Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi

Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộcđôi một theo khối nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi.. Từ đó Terán và Molchanov đã xây dựng định nghĩa về kỳ vọng của bi

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướngdẫn của GS TS Nguyễn Văn Quảng Tôi xin cam đoan đây là công trìnhnghiên cứu của tôi Các kết quả được trình bày trong luận án là trungthực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công

bố trước đó

Tác giả

Phạm Trí Nguyễn

Tác giả xin cảm ơn TS Dương Xuân Giáp và ThS Nguyễn Trần Thuận

về những thảo luận và góp ý trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tàiluận án

Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự động viên

và quan tâm của PGS TS Nguyễn Thành Quang, TS Nguyễn Trung Hòa,

TS Nguyễn Thị Thế, PGS TS Lê Văn Thành, PGS TS Kiều PhươngChi, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, TS Lê Hồng Sơn,

TS Nguyễn Văn Huấn cùng các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp Tác giảxin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và PhòngĐào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điềukiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận án

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Điện lực, nơi tác giảđang công tác và giảng dạy, đã hỗ trợ và tạo điều kiện cho tác giả trongquá trình học tập và hoàn thành luận án

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những ngườibạn thân thiết đã luôn động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và công tác

Phạm Trí Nguyễn

MỤC LỤC

1.1 Không gian tổ hợp lồi 101.2 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi 171.3 Biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi 24Chương 2 Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng tam giáccác biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp

2.1 Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộcđôi một theo khối nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi 302.2 Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác cácbiến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi 43Chương 3 Một số dạng luật số lớn cho dãy, mảng tam giác vàmảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian

3.1 Khái niệm CUI (α, α+)-từng mức và Cesàro CUI bậc r (α, α+)từng mức đối với họ các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợplồi 523.2 Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác cácbiến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi 553.3 Luật mạnh số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên

-mờ trong không gian tổ hợp lồi 633.4 Sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biếnngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi 72

Kết luận chung và kiến nghị 81Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án 83

MỘT SỐ KÝ HIỆUTHƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

coA Bao lồi của tập A, với A ⊂X

coA Bao lồi đóng của tập A, với A ⊂X

clA Bao đóng của tập A, với A ⊂ X

(Ω, A, P ) Không gian xác suất

Bc(X) σ-đại số Borel của c(X)

F (X) Không gian các tập mờ v trên X thỏa mãn: v là nửa liên

tục trên, sup v = 1 và suppv là tập compact trong X

K(X) Miền khả lồi của X

card{A} Số phần tử của tập A

m ∨ n Giá trị lớn nhất của hai số thực m và n

m ∧ n Giá trị nhỏ nhất của hai số thực m và n

log+a lôgarit cơ số 2 của a ∨ 1, với a ∈ R

kxku0 Giá trị kxku0 := d(x, u0), với x ∈ X, u0 ∈ K(X)

kAk{u0} Giá trị kAk{u0} := dH(A, {u0}), với A ∈ c(X), u0 ∈ K(X)

a+ Giá trị a+ := max{a, 0}, với a ∈ R

a− Giá trị a− := max{−a, 0}, với a ∈ R

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Trong mấy thập kỷ gần đây, một số kết quả về các định lý giới hạndạng luật số lớn đối với họ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong khônggian metric đã được một số tác giả nghiên cứu và thiết lập Năm 1992,Herer [12] đưa ra khái niệm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trongkhông gian metric đầy đủ và khả ly (X, d) có độ cong âm Từ đó, Hererchứng minh luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùngphân phối Năm 1997, sử dụng định nghĩa của Herer trong [12] về kỳ vọngcủa biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong X, bằng phương pháp xấp xỉ bởidãy các biến ngẫu nhiên rời rạc, Fitte [8] đã chứng minh định lý ergodic

và luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên khả tích Một số định

lý giới hạn đối với martingale nhận giá trị trong không gian metric cũngđược thiết lập trong các công trình của Herer [12, 13] và Sturm [35] Năm

2006, Terán và Molchanov [40] đưa ra khái niệm về không gian tổ hợp lồi,

đó là không gian metric mà trên đó được trang bị phép toán tổ hợp lồi Từ

đó Terán và Molchanov đã xây dựng định nghĩa về kỳ vọng của biến ngẫunhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi và thu được luật mạnh sốlớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối Như vậy,việc nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn cho các biến ngẫunhiên nhận giá trị trong không gian metric đang là vấn đề có tính thời sựcủa lý thuyết xác suất

