Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu gồm 64 trang phân dạng, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm, tự luận chuyên đề phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân thuộc chương 3 Đại số và Giải tích 11, tài liệu do thầy Trần Quốc Nghĩa biên soạn, các bài tập trắc nghiệm có đáp án. Nội dung tài liệu: Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC + Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp + Dạng 2. Chứng minh các bài toán chia hết bằng phương pháp quy nạp + Dạng 3. Nâng cao Chứng minh các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp Vấn đề 2. DÃY SỐ + Dạng 1. Mở đầu về dãy số + Dạng 2. Xác định công thức của dãy số (un ) + Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số thỏa mãn tính chất K + Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ ℕ là đúng với mọi n mà không thể ∗

thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau:

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k≥1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp)

- Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

Các kiến thức cần nhớ:

* Cách viết số tự nhiên:

 Các số tự nhiên liên tiếp: n n; +1;n+2;…

 Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2 ; 2n n+2; 2n+4;…

 Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n+1; 2n+3; 2n+5;…

* Tính chất chia hết:

 Các số chẵn thì chia hết cho 2

 Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5

 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3

 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9

 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4

 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25

 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8

 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125

 Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6

 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

 Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6

 Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2,3,4,6,8

a b

B BÀI TẬP MẪU

2 4 8 2

3 n n n n + + + + + + = , với n∈ ℕ ∗

Ví dụ 2 Chứng minh rằng 2 5 8 (3 1) (3 1) 2 n n n + + + + + − = , với n ∗ ∈ ℕ

b) Hãy dự đoán công thức tính S và chứng minh bằng quy nạp n

b) Hãy dự đoán công thức tính S và chứng minh bằng quy nạp n

Dạng 2 Chứng minh các bài toán chia hết bằng

phương pháp quy nạp

• Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết

• Nắm rõ kiến thức về chi hết

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 3 Chứng minh rằng: u n =4n+15n−1 chia hết cho 9, với n∈ ℕ ∗

Ví dụ 4 Chứng minh rằng: 13n− chia hết cho 1 12

e) 3n+2 – 1 4n ⋮ f) 32n –1 8⋮ g) 32n−1+2n+1⋮ 7 h) 4.32n+2 +32 – 36 64n ⋮

Dạng 3 [NC] Chứng minh các bài toán bất đẳng

thức bằng phương pháp quy nạp

• Nắm rõ nguyên lý quy nạp trong phần tóm tắt lý thuyết

• Lưu ý: Nguyên lý quy nạp toán học, áp dụng vào bất đẳng thức phụ thuộc vào số tự

nhiên n :

- Nếu bất đẳng thức được kiểm tra đúng với số tự nhiên n 0

- Giả thiết rằng bất đẳng thức đúng khi n=k≥n0, từ đó là chứng minh được rằng bất

đẳng thức đúng khi n=k+1 Thế thì bất đẳng thúc đúng cho mọi số tự nhiên n≥n0

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 5 Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*, ta có

1 2

2 n n + + + <

Vấn đề 2 . DÃY SỐ



 Định nghĩa:

Định nghĩa 1 Một hàm số u được xác định trên tập ℕ các số nguyên dương được gọi là một ∗

dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)

Kí hiệu: ( )u n hay ở dạng khai triển u u1, 2,…,u n,…



 Cách cho một dãy số:

Cách 1 Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u n

Cách 2 Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng quy nạp),

tức là:

• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

• Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước

a Dãy số ( )u n được gọi là dãy số tăng nếu n ∀ ∈ ℕ , ∗ u n <u n+1

b Dãy số ( )u n được gọi là dãy số giảm nếu n ∗

∀ ∈ ℕ , u n >u n+1 Vậy, ta thấy:

 Với dãy ( )u n tăng, ta có: u1<u2 <u3< … <u n < …

 Với dãy ( )u n giảm, ta có: u1>u2 >u3 > … >u n > …



 Dãy số bị chặn:

Định nghĩa 3

a Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn trên nếu ∃M∈ℝ: u n ≤M , n ∀ ∈ ℕ ∗

b Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn dưới nếu ∃ ∈m ℝ: u n ≥m , n ∀ ∈ ℕ ∗

c Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vứa bị chặn dưới tức là:

