de thi hsg mon toan lop 8 truong thcs son le ha tinh nam hoc 2016 2017

a Tứ giác AMNI là hình gì?. Chứng minh.. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.

TRƯỜNG TH&THCS SƠN LỄ

Đề thi chính thức

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI.

Câu 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức A = x1 23 3x1 x3 41

a) Tìm ĐKXĐ; Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với mọi x  Q thì giá trị của đa thức:

M =x 2x 4x 6x  8 16 là bình phương của một số hữu tỉ

b) Giải phương trình x  1 x x( 1) 

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2+ y2+ 2z2– 18x + 4z - 6y + 20 = 0

b) Cho x y z 1

x y z   Chứng minh rằng: x22 y22 z22 1

Bài 4 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD Gọi M, N, I theo thứ

tự là trung điểm của BD, BC, CD

a) Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b) Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Câu 5 (2,0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:

c

a a

b b

c a

c c

b b

2

2 2

2 2 2

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

MÔN: Toán 8

1

a/ A = 23 3 3 4

2

2

=

           

2

2

1

 

b/ Với mọi x ≠ - 1 thì A= 22 1

1

 

  =

2

2

x x

   

   

                 

2,0

2,0

2

a/ Ta có: M =x2  10 16x x2  10x 24 16

Đặt a = x2+ 10x + 16

suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = (a+ 4)2

M = ( x2+ 10x + 20 )2(đpcm) b/ x  1 x x( 1) 

 x x( 1)     x 1 0 x x      1 x 1 0 x 1 (x   1) 0

1

x

        

1,0 1,0

1,0 1,0

3

a/ 9x2+ y2+ 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0

(9x2– 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2+ 2z + 1) = 0

9(x - 1)2+ (y - 3)2 + 2 (z + 1)2= 0 (*)

Do: ( 1)x 2  0;(y 3) 2  0;( 1)z 2  0

Nên: (*) x = 1; y = 3; z = -1

Vậy (x, y, z) = (1, 3, -1)

2,0

b/ Từ: a b c 0 ayz+bxz+cxy 0

ayz + bxz + cxy = 0

Ta có: x y z 1 (x y z) 1 2

     x22 y22 z22 1(dfcm)

2,0

4

N

I

M

A

B

0,5

a/ Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân

1,0 1,0 b/ (2,0 điểm)

Tính được AD = cm

3

3

4 ; BD = 2AD = cm

3

3 8

AM = BD

2

3

3 4

1,0

Tính được NI = AM = cm

3

3

DC = BC = cm

3

3

8 , MN = DC

2

3

3

Tính được AI = cm

3

3

2,0

5 Áp dụng BĐT: x2+ y22xy, Dấu bằng xẩy ra khi x = y 2,0

a c

b b

a

c

b

b

2

2

2

2





b

c a

c b

a a

c b

2

2 2

2





a

b c

b a

c c

b a

2

2 2

2





 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có

) a

b b

c c

a ( 2 ) a

c c

b

b

a

(

2 22  22  22    

a

b b

c c

a a

c c

b b

a

2

2 2

2 2

2