1.2 Các định lý giới hạn dạng luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ cũng đượcnghiên cứu cho mảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên Cóthể tìm thấy các kết quả cơ bản nhất của lĩnh vực này trong cuốn sáchchuyên khảo của Klesov [21] Chú ý rằng, khi mở rộng các định lý giới

hạn cho dãy các biến ngẫu nhiên sang trường hợp mảng thì các kết quả

và phương pháp sử dụng cho dãy không phải lúc nào cũng áp dụng đượccho mảng Do đó, các kết quả nghiên cứu đối với các định lý giới hạn chomảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trongkhông gian metric là vấn đề thú vị và có nhiều ý nghĩa

1.3 Khi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn, người ta thườngxét đến điều kiện độc lập của các biến ngẫu nhiên Một hướng nghiên cứu

về các định lý giới hạn nói chung và các định lý giới hạn dạng luật số lớnnói riêng là thay thế điều kiện độc lập bởi các điều kiện yếu hơn như độclập đôi một, m-phụ thuộc theo khối, m-phụ thuộc đôi một theo khối Đây

là một hướng nghiên cứu đáng được quan tâm

1.4 Nghiên cứu các định lý giới hạn cho các biến ngẫu nhiên mờ rất quantrọng cả về lý thuyết và thực tiễn Về mặt thực tiễn, lý thuyết về các biếnngẫu nhiên mờ đã được nghiên cứu rộng rãi và được áp dụng cho các lĩnhvực như công nghệ thông tin, xử lý hình ảnh, kỹ thuật điều khiển và một

số lĩnh vực khác Theo quan điểm lý thuyết, nhiều vấn đề trong lý thuyết

về biến ngẫu nhiên mờ liên quan đến lý thuyết xác suất cổ điển Một sốđịnh lý giới hạn trong lý thuyết xác suất cổ điển đã được mở rộng sangcác biến ngẫu nhiên mờ Đặc biệt, luật số lớn đối với các biến ngẫu nhiên

mờ đã được nhiều tác giả nghiên cứu Chẳng hạn, Colubi [6] thiết lập luậtmạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ độc lập cùng phân phối trongkhông gian Rd Proske và Puri [28] chứng minh luật mạnh số lớn cho cácbiến ngẫu nhiên mờ độc lập cùng phân phối trong không gian Banach.Inoue [17] thu được luật mạnh số lớn cho tổng các biến ngẫu nhiên mờ độclập thỏa mãn điều kiện "tight", kết quả của Inoue mở rộng kết quả củaTaylor và Inoue [37] cho các tập ngẫu nhiên Gần đây, Kim [20] đã thiếtlập luật yếu số lớn cho tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên mờ trongkhông gian Banach thực khả ly Vì vậy, nghiên cứu các định lý giới hạn

dạng luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian metric làhướng nghiên cứu có nhiều ý nghĩa và giá trị.

Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận áncủa mình là: “Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biếnngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các biếnngẫu nhiên và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổhợp lồi, thiết lập sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tamgiác các biến ngẫu nhiên và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ, sự hội

tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờtrong không gian tổ hợp lồi dưới các giả thiết khác nhau

3 Đối tượng nghiên cứu

- Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên, mảng hai chiều cácbiến ngẫu nhiên mờ

- Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biếnngẫu nhiên, mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ

- Sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫunhiên mờ

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu một số dạng hội tụ của dãy và mảng tamgiác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi; dãy,mảng tam giác và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong khônggian tổ hợp lồi Các dạng hội tụ được xét đến là hội tụ hầu chắc chắn, hội

tụ đầy đủ, hội tụ theo trung bình và hội tụ theo xác suất

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp của xác suất và công cụcủa giải tích như: phương pháp xấp xỉ, phương pháp chặt cụt, sử dụng cáctính chất của tập compact

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết chohướng nghiên cứu về các định lý giới hạn nói chung và các định lý giới hạnđối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric

Luận án có thể là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học vànghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan về luận án