Với giả thiết cho dãy số ( )u n dưới dạng công thức tổng quát hoặc biểu thức truy hồi và

câu hỏi thường gặp là:

a Hãy viết k số hạng đầu của dãy số hoặc tìm u Câu hỏi này được thực hiện bằng k cách thế

b Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số Câu hỏi này được thực hiện bằng việc giải phương trình ẩn : n u n =a

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 6 Cho dãy số ( )u n , với ( )1 n 1

n u

n

a) Tìm u , 9 u , 12 u , 2n u2n+1 b) Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ?

Ví dụ 7 Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy sau: a) Dãy số (u m) xác định bởi: u = và 1 0 2 1 2 1 n n u u − = + với n ≥2 b) Dãy số ( )u n xác định bởi: u1=1,u2 = và 2 u n =u n−1−2u n−2 với n ≥3 c) Dãy số ( )v n xác định bởi: u = và 1 1 u n+1 =u n + với n2 ∗ ∈ ℕ

Bài 15 Viết 5 số hạng đầu của mỗi dãy số ( )u n , biết

a)

n n

n

u =

2 1

2 1

n

n n

u = −

+ c) 1 1

n

n

u

n

 

= + 

  d) 2

1

n

n u

n

= + e)

2

2 3

n

n u

n

−

= f) sin2 cos2

n

u = π + π g) u = − n ( )1n 4n

Bài 16 Hãy viết ba số hạng đầu của dãy số ( )u n cho bởi

a)

2 2

1

n

n u

n

−

=

( )1

n

n

n u

n

+ −

=

2 cos

n

u =n+ n d) ( 1 !)

2

n

u = +

Bài 17 Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số ( )u n cho bởi

a)

1 1

2 1 1 3

u

=









1

1 2

0 2 1

n n

u

u u

+

=







=



15, 9

u u

u + u u+





= −

1, 2

2

u u

u + u + u

= = −





= −

Dạng 2 Xác định công thức của dãy số (((( )))) un

Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un

Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước:

Bước 1 Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho u n Bước 2 Chứng minh công thức dự đoán bằng pp quy nạp

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 8 Cho dãy số ( )u n , với u = − và 1 1 u n+1 =u n+ với 3 n ≥2

Ví dụ 9 Cho dãy số ( )u n xác định bởi: u =1 2017 và u n+1 =u n +2018 với n∈ ℕ Tìm ∗ u n

Ví dụ 10 [NC] Cho dãy số ( )u n xác định bởi: ( ) 1 1 n u n n = + n ∗ ∀ ∈ ℕ và dãy số ( )v n xác định bởi: 1 1 v =u , v n+1=v n+u n+1 Xác định công thức của v theo n n

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 18 Cho dãy số ( )u n , biết: u =1 1 và u n =2u n−1+3 với n ≥2

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u n =2n+1−3

Bài 19 Cho dãy số ( )u n , biết: u =1 3 và u n+1= 1+u n2 với n ≥1

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u n và chứng minh công thức đó bằng quy nạp

Bài 20 Cho dãy số ( )u n xác định bởi u =1 3 và u n+1=u n+5 với mọi n ≥1

a) Hãy tính u2, u4 và u6 b) Chứng minh rằng u n =5n−2 với mọi n ≥1

Bài 21 Cho dãy số ( )u n xác định bởi u =1 1 và 1 22

1

n n

u u

+ =+ với mọi n ≥1

Bài 22 a) Cho dãy số ( )u n có 1

1

13

u = −n với n ≥1

Bài 23 Hãy viết bốn số hạng đầu của dãy số ( )u n , dự đoán công thức số hạng tổng quát u và chứng n

minh công thức đó bằng qui nạp

31

5412

n n

u u

a) Chứng minh rằng s n =s n+3 với mọi n ≥1

b) Hãy tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của ( )s n

x y x

−

=+

a) Với mỗi số nguyên dương n , gọi A n là giao điểm của đồ thị trên với đường thẳng x=n b) Xét dãy số ( )u n với u n là tung độ của điểm A n Hãy tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số đó

5.4n 3

n

u = − + a) Chứng minh rằng u n+1 =4u n−9 với mọi n ≥1

b) Dựa vào kết quả của phần a) hãy cho dãy số ( )u n xác định bởi hệ thức truy hồi

Bài 27 Cho dãy số ( )u n và ( )v n , với u n =n v, n =2n +n

a) Chứng minh rằng với mọi n ≥1 ta luôn có u n+1=2u n− +n 1,v n =2v n− +n 1

b) Từ kết quả của câu a), rút ra kết luận gì?

