng (1) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y) b) Khi  < 0 :

c) Khi  = 0:

ey a

d g a

d x

4 2

2 2

) (

0 e

và 0 a khi )

y 2a

d f(-y) maxf(x,

, 0 e

và 0 a khi )

y 2a

d f(-y) minf(x, có

ta

ê

1

1





















a

d g

a

d g n

n

4

4

2 2



























bd ae y

be cd x

và

cd bde ae

g y

2 2

0 0

2 2

;

) , minf(x o

c

a Nếu



























bd ae y

be cd x

và

cd bde ae

g y

2 2

0 0

2 2

;

) , maxf(x o

c

a Nếu

b

d a

a

d g y Nếu

o o



















x y

; ý tuỳ x

và

) , minf(x :

0 a

và bd 2ae

b

o

2

4

2

b

d a

a

d g y Nếu

o o



















x y

; ý tuỳ x

và

) , maxf(x :

0 a

và bd 2ae b

o

2

4

2

c

c

e g y Nếu

o

2

4

2

e y

; ý tuỳ x

và

) , minf(x 0

c

và be 2cd b

a

o  















ớc 3 : Từ giá tri xo và yo tìm đợc ở bớc 2 kết hợp với quan hệ x, y trên Đa thức f(x,y) dùng phơng pháp phân tích đi lên(xuống) để phân tích Đa thức f(x,y) thành

minf(x,y)=[n(x+xo)2+p(y+yo)2+q(x+y )2 ] + m ≥ m

hoặc minf(x,y)=[n(x+xo)2+p(y+yo)2+q(x+y )2 ] + M ≤ M

B

ớc 4 : Hớng dẫn học sinh biểu diễn đa thức f(x,y) theo minf(x,y) hoặc maxf(x,y)

đã chuẩn bị ở bớc 3 theo nhiều phơng án khác nhau bằng hệ thống câu hỏi phân tích

đi lên (xuống)

C*/ Các ví dụ minh hoạ :

a) Ví dụ 1 :

Tìm x, y để f(x,y)= 2x 2 - 3xy + y 2 + 5x -7y +1 Có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hãy tìm giá trị đó.

B

ớc 1 : Xác định :

a = 2 ; b = -3 ; c = 1 ; d = 5 ; e = -7 ; g = 1

 = b2 - 4ac = (-3)2 + 4*2*1 = 1 > 0

B

ớc 2 : Xét  > 0 nên đa thức f(x,y) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y) B

ớc 3-b ớc 4 : Bài toán không có nghiệm.

b) Ví dụ 2 :

Tìm x, y để đa thức f(x,y) = x 2 - 2xy + 3y 2 - 4x +8y - 7

Có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hãy tìm giá trị đó.

B

ớc 1 : Xác định :

a = 1 ; b = -2 ; c = 3 ; d = -4 ; e = 8 ; g = -7

 = b2 - 4ac = (-2)2 + 4*1*3 = -8 < 0

B

ớc 2 : Xét  < 0 và a,c > o nên

c

c

e g y Nếu

o

2

4

2

e y

; ý tuỳ x

và

) , maxf(x 0

c

và be 2cd b

a

o  















a

a

d g y c

Nếu

o

2

4

2

d x

; ý tuỳ y

và

) , minf(x 0

a

và be 2cd b















a

a

d g y c

Nếu

o

2

4

2

d x

; ý tuỳ y

và

) , maxf(x 0

a

và be 2cd b















o

o

y x

o

o

y x

13 8

4 3 8 4 2 8

1 7

2 2

2 2































)

,

minf(x y g ae bde cd

1 8

4 2 8 1 2 2

1 8

8 2 4 3 2 2

0

0







































) (

* ) (

*

*

* ) ( ) (

*

*

bd ae y

be cd

x

ớc 3 : Từ kết quả minf(x,y)= - 13 ; x = 1 và y = -1

Ta có ngay mối quan hệ x = -y, nhận xét f(x,y) và đi đến: Phân tích đa thức

f(x,y) = x2 - 2xy + 3y2 - 4x +8y - 7

=[(2x2 - 4x + 2 ) + (4y2 + 8y +4) - (x2 +2xy+y2)] -13

=[ 2(x-1)2 + 4(y+1)2 - (x+y)2 ] - 13 ≥ -13

Vậy minf(x,y) = -13

B

ớc 4 : Hớng dẫn học sinh phân tích Đa thức f(x,y) :

Tìm cách phân tích Đa thức f(x,y) = [n(x-1)2 + ]+ A đợc không?

Hoặc tìm cách phân tích Đa thức f(x,y) = [p(y+1)2+ ] +A đợc không?

Hoặc tìm cách phân tích Đa thức f(x,y) =[q(x+y)2 + ]+A đợc không?

Hoặc minf(x,y) = -13 thì phân tích Đa thức f(x,y) nh thế nào?

c) Ví dụ 3 :

Tìm x, y để đa thức f(x,y) = -4x 2 +12x - 9y 2 - 4x +6y +8 Có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hãy tìm giá trị đó.

B

ớc 1 : Xác định :

a = - 4 ; b = 12 ; c = -9 ; d = -4 ; e = 6 ; g = 8

 = b2 - 4ac = (12)2 + 4*(-4)*(-9) = 144-144 = 0

B

ớc 2 : Xét  = 0 và a,c < 0 và 2ac = bd = -48 nên :

B

ớc 3 :

Từ kết quả maxf(x,y)= 9 ;

Chọn x = 1 và y = 1 theo mối quan hệ :

Nhận xét f(x,y) và đi đến: Phân tích Đa thức

f(x,y) = -4x2 + 12xy - 9y2 - 4x +6y +8

= - [- (2x2 - 4x + 2) (3y2 - 6y +3) + (6x2 -12xy+6y2)] + 9 = - [- 2(x-1)2 + 3(y-1)2 +6 (x-y)2] +9 ≤ 9

Vậy maxf(x,y) = 9

B

ớc 4 : Hớng dẫn học sinh phân tích Đa thức f(x,y) :

Tìm cách phân tích đa thức f(x,y) = -[n(x-1)2 + ] + A đợc không ?

Hoặc tìm cách phân tích đa thức f(x,y)= -[p(y+1)2 + ]+A đợc không?

Hoặc tìm cách phân tích đa thức f(x,y)=-[q(x+y)2 + ]+A đợc không?

Hoặc maxf(x,y) = 9 thì phân tích Đa thức f(x,y) nh thế nào ?

D*/ Kết quả :

Trên đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc vận dụng các mệnh đề vào tìm cực trị của đa thức f(x,y), ngoài ra ta có thể sử dụng các mệnh đề trên vào giải ph

-9 1 8 4 4

4 8

4

2 2

















) (

*

) ( )

, ( max

a

d g y x f

3

1 2 12

4 4

2

















o

x x

b

d ax

x

) (

* ) (

* y

; tuỳ trị giá

nhận

o

1 3

1 1 2 3

1 2

x

ảsử chọn o o x o Gi

3

1

2 

 x y