Giáo trình Xác suất thông kê_Chương 2: Giới thiệu về Xác suất

Giáo trình xác suất thống kê: Dữ liệu và thống kê, nằm trong chương 1 của bài giảng xác suất thống kê hiện đang được áp dụng trong giảng dạy tại trường đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh Bài tập dữ liệu và thống kê, ứng dụng dữ liệu và thống kê trong thực tiễn Giới thiệu về xác suất thống kê

CHƯƠNG 2

GIỚI THIỆU

về XÁC SUẤT

1

XÁC SUẤT

NỘI DUNG CHÍNH

ƒ Thí nghiệm, qui tắc đếm và xác định xác suất g ệ , q ị

ƒ Biến cố và xác suất của biến cố

ƒ Một số mối quan hệ căn bản của xác suất

ƒ Xác suất có điều kiện

ƒ Định lý Bayes

Một số khái niệm

ƒ Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment) g ệ g ( p )

Một TN ngẫu nhiên thỏa 2 đặc tính:

• Không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra

• Nhưng biết được các kết quả sẽ xảy ra

ƒ Không gian mẫu (Sample space)

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra trong thí

ẫ

3

nghiệm ngẫu nhiên, ký hiệu là S

Một số khái niệm

ƒ Biến cố (Event) ( )

• Biến cố: Tập hợp con của không gian mẫu, ký hiệu

là A

• Biến cố sơ đẳng: Biến cố chỉ chứa một phần tử của S

ƒ Ví dụ: Tung một con xúc sắc

• Biến cố mặt chẵn:

• Biến cố mặt chẵn:

• Biến cố mặt lẻ:

• Biến cố sơ đẳng:

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT

ƒ Xác suất (Probability)

Khả năng xảy ra (xuất hiện) một sự kiện hay biến cố

n A

P ( ) = A

5

n

A

P ( ) =

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT

ƒ Qui tắc đếm

• Sơ đồ cây là một phương tiện đồ thị rất hữu ích trong việc xác định các điểm của mẫu của một thí nghiệm có liên quan đến nhiều bước

• Qui tắc đếm đối với thí nghiệm nhiều bước

Số kết quả của thí nghiệm = (n1)x(n2)x x(nk)

• Qui tắc đếm đối với tổ hợp

• Qui tắc đếm đối với tổ hợp

Số tổ hợp của N phần tử được chọn n trong một lần là:

!

!

n N n

N

CN n

−

=

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT

ƒ Qui tắc đếm

• Qui tắc đếm đối với chỉnh hợp Chỉnh hợp của N phần tử được chọn n trong một lần là (theo cách chọn không lặp):

( N ! )

AN n =

7

( N n ) !

AN

−

Ví dụ

1 Tìm xác suất của biến cố các mặt xuất hiện ặ ệ giống nhau trong thí nghiệm tung 3 đồng tiền.

2 Lấy 2 viên bi từ 1 bình gồm 4 bi đỏ và 3 bi vàng, tính xác suất để được 2 viên bi này vàng, tính xác suất để được 2 viên bi này cùng màu.

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT

ƒ Yêu cầu căn bản của xác suất êu cầu că bả của ác suất

Gọi Ailà kết quả của thí nghiệm

• 0≤ P(Ai)≤ 1

• Σ P(Ai) = 1

ƒ Các phương pháp xác định xác suất

9

• Phương pháp cổ điển

• Phương pháp tần số tương đối

• Phương pháp chủ quan

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT

ƒ Phương pháp cổ điển

Một phương pháp xác định xác suất thích hợp khi tất cả các kết quả của thí nghiệm có cùng khả năng xảy ra

ƒ Phương pháp tần số tương đối

Một phương pháp xác định xác suất thích hợp khi có sẵn Một phương pháp xác định xác suất thích hợp khi có sẵn

dữ liệu (dũ liệu lịch sử) để ước lượng tỉ lệ của số lần kết quả thí nghiệm sẽ xảy ra nếu thí nghiệm được lặp lại với một số lần đủ lớn

THÍ NGHIỆM, QUI TẮC ĐẾM và XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT

ƒ Phương pháp chủ quan

ƒ Phương pháp chủ quan

• Một phương pháp xác định xác suất dựa trên cơ sở phán đoán

• Một xác suất chủ quan là một mức độ tin tưởng của cá

hâ đối ới iệ ả ột kết ả ủ thí hiệ

11 nhân đối với việc xảy ra một kết quả của thí nghiệm

MỘT SỐ MỐI QUAN HỆ CĂN BẢN CỦA XÁC SUẤT

ƒ Phần bù/phụ của biến cố (biến cố đối lập)

ƒ Phần bù/phụ của biến cố (biến cố đối lập)

• Phần phụ của biến cố A là biến cố chứa tất cả kết quả của mẫu mà không thuộc về A

• P(A) = 1 – P(Ac ) Không gian mẫu S

Biến cố

Biến cố A A Acc

MỘT SỐ MỐI QUAN HỆ CĂN BẢN CỦA XÁC SUẤT

ƒ Biến cố HỘI của 2 biến cố: A U B

A U B là biến cố chứa tất cả các kết quả của thí nghiệm thuộc A hoặc B, hoặc cả hai