Dạng 3 Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số (((( )))) un thỏa mãn tính chất K

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Chứng minh rằng số hạng u thỏa mãn tính chất 1 K

Bước 2 Giả sử số hạng u thỏa mãn tính chất k K Ta đi chứng minh u k+1 cũng thỏa

mãn tính chất K Bước 3 Kết luận dãy số ( )u n thỏa mãn tính chất K

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 11 Cho dãy số ( )u n , với 3

11

n

u =n + n Chứng tỏ rằng mọi số hạng của dãy số này đều chia hết cho 6

∈ℕ : a) 4n 15 – 1 9

n

n ⋮

Dạng 4 Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu)

và bị chặn của một dãy số (((( )))) un

1 Tính tăng, giảm của dãy số:

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Lập hiệu H =u n+1–u n , từ đó xác định dấu của H

Bước 2 Khi đó: * Nếu H >0, n∀ ∈ℕ thì dãy số ∗ ( )u n tăng

* Nếu H <0, n∀ ∈ℕ thì dãy số ∗ ( )u n giảm

Cách 2: Nếu u > , n n 0 ∀ ∈ℕ ta có thể thực hiện theo các bước sau: ∗

Bước 1 Lập tỉ số n 1

n

u P u

+

= , từ đó so sánh P với 1

Bước 2 Khi đó: * Nếu P >1, n∀ ∈ℕ thì dãy số ∗ ( )u n tăng

∀ ∈ℕ thì dãy số ( )u n giảm

2 Tính bị chặn của dãy số:

• Sử dụng định nghĩa 3

• Chú ý: * Mọi dãy số ( )u n giảm luôn bị chặn trên bởi u 1

* Mọi dãy số ( )u n tăng luôn bị chặn dưới bởi u 1

B BÀI TẬP MẪU

5

n n

n

Ví dụ 13 Xét tính bị chặn của dãy số: 2 1 n n u n + =

Ví dụ 14 Chứng minh dãy số ( )u n với 2 3

n

n u n

+

= + là dãy số giảm và bị chặn

Ví dụ 15 Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( )u n cho bởi a) 2 2 1 1 n n n u n + + = + b) 4 1 4 5 n n n u = − + c) 1 1 3 2 3 n n n u u u u + =    =  +  d) 1 1 6 6 n n u u + u  =   = + 

Ví dụ 16 Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số ( )u n cho bởi

2

n

n u

n

+

=

1 1

n u

n n

=

d)

2 2

2 1

n

u

+

=

2

2

n

n u

=

f) ( )1 cos

2

n n

u

n

π

Bài 29 Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( )u n , biết:

n

1

n

n u n

−

= + c) u = − n ( )1 n(2n+1) d) 2 1

n

n u n

+

= +

3 5 7

n

3

n

u = + g) u n = n+ −1 n

Bài 30 Cho dãy số ( )u n xác định bởi u =1 1 và u n+1=u n+(n+1 2) n với mọi n ≥1

Bài 31 a) Chứng minh rằng ( )u n là một dãy số tăng

b) Chứng minh rằng u n = +1 (n−1 2) n với mọi n ≥1

=+i)

Đáp số: a) giảm b) tăng c) giảm d) tăng i) giảm j) ko tăng, ko giảm k) giảm

Bài 33 Xét tính tăng, giảm của các dãy số ( )u n :

=

32

Đáp số: a) tăng b) tăng c) giảm d) tăng e) giảm f) ko tăng, ko giảm

g) tăng h) giảm i) giảm k) giảm l) giảm m) tăng

Bài 34 Trong các dãy số ( )u n sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

n u

+

=+ là một dãy số giảm và bị chặn.