Năm 1987, Móricz [27] đưa ra khái niệm m-phụ thuộc theo khối đối vớidãy các biến ngẫu nhiên và mở rộng luật mạnh số lớn Kolmogorov sangtrường hợp m-phụ thuộc theo khối Cụ thể, Móricz đã chứng minh rằng:Với m là một số nguyên không âm, giả sử {Xn : n > 1} là dãy các biếnngẫu nhiên thoả mãn EXn = 0 và EXn2 < ∞ với mọin, đồng thời với mỗi

số nguyên k > 0 thì các họ {Xn : 2k 6 n 6 i} và {Xn : j 6 n < 2k+1} làđộc lập nếu j − i > m Khi đó điều kiện

nhiên được gọi là hội tụ đầy đủ đến hằng số θ, nếu với mọi ε > 0, thì

∞

X

n=1

P (|Xn− θ| > ε) < ∞

Từ Bổ đề Borel-Cantelli, ta suy ra rằng, nếu dãy {Xn : n > 1} hội tụ đầy

đủ đến hằng số θ, thì Xn → θ hầu chắc chắn Sự hội tụ đầy đủ sau đó đãđược nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn: Hu, Móricz

và Taylor [15] thiết lập sự hội tụ đầy đủ cho mảng tam giác các biến ngẫunhiên độc lập theo hàng Gut [11] mở rộng và tổng quát hoá kết quả của

Hu, Móricz và Taylor Baek và Park [1] thiết lập một số kết quả về sựhội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số của mảng hai chiều và mảng tam giáccác biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo hàng Khi xem xét các kết quảnêu trên trong không gian Banach, Taylor [36], Hu, Rosalsky, Szynal vàVolodin [16] cũng đã thiết lập được một số kết quả quan trọng về sự hội tụđầy đủ Bằng cách áp dụng các kết quả của Hu, Móricz và Taylor [15], Fu

và Zhang [9] đã thu được một số kết quả về luật mạnh số lớn và sự hội tụđầy đủ cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact

và các biến ngẫu nhiên mờ độc lập theo hàng trong không gian Banachkhả ly

Năm 2006, Terán và Molchanov [40] đưa ra khái niệm về không gian

tổ hợp lồi, đó là không gian metric mà trên đó được trang bị phép toán

tổ hợp lồi Không gian tổ hợp lồi không chỉ rộng hơn không gian Banach

mà còn rộng hơn không gian các tập con compact khác rỗng của khônggian Banach Trong [40], Terán và Molchanov đã nêu lên các tính chất cơbản của không gian tổ hợp lồi và định nghĩa kỳ vọng của biến ngẫu nhiênnhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi Từ đó, các tác giả đã mở rộngluật mạnh số lớn của Etemadi [7] cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôimột cùng phân phối sang không gian tổ hợp lồi

Tiếp tục hướng nghiên cứu của mình về xác suất trên không gian tổhợp lồi, Terán và Molchanov trong [41] đã chứng tỏ rằng nếu (X, d) là

không gian tổ hợp lồi thì không gian F (X) các hàm nửa liên tục trên

v : X → [0; 1] có giá là tập compact trong X cùng với các metric d∞, dp

và phép toán tổ hợp lồi cảm sinh bởi phép toán tổ hợp lồi trên X cũng làkhông gian tổ hợp lồi Cũng trong [41], Terán và Molchanov đã thiết lậpluật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên mờ độc lập đôi một cùngphân phối trong không gian tổ hợp lồi

Sử dụng định nghĩa về không gian tổ hợp lồi của Terán và Molchanovtrong [40], Quảng và Thuận trong [33] đã thiết lập một số luật mạnh sốlớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian

tổ hợp lồi dưới các giả thiết khác nhau

Trong luận án này, sử dụng định nghĩa về không gian tổ hợp lồi củaTerán và Molchanov trong [40], chúng tôi thiết lập các định lý giới hạndạng luật mạnh số lớn, sự hội tụ đầy đủ, sự hội tụ theo trung bình và luậtyếu số lớn cho dãy và mảng các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên

mờ trong không gian tổ hợp lồi Đầu tiên, chúng tôi trình bày các kháiniệm và các tính chất cơ bản của không gian tổ hợp lồi Tiếp theo chúngtôi trình bày khái niệm compact khả tích đều và compact khả tích đềutheo nghĩa Cesàro bậc r > 0 cho một họ các biến ngẫu nhiên nhận giátrị trong không gian tổ hợp lồi, các khái niệm này mở rộng các khái niệmtương ứng từ không gian Banach sang không gian metric Chúng tôi thiếtlập được luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trongkhông gian tổ hợp lồi thỏa mãn điều kiện: m-phụ thuộc đôi một theo khối

và compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, hoặc m-phụ thuộc theo khối

và cùng phân phối Chúng tôi cũng thiết lập được sự hội tụ đầy đủ và luậtmạnh số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng

và compact khả tích đều nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi Đối vớimảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi, chúngtôi thiết lập được sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn cho các biến ngẫunhiên mờ độc lập theo hàng và compact khả tích đều (α, α+)-từng mức

Đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợplồi, chúng tôi thiết lập được luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờthỏa mãn điều kiện: độc lập và compact khả tích đều (α, α+)-từng mức,hoặc độc lập đôi một và cùng phân phối Cuối cùng, chúng tôi thiết lậpcác điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớnđối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên mờtrong luận án này được xét theo metric d∞.

7.2 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần Một số ký hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu,Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình liên quan trực tiếpđến luận án và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trìnhbày trong ba chương

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian tổ hợp lồi

và biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi Bố cục củaChương 1 như sau Mục 1.1 trình bày khái niệm không gian tổ hợp lồi,một số ví dụ về không gian tổ hợp lồi, các tính chất cơ bản của khônggian tổ hợp lồi Mục 1.2 trình bày về biến ngẫu nhiên nhận giá trị trongkhông gian tổ hợp lồi, định nghĩa kỳ vọng và tính khả tích của biến ngẫunhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi, các dạng hội tụ hầu chắcchắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo trung bình và hội tụ theo xác suất đốivới dãy và mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợplồi, khái niệm compact khả tích đều và compact khả tích đều theo nghĩaCesàro bậc r > 0 của họ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong khônggian tổ hợp lồi Mục 1.3 trình bày về một số khái niệm và tính chất cơ bảncủa biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi Các kiến thức củaChương 1 được dùng để thiết lập các kết quả chính của các chương tiếptheo

Chương 2 trình bày về một số định lý giới hạn dạng luật số lớn đối vớidãy và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian

tổ hợp lồi Mục 2.1 trình bày về luật mạnh số lớn đối với dãy các biếnngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối nhận giá trị trong không gian

tổ hợp lồi Mục 2.2 trình bày về sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đốivới mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổhợp lồi Các kết quả chính của Chương 2 là các định lý 2.1.2, 2.1.3, 2.1.5,2.1.6, 2.2.2

Chương 3 được dành để nghiên cứu về một số định lý giới hạn dạngluật số lớn đối với dãy, mảng tam giác và mảng hai chiều các biến ngẫunhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi Mục 3.1 trình bày về khái niệm CUI

(α, α+)-từng mức và Cesàro CUI bậc r (α, α+)-từng mức đối với họ cácbiến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi Mục 3.2 trình bày về sựhội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫunhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi Mục 3.3 trình bày về luật mạnh sốlớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổhợp lồi Mục 3.4 trình bày về sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớnđối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi Các kếtquả chính của Chương 3 là các định lý 3.2.1, 3.3.4, 3.3.7, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.5.Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại Đại hội Toánhọc Việt Nam lần thứ 8 (Trường Sĩ quan Thông tin, Nha Trang, 10-14/08/2013), Hội nghị toàn quốc lần thứ 5: “Xác suất - Thống kê: nghiêncứu, ứng dụng và giảng dạy” (Đại học Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015),Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng thuộc Viện Sưphạm Tự nhiên-Trường Đại học Vinh (từ năm 2012 đến năm 2016) Cáckết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí: Fuzzy Sets andSystems, Statistics and Probability Letters và Applications of Mathematics

CHƯƠNG 1CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất

cơ bản về không gian tổ hợp lồi, một số ví dụ về không gian tổ hợp lồi,khái niệm và các tính chất cơ bản về biến ngẫu nhiên nhận giá trị trongkhông gian tổ hợp lồi và biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi.Chúng tôi trình bày khái niệm compact khả tích đều và compact khả tíchđều theo nghĩa Cesàro bậc r > 0 đối với họ các biến ngẫu nhiên nhận giátrị trong không gian tổ hợp lồi Nội dung chính của chương được viết dựatrên các bài báo [33], [40], [41], [46]