Không gian mẫu S

13

Biến cố

Biến cố A A Biến cốBiến cốB B

MỘT SỐ MỐI QUAN HỆ CĂN BẢN CỦA XÁC SUẤT

ƒ Biến cố GIAO của 2 biến cố: A I B

A I B là biến cố chứa tất cả các kết quả của thí nghiệm thuộc A và B

Phần giao Không gian mẫu S

Biến cố

Biến cố A A Biến cố Biến cố B B

MỘT SỐ MỐI QUAN HỆ CĂN BẢN CỦA XÁC SUẤT

ƒ Phép cộng xác suất p ộ g

• P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A I B)

• Biến cố cách biệt (biến cố xung khắc)

• Hai biến cố được gọi là cách biệt nếu hai biến cố không có các điểm ở phần giao

A à B là h i biế ố á h biệt P(A I B) 0

15

• A và B là hai biến cố cách biệt: P(A I B) = 0

• Phép cộng xác suất đối với hai biến cố cách biệt

• P(A U B) = P(A) + P(B)

Ví dụ

ƒ Trong 1 lớp học có 25% học sinh đã học môn g p ọ % ọ ọ toán, 15% học sinh đã học thống kê và 10% đã học cả thống kê và toán Nếu chọn ngẫu nhiên

1 học sinh, tìm xác suất để học sinh này không học gì cả.

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

ƒ Xác suất có điều kiện

( A B )

hay

ƒ Các biến cố độc lập

) B ( P

B A P ) B

\ A (

) A ( P

B A P ) A

\ B (

17

ộ ập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì:

P(A\B) = P(A) hay P(B\A) = P(B)

P (A ∩ B) = P (A) * P (B)

Ví dụ

1 Trong 1 bình đựng 3 bi xanh và 4 bi vàng, lấy lần lượt

2 iê bi Tí h á ất để iê bi à à biết

2 viên bi Tính xác suất để viên bi sau màu vàng biết rằng viên bi đầu màu xanh

2 Tung lần lượt 2 con xúc sắc, tìm xác suất để tổng 2 mặt bằng 6 biết rằng mặt đầu tiên là 4

3 Một sinh viên chọn học hoặc môn máy tính hoặc môn

hóa học dựa trên kết quả tung 1 đồng tiền đồng nhất

Nếu SV học máy tính, xác suất đạt điểm A là 1/2

Ngược lại, nếu SV học hóa thì xác suất này là 1/3 Tìm xác suất để SV đạt điểm A trong môn hóa học

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

ƒ Phép nhân xác suất

ƒ Phép nhân xác suất

P(A I B) = P(B) P(A\B) = P(A) P(B\A)

• Phép nhân xác suất đối với hai biến cố độc lập

P(A I B) = P(A) P(B)

19

Ví dụ

ƒ Trong những người có bằng cử nhân có 48% Trong những người có bằng cử nhân có 48%

là nữ, và 17,5% là cử nhân thuộc lĩnh vực kinh doanh Số liệu thống kê cũng cho biết có 4,7%

cử nhân vừa thuộc lĩnh vực kinh doanh vừa là

nữ Biến cố “Cử nhân thuộc lĩnh vực kinh

doanh” và biến cố “Cử nhân là nữ” có phải là 2 biến cố độc lập?

Công thức xác suất đầy đủ

ƒ Cho không gian mẫu S và tập hợp đầy đủ biến cố Ag g p p y ii(i=1, ( 2, , n) xung khắc từng đôi một

ƒ Gọi B là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu S Biến cố

B được biểu diễn như sau

21

S

ABi B

Công thức xác suất đầy đủ

B = A11B ∪ A22B ∪ ∪ AiiB ∪ ∪AnnB P(B) = P(A1B) + P(A2B) + + P(AnB) = Mặt khác: P(B/Ai) =

P(B)

) (

) (

i

i A P

B A P

∑n

A P A B

P( / ) ( )

⇒ P(B) =

ƒ Lưu ý: ở đây biết P(A 1 ) và P(B/A i ) ⇒tìm P(B)

∑

=

i

i

i P A A B P

1

) ( ) / (

Ví dụ

Một nhà máy có 4 phân xưởng sản xuất một loại sản phẩm

ấ ổ

ƒ PX I sản xuất 1/3 tổng sản lượng của nhà máy

ƒ PX II sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy

ƒ PX III sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy

ƒ PX IV sản xuất 1/6 tổng sản lượng của nhà máy

Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng I, II, III và IV lần lượt là 15%, 8%, 5% và 1%

23

Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy, tìm xác suất

để sản phẩm này là phế phẩm

ĐỊNH LÝ BAYES

ƒ Các xác suất tiên nghiệm: Các ước lượng ban Các xác suất tiên nghiệm: Các ước lượng ban

đầu về xác suất của các biến cố

ƒ Xác suất hậu nghiệm: Các xác suất được sửa lại

của các biến cố dựa trên các thông tin bổ sung

ƒ Định lý Bayes ị ý y

) B ( P

) B A ( P ) A

\ B ( P ) A ( P ) A

\ B ( P ) A ( P

) A

\ B ( P ) A ( P )

B

\ A (

2 2

1 1

1 1

1

∩

= +

=

Ví dụ

Một nhà máy có 4 phân xưởng sản xuất một loại sản phẩm

PX I ả ất 1/3 tổ ả l ủ hà á

ƒ PX I sản xuất 1/3 tổng sản lượng của nhà máy

ƒ PX II sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy

ƒ PX III sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy

ƒ PX IV sản xuất 1/6 tổng sản lượng của nhà máy

Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng I, II, III và IV lần lượt là 15%,

25

8%, 5% và 1%

Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy và thấy nó là phế phẩm, tìm xác suất để sản phẩm này thuộc phân xưởng I.