Bài 36 Hãy xác định số thực a để dãy số ( )u n , với

2 2

1

n

an u n

+

=+ , là:

1

2 1

0

22

n n

u

n u

c) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy đã cho

Bài 39 Cho dãy số ( )u n với u n = +1 (n– 1 2) n

c) Chứng minh rằng dãy số tăng và bị chặn dưới

Đáp số: b) u1=1và u n+1 =u n +(n+1 2) n (n≥1)

1

2 1

a) Tìm cơng thức của số hạng tổng quát

b) Chứng minh dãy số tăng

1

n n

u

n u

2

14

4

n n

u

n u

Bài 47 Dãy số ( )u n xác định bằng công thức: sin 4( 1)

6

n

a) Chứng minh rằng u n =u n+3 với mọi n ≥1

b) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho

3

n

u = n− π

a) Chứng minh rằng u n =u n+3 với mọi n ≥1

1 1

2

11

+

=+ là dãy số giảm và bị chặn

n

n v n

+

=+ là dãy số tăng và bị chặn

Bài 52 Dãy số ( )x n được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A:

{ 0, 1, 2, 3, , n, }

A= A A A A … A … Gọi B là một điểm nằm ngoài trục số Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A

Đặt u là số các tam giác được tạo thành từ n B và n +1 điểm trong A rồi lập dãy số ( )u n a) Tính u u u u 1, 2, 3, 4

−

=+ Khẳng định nào sau đây là đúng

A Năm số hạng đầu của dãy là 1;

2

− 2

;3

;4

;5

;4

;5

A Năm số hạng đầu của dãy là 1;

2

1

;6

1

;12

1

;20

A 5 số hạng đầu của dãy là: 1;− 1;

2

− 1

;3

− 1

;4

− 15

−

B Bị chặn trên bởi số M = −1

C Bị chặn trên bởi số M = 0

D Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m = −1

Câu 5 Cho dãy số (U n) với U n =a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?

A Dãy số có U n+1 =a.3n+1 B Hiệu số U n+1−U n =3.a

C Với a >0 thì dãy số tăng D Với a <0 thì dãy số giảm

Câu 6 Cho dãy số (U n) với U n a 21

Câu 7 Cho dãy số (U n) với U n a 21

Câu 8 Cho dãy số (U n) với .

1

n

a n U n

=+ ( a : hằng số) U n+1 là số hạng nào sau đây?

2 1

2

n

a n U

1

n

a n U

1

n

a n U

2

n

an U

=+ ( a : hằng số) Kết quả nào sau đây là sai?

2 1

2

n

a n U

C Là dãy số luôn tăng với mọi a D Là dãy số tăng với a >0

Câu 10 Cho dãy số có các số hạng đầu là 5; 10; 15; 20; 25;… Số hạng tổng quát của dãy số này là

Câu 11 Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36,… Số hạng tổng quát của dãy số này là

Câu 12 Cho dãy số có các số hạng đầu là 0; 1;

2

2

;3

3

;4

=+ C u n n 1

=+

Câu 16 Cho dãy số có các số hạng đầu là −1, 1 −1, 1, - 1, ….Số hạng tổng quát của dãy số này có

Câu 19 Cho dãy số ( )u n với

1

n

n u n

−

−

=+ Khẳng định nào sau đây là sai

Câu 21 Cho dãy số ( )u n : 1

Câu 22 Cho dãy số ( )u n có u n = n−1 với n ∈ ℕ Khẳng định nào sau đây là sai? *

A 5 số hạng đầu của dãy là 0; 1; 2; 3; 5 B Số hạng u n+1= n

1

n

u = −n +n+ Khẳng định nào sau đây là đúng

A 6 số hạng đầu của dãy là 1;− 1; 5; 5;− 11;− −19 B 2

−

=+ Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 28 Cho dãy số ( )u n với sin

+ Khẳng định nào sau đây là sai

A Số hạng thứ n +1 của dãy: 1 sin

1

n

u n

=+ , ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:

A 1,

2

1,3

3

26 B 1,

2

1,4

1

8 C 1,

2

1,4

1

16 D 1,

2

2,3

n u

34

− C 3;

4

− 4

;5

56

− D 3;

4

4

;5

Câu 40 Dãy số ( )u n xác định bởi u =1 0;

1

1,2

n n

u

u −

=+ ∀ ≥n 2 Số hạng thứ 5 là:

Câu 50 Cho dãy số ( )u n xác định bởi u n =2n+1, ∀ ∈n ℕ Mệnh đề nào sau đây sai

A Mọi số hạng của dãy ( )u n là số hữu tỷ B Dãy ( )u n gồm các số 1, 3, 5, 9, 13, 17

C Mọi số hạng của dãy ( )u n là số chẵn D Mọi số hạng của dãy ( )u n là các số tự nhiên

Câu 51 Cho dãy ( )u n xác định bởi: 1 1

Câu 52 Cho dãy số ( )u n với u n ( )1 cosn 2

Câu 58 Cho dãy số ( )u n có u n =5n+9, ∀ ∈n ℕ Phát biểu nào sau đây sai? *

A Dãy ( )u n là cấp số cộng có công sai d =5 và u =1 14

B Dãy ( )u n là cấp số cộng có công sai d =5 và u =4 29

C Dãy ( )u n là dãy số tăng

D Dãy ( )u n là dãy số giảm

Câu 59 Số 518 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy ( )u n với u = n 2n+6, ∀ ∈n ℕ

n

=+

+

=+

n

n u n

u = u k là số ha ̣ng thứ mấy của dãy số đã cho

Câu 65 Số hạng tổng quát của dãy số ( )u n : 1,

2

1,4

1,8

1,

1,

=+

2

1

;4

Câu 76 Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn u =0 1, u =1 2, u n =3u n−1−2u n−2, ∀ ∈n ℕ,n≥2

n

= −+

n u

n n

=+ và dãy ( )v n xác đi ̣nh bởi công thức v1=u1, v n+1=v n +u n+1, ∀ ∈ℕ Sô* ́

hạng tổng quát v n được biểu diễn dưới da ̣ng .

n

a n b v

c n d

+

=+ Khi đó giá tri ̣ biểu thức a d −b c là:

Câu 81 Cho dãy số ( )u n xác đi ̣nh bởi u =1 1, u n+1=u n+2, ∀ ∈n ℕ Sô* ́ ha ̣ng tổng quát u n được biểu

diễn dướ i da ̣ng u n =a n b + Khi đó a b+ là:

u u u

14

n

=+

=

2

n S n

+

1

n S n

=+ D 2

2 1

n S n

=+

n n +

13

n n −

16

+

=+ C u = − n ( 5)n D u n 12

=+ C

2

n u

Câu 97 Trong các dãy số ( )u n cho bởi số hạng tổng quát u n sau, dãy số nào là dãy số tăng?

1

n

n u n

+

=+ C ( ) 2

−

=+ C 2

7

;9

7,9

15,17

31,33

63

Câu 104 Cho dãy số

2 2

n

a n u n

+

=+ Giá tri ̣ của a để dãy số giảm là

1,3

1,3

1

3, …( )4 Với các dãy trên, kết luận nào sau đây là đúng

A ( )1 là dãy đơn điệu giảm, ( )2 là dãy đơn điệu giảm, ( )3 là dãy đơn điệu không giảm, ( )4

là dãy đơn điệu không tăng

B ( )1 là dãy đơn điệu tăng, ( )2 là dãy đơn điệu tăng, ( )3 là dãy đơn điệu không giảm, ( )4 là dãy đơn điệu không tăng

C ( )1 là dãy đơn điệu tăng, ( )2 là dãy đơn điệu giảm, ( )3 là dãy đơn điệu không giảm, ( )4 là dãy đơn điệu không giảm

D Cả ba câu trên đều sai

Câu 106 Cho dãy số ( )u n , biết u n 1

n

C Dãy số ( )u n là dãy số không tăng không giảm D Dãy số ( )u n có 3 1

=+ là dãy số có tính chất

Câu 108 Cho dãy số u = − n ( )1 n Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