1.1 Không gian tổ hợp lồi

Trong suốt luận án này, nếu không nói gì thêm, chúng ta luôn giả thiết

(Ω, A, P ) là không gian xác suất đầy đủ, (X, d) là không gian metric đầy

đủ và khả ly, BX là σ-đại số Borel trên X Ký hiệu c(X) là không gian tất

cả các tập con compact khác rỗng của X

Ký hiệu N là tập hợp các số nguyên dương, N0 là tập hợp các số nguyênkhông âm và R là tập hợp các số thực

Với hai số thực m và n, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chúngtương ứng được ký hiệu bởi m ∨ n và m ∧ n Với mỗi a ∈ R, lôgarit cơ số

2 của a ∨ 1 được ký hiệu là log+a Ta ký hiệu C là hằng số (0 < C < ∞)

mà nó không nhất thiết phải giống nhau ở mỗi lần xuất hiện

Trên không gian metric (X, d), ta xác định phép toán tổ hợp lồi như

sau: Với mọi n > 2, các số λ1, , λn > 0 thoả mãn Pni=1λi = 1 và cácphần tử u1, , un ∈ X, phép toán cho kết quả là một phần tử thuộc X vàđược ký hiệu là [λi, ui]ni=1 hoặc [λ1, u1; ; λn, un] Giả thiết rằng [1, u] = u

với mọi u ∈ X, đồng thời năm tiên đề sau được thoả mãn

• Tiên đề 1: (Tính giao hoán)

[λi, ui]ni=1 = [λσ(i), uσ(i)]ni=1 với mọi hoán vị σ của {1, , n};

K được gọi là toán tử lồi hoá

1.1.1 Định nghĩa ([40, trang 878]) Không gian metric (X, d) trang bịphép toán tổ hợp lồi thoả mãn năm tiên đề nêu trên được gọi là khônggian tổ hợp lồi

1.1.2 Nhận xét Bằng phương pháp quy nạp và Tiên đề 2, ta có thể mởrộng Tiên đề 3 và Tiên đề 4 cho tổ hợp lồi của nphần tử thuộc X (n> 3).Chú ý rằng, trong trường hợp tổng quát, nói chung Ku và u là khôngđồng nhất Phần tử u ∈X được gọi là phần tử khả lồi của X nếu với mọi

n> 2 và mọi λ1, , λn > 0 thoả mãn Pn

i=1λi = 1, thì

u = [λi, u]ni=1

[40, Mệnh đề 3.2] đã chỉ ra rằng tập ảnh K(X) trùng với họ các phần tửkhả lồi của X, do đó ta gọi không gian con K(X) là miền khả lồi của X.Nếu K(X) = X, thì X được gọi là không gian khả lồi.

Các bổ đề và mệnh đề cơ bản dưới đây của không gian tổ hợp lồi (X, d)

được suy ra từ năm tiên đề nêu trên (chi tiết chứng minh xem trong [40]).Các bổ đề và mệnh đề này thường được sử dụng trong phép chứng minhcủa các kết quả ở các chương sau Bổ đề đầu tiên được suy ra từ Tiên đề 1

và Tiên đề 2, bổ đề này chỉ ra rằng tập con của tập các chỉ số trong phéptoán tổ hợp lồi có thể đổi thứ tự và nhóm lại

1.1.3 Bổ đề ([40, Bổ đề 2.1]) Với mọi u11, , umn ∈ X và α1, , αm > 0,

β1, , βn > 0, sao cho Pmi=1αi = Pn

j=1βj = 1, ta có

[αi, [βj, uij]nj=1]mi=1 = [αiβj, uij]i=m,j=ni=1,j=1

Bổ đề tiếp theo được suy ra từ Tiên đề 3 và Tiên đề 4

1.1.4 Bổ đề ([40, Bổ đề 2.2]) Phép toán tổ hợp lồi là liên tục đối với 2n

biến của nó Nghĩa là:

(a) Với mọi u1, , un ∈ X và λ(k)1 , , λ(k)n > 0 thoả mãn Pn

i=1λ(k)i = 1.Nếu λ(k)i → λi ∈ (0; 1) khi k → ∞, thì

[λ(k)i , ui]ni=1 → [λi, ui]ni=1.(b) Với mọi λ1, , λn > 0 thoả mãn Pn

i=1λi = 1 và mọi u(k)1 , , u(k)n ∈ X.Nếu u(k)i → ui khi k → ∞, thì

Hai hệ quả dưới đây được suy ra từ tính tuyến tính của toán tử K vàtính khả lồi của miền K(X).

