Về phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A.. Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K.. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HOẰNG HÓA
TRƯỜNG THCS HOẰNG PHỤ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
a Thực hiện phép tính sau:
b Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16
c Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị
Bài 2: (2,0 điểm) Tìm các số x, y, z biết.
a (x – 1)3= - 8 b 9 7 x 5 x 3
c x - 3 x = 0 d 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 3: (1,0 điểm)
a Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6
Chứng minh rằng: 4a+ a + b chia hết cho 6
b Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2+ 5y2= 74
Bài 4: (2,0 điểm)
a Cho a c
b d Chứng minh rằng:
a ac b bd
c ac d bd
b Cho a, b, c > 0 và dãy tỉ số: 2b c a 2c b a 2a b c
Tính: P =
3a 2b 3b 2c 3c 2a
3a c 3b a 3c b
Trang 2c Cho x, y, z, t N Chứng minh rằng:
x y z x y t y z t z t x có giá trị không phải là số tự nhiên
Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC có góc A nhọn Về phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân
tại A, CAE vuông cân tại A Chứng minh:
a DC = BE; DC BE
b BD2+ CE2= BC2+ DE2
c Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K Chứng minh K là trung điểm của BC
Bài 6: (0,5 điểm) Cho ABC nhọn vớiBAC = 600 Chứng minh rằng:
BC2= AB2+ AC2– AB.AC
Trang 3Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7
1a 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 2 3 5 7 5 7
(2 3) 8 3 (125.7) 5 14 2 3 2 3 5 7 5 2 7
12 4 10 3 12 4 10 3
12 5 9 3 3 12 5 9 3
2 3 (3 1) 5 7 (1 7) 2 3 2 5 7 ( 6) 1 10 7
2 3 (3 1) 5 7 (1 2 ) 2 3 4 5 7 9 6 3 2
0,25đ 0,25đ
1b M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 = 4xy – 2(x + y) + 1
M = 45
0,25đ 0,25đ 1c Ta có f(-2) = 0 4a – 2b + c = 0
f(2) = 0 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 4b = 0 b = 0
Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 a = 3/5; c = -12/5
0,25đ 0,25đ
2a (x – 1)3= -8 x – 1 = -2
x = -1 Vậy x = -1
0,25đ 0,25đ 2b
9 7 x 5x 3 ĐK 3
5
x 9 7 5 3
9 7 3 5
x x
x x
12 12 1
2 6 3
(TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3
0,25đ
0,25đ 2c x - 3
x= 0 ĐK x ≥ 0 ( 3) 0 0
9
x
x x
x
(TMĐK)
0,5đ
5 4 3 12 12
x y z x y z x y z
0,5đ 3a Vì a Z+4a1 (mod 3) 4a+ 2 0 (mod 3)
Mà 4a+ 2 0 (mod 2) 4a+ 2 6
Khi đó ta có 4a+ a + b = 4a+ 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b Z+sao cho a + 1 và b + 2007 6 thì 4a+ a + b 6
0,25đ
0,25đ 0,25đ 3b Từ 6x2+ 5y2= 74 6x2≤ 74 x2≤ 74/6 mà x Z x{0; 1; 4; 9}
Mặt khác ta có x2+ 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 x2= 4 hoặc x2= 9
0,25đ
Trang 4Nếu x2 = 4 y2= 10 (loại vì y Z)
Nếu x2 = 9 y2= 4 (x, y) {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}
0,25đ 0,25đ 4a a c a c c a
b d b d d b
a c a c a c .
b d b d b d
( ). ( ). 22 22
( ) ( ).
a c a c a c a ac c ac
b d b d b d b bd d bd
0,25đ
0,25đ 4b Ta có:2b c a 2c b a 2a b c 2a 2b 2c b 3c a 3b c 3a 2
a b c a b c a b a c b c
b + 3c = 2a + 2b 2a bc b
a + 3b = 2a + 2c 2c 3b a
c + 3a = 2b + 2c 2b 3a c
… P = 1
8
0,25đ 0,25đ
x y z t x y z x y x y z t x y t x y
;
x y z t y z t z t x y z t x z t z t
x y z t M x y z t
x y z t x y x y z t z t
Hay 1 < M < 2 Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
0,25đ
0,25đ
5a CM được ABE = ADC (c.g.c) DC = BE
CM được DC BE
0,5đ 0,5đ 5b Viết được CE2= ME2+ MC2; DB2= MD2+ MB2; DE2 = MD2+ ME2;
BC2 = MB2+ MC2
BD2+ CE2 = MD2+ MB2 + ME2+ MC2;
BC2+ DE2= MD2 + MB2+ ME2+ MC2
BD2+ CE2 = BC2+ DE2
0,5đ
0,25đ 0,25đ 5c Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
CM được ADE = CPA CP = AD CP = AB
CM được ; ABK PCK
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 5 CPK = BAK (g.c.g) BK = KC đpcm 0,25đ
5 Hình vẽ:
6 Hình vẽ
6 Kẻ BH AC
Vì BAC 60 0 30 0
2
AB ABH AH (1)
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2và BC2= BH2+ HC2BC2 = AB2 – AH2+ HC2
BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 BC2 = AB2 – AH2 + AC2 –
2AC.AH + AH2
BC2 = AB2 + AC2– 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2) đpcm
0,25đ
0,25đ
M
P K
E D
C B
A
A
0
C H
B