2

n

n u

n

π

= là

Câu 110 Trong các dãy số ( )u n cho bởi số hạng tổng quát u n sau, dãy số nào bị chặn trên

−

=+ Dãy số ( )u n bị chặn trên bởi

=+ , (IV) u n =2 3− n

A ( )I , ( )II và(IV) B ( )I và( )II C ( )II và (IV) D ( )II và(III)

Câu 113 Dãy số ( )u n xác định bởi

=+ , (IV) u n =2 3− n

A ( )I và ( )II B ( )II và (III) C ( )I và (III) D ( )II và(IV)

Câu 117 Dãy số ( )u n xác đi ̣nh bởi u =1 2, 1 1,

2

n n

=+

Câu 120 Dãy số ( )u n xác đi ̣nh bởi u =1 6, u n+1= 6+u n, ∀ ∈n ℕ là dãy bi ̣ chă ̣n vı̀ *

n n

+ Trong các mê ̣nh đề sau, mê ̣nh đề nào sai?

A Dãy ( )u n là dãy số bi ̣ chă ̣n trên

B Dãy ( )u n là dãy số bi ̣ chă ̣n dưới

C Dãy số ( )u n là dãy số tăng nhưng không bi ̣ chă ̣n trên

D Dãy ( )u n là dãy số tăng và bi ̣ chă ̣n

Câu 123 Cho dãy số ( )u n với

2 2

11

n

u n

+ +

=+ Khi đó dãy số ( )u n

A Dãy số giảm và bị chặn dưới thì bị chặn trên

B Dãy số không giảm thì sẽ bị chặn trên

C Dãy số giảm và bị chặn dưới thì không bị chặn

D Dãy số tăng và bị chặn trên thì không bị chặn

A Dãy số vô hạn là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương *

ℕ

B Dãy số bị chặn là dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới

C Dãy số bị chặn là dãy số không đổi

D Các phương án trên đều sai

Câu 127 Cho dãy số ( )u n xác định bởi

1

n

n u n

=+ Mệnh đề nào sau đây sai?

C Dãy ( )u n là dãy số bị chặn trên bởi 1 D Dãy ( )u n là dãy số bị chặn dưới bởi 0

Câu 128 Dãy số ( )u n xác đi ̣nh bởi công thức 7 5

5 7

n

n u n

+

=+ là dãy số

Câu 129 Cho dãy số ( )u n với

1

n

u n n

= −

A 5 số hạng đầu của dãy là 1;

2

− 2

;3

;4

B Dãy số ( )u n là dãy số tăng

C 5 số hạng đầu của dãy là 1;

2

− 2

;3

;4

;5

6

−

D Dãy số ( )u n bị chặn trên bởi số 1

Câu 130 Cho dãy số u = − n ( )1 n Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

*

u = u + = u + n∈ℕ

A Dãy số ( )u n không đơn điệu, bị chặn trên bởi 2, và bị chặn dưới bởi 2

B Dãy số ( )u n giảm, bị chặn trên bởi 2, và bị chặn dưới bởi 2

C Dãy số ( )u n giảm, bị chặn dưới bởi 2 và không bị chặn trên

D Dãy số ( )u n tăng, bị chặn trên bởi 2, và bị chặn dưới bởi 2

Dãy 1, 2, 3, 4, … là dãy bị chặn (dưới và trên) ( )1

Dãy 1, 1,

3

1,5

1

7 … là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên ( )2 Trong hai câu trên

100

n

n u

n

=+ là

=

Câu 136 Trong dãy số 1, 3, 2, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 3 bằng số hạng đứng trước nó trừ đi số

hạng đứng trước số hạng này, tức là u n =u n−1−u n−2,∀ ∈n ℕ*,n≥3 Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó Đáp số của bài toán là

Vấn đề 3 . CẤP SỐ CỘNG

①

① Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số

hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d gọi là công sai

Trong một cấp số cộng Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối đối với cấp

số cộng hữa hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là:

22

2

2

n n

n

n u u S

n u n d S

)4(