1.1.6 Hệ quả ([40, Hệ quả 3.3]) Với mọi n > 2, u ∈ X và mọi λ1, , λn

> 0 thoả mãn Pn

i=1λi = 1, ta có

K([λj, u]nj=1) = Ku = [λj, Ku]nj=1

1.1.7 Hệ quả ([40, Hệ quả 3.4]) K là toán tử luỹ đẳng trên X

Mệnh đề dưới đây thiết lập một biến thể của luật phân phối đối với cácphần tử khả lồi của X

1.1.8 Mệnh đề ([40, Mệnh đề 3.5]) Với mọi λ1, λ2, λ3 > 0 thoả mãn

d([λk, Ku; 1 − λk, Kv], Kv)

= d([λk, Ku; 1 − λk, Kv], [λk, Kv; 1 − λk, Kv]) 6 λkd(Ku, Kv) → 0

khi k → ∞ Từ đó suy ra [λk, Ku; 1 − λk, Kv] → Kv khi k → ∞

Nhận xét trên cho phép chúng ta mở rộng các trọng số λi từ (0; 1) vào

[0; 1] đối với các phần tử trong K(X), điều đó có nghĩa là ta có thể địnhnghĩa:

[λi, ui]i∈I = [λi, ui]i∈J với J = {i ∈ I : λi > 0},

trong đó λi ∈ [0; 1], ui ∈ K(X) và Pi∈J λi = P

i∈Iλi = 1.Tập A ⊂ X được gọi là lồi nếu [λi, ui]ni=1 ∈ A với mọi ui ∈ A và mọi

{λi : 1 6 i 6 n, n > 1} ⊂ (0; 1) thoả mãn Pni=1λi = 1 Với A ⊂ X, ta kýhiệu coA là bao lồi của A, đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A, và coA là baolồi đóng của A

1.1.11 Định lý ([40, Định lý 6.2]) Nếu (X, d) là không gian tổ hợp lồi thì

c(X) với phép toán tổ hợp lồi cho bởi

[λi, Ai]ni=1 = {[λi, ui]ni=1 : ui ∈ Ai, với mọi i}

tổ hợp lồi, các ví dụ này được trình bày chi tiết trong [40]

1.1.12 Ví dụ Giả sử (X, k.k) là không gian Banach Khi đó (X, d) với d

là metric cảm sinh bởi chuẩn là không gian tổ hợp lồi với phép toán tổhợp lồi

1.1.13 Ví dụ Giả sử(X, k.k) là không gian Banach, ký hiệu dH là metricHausdorff trên c(X) Phép cộng Minkowski và nhân vô hướng trên c(X)

được định nghĩa bởi

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B},

λA = {λa : λ ∈ R, a ∈ A}

Khi đó c(X) không phải là không gian tuyến tính đối với phép cộng vàphép nhân vô hướng nêu trên, tuy nhiên (c(X), dH) là không gian tổ hợplồi với phép toán tổ hợp lồi

và toán tử lồi hoá Kc(X)A = coA, với A ∈ c(X)

1.1.14 Ví dụ Giả sử (X, k.k) là không gian tuyến tính định chuẩn Tađịnh nghĩa phép toán tổ hợp lồi như sau

Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.1.1) không đúng trong trường hợp tổngquát khi các phần tử trong tổ hợp lồi ở vế trái không phải là các phần tửkhả lồi Điều này được thể hiện thông qua ví dụ dưới đây ([45, Ví dụ 1]).

1.1.17 Ví dụ Giả sử (X, k.k) là không gian Banach, ta xét phép toán tổhợp lồi

4

5 − 25

.kxk +

1

5 − 35

... data-page="34">

CHƯƠNG 2MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO DÃY VÀ MẢNGTAM GIÁC CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN TỔ HỢP LỒI

Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liênquan tới dãy biến ngẫu. .. Chương 1

Trong chương này, luận án trình bày khái niệm kết đãbiết không gian tổ hợp lồi, biến ngẫu nhiên nhận giá trị khônggian tổ hợp lồi, biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi, kháiniệm... kỳvọng biến ngẫu nhiên mờ không gian tổ hợp lồi X không xâydựng phương pháp xấp xỉ biến ngẫu nhiên X-giátrị (hoặc c(X)-giá trị)

Trong trường hợp này, kỳ vọng biến ngẫu nhiên mờ trongkhông gian