Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân

Wu 2006 đã chứng minh rằng với bài toán lồi P trong khônggian định chuẩn với hàm mục tiêu khả vi Gâteaux tại một nghiệm tối ưu thì tập nghiệm bao gồm các điểm chấp nhận được nằm trong si

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

2 Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch

2.1 Đặc trưng cho tập nghiệm trong trường hợp f khả vi

Gâteaux 142.2 Đặc trưng tập nghiệm qua dưới vi phân 212.3 Đặc trưng tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến

phân 28

liên tục và phần trong tương đối của tập nghiệm khác rỗng Z L Wu và

S Y Wu (2006) đã chứng minh rằng với bài toán lồi (P) trong khônggian định chuẩn với hàm mục tiêu khả vi Gâteaux tại một nghiệm tối

ưu thì tập nghiệm bao gồm các điểm chấp nhận được nằm trong siêuphẳng mà véctơ pháp tuyến của nó bằng đạo hàm Gâteaux đó Với bàitoán quy hoạch lồi liên tục, điểm chấp nhận được là nghiệm khi và chỉkhi nó nằm trong siêu phẳng với vectơ pháp tuyến thuộc dưới vi phâncủa hàm mục tiêu tại điểm đó Đồng thời có thể đặc trưng tập nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân Đây là đề tài được nhiều tác giảquan tâm nghiên cứu Chính vì thế em chọn đề tài "Đặc trưng cho tậpnghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bất đẳng thức biến phân"

2 Mục đích của luận văn

Luận văn trình bày các kết quả về đặc trưng cho tập nghiệm của bàitoán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân của Z L Wu

và S Y Wu đăng trong J Optim Theory Appl (2006).

3 Nội dung của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mụccác tài liệu tham khảo

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi như: Phần trongtương đối, dưới vi phân hàm lồi, các phép tính về dưới vi phân hàmlồi Chương 1 cũng trình bày bài toán quy hoạch lồi, bài toán bất đẳngthức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu và hàm saikhác đối ngẫu của bài toán bất đẳng thức biến phân sẽ được xét trongchương 2

Chương 2.Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi vàbài toán bất đẳng thức biến phân

Trình bày các tính chất đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quyhoạch lồi trong trường hợp hàm mục tiêu khả vi Gâteaux, trường hợpbài toán quy hoạch lồi liên tục và bài toán bất đẳng thức biến phâncủa Z L Wu và S Y Wu ([13], 2006) Trong trường hợp hàm mục tiêucủa bài toán quy hoạch lồi khả vi Gâteaux, tập nghiệm sẽ nằm trongsiêu phẳng mà vectơ pháp tuyến của nó bằng đạo hàm Gâteaux củahàm mục tiêu Trong trường hợp quy hoạch lồi liên tục, một điểm chấpnhận được là nghiệm của tối ưu khi và chỉ khi nó nằm trong siêu phẳng

mà vectơ pháp tuyến thuộc dưới vi phân của hàm mục tiêu tại điểmnày Trong một số trường hợp tập nghiệm của bài toán bất đẳng thứcbiến phân trùng với tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi với hàm saikhác đối ngẫu là hàm mục tiêu

Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người

đã hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này.Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin TrườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đãtham gia giảng dạy khóa học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn

bè đồng nghiệp và các thành viên lớp Cao học Toán K7A đã luônquan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2015

Tác giảTrần Vũ Minh Hoàng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi như:Phần trong tương đối, dưới vi phân hàm lồi, các phép toán về dưới viphân các hàm lồi, hàm khả vi Gâteaux Chương này cũng trình bàybài toán quy hoạch lồi, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bấtđẳng thức biến phân đối ngẫu và hàm sai khác đối ngẫu sẽ được xéttrong chương 2 Các kiến thức trình bày trong chương này được thamkhảo trong [1], [13]

1.1 Một số kiến thức giải tích lồi

Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường số thực

b) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu K là một tập lồi

riA = {x ∈ affA :∃ε > 0, (x + εB) ∩ affA ⊂ A},

trong đó B là hình cầu đơn vị trong Rn

Định nghĩa 1.1.4

Trên đồ thị của hàm f : D ⊂ X → R, ký hiệu là epif, được định

nghĩa như sau:

Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epif là tập lồi trong X ×R.

Hàm f được gọi là lõm trên D nếu −f là hàm lồi trên D

Giải sử f là hàm xác định trên không gian lồi địa phương dorffX, f X
< +∞

hx∗, x − xi ≤ f0(x; x − x) ≤ f (x + (x − x)) − f (x)

Do đó, x∗ ∈ ∂f (x)

Cho hàm chỉ f (x) = δ (.| A), trong đó A là tập lồi khác ∅

Khi đó, với x ∈ A,

x∗ ∈ ∂δ (x| A) ⇔ δ (x| A) ≥ δ (x| A) + hx∗, x − xi (∀x ∈ X)

⇔ hx∗, x − xi ≤ 0 (∀x ∈ A)

Điều này có nghĩa là x∗ là véctơ pháp tuyến của A tại x

Như vậy, ∂δ (x| A) là nón pháp tuyến của A tại x,

Giả sử f là hàm lồi trên X Khi đó,

a)Nếu f khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm Gâteaux tại x là x∗ và

f khả dưới vi phân tại x, thì ∂f (x) = {x∗}.

b)Nếu f là hàm chính thường, liên tục tại x và ∂f (x) gồm một phần

tử duy nhất x∗ thì f khả vi Gâteaux tại x và f0G(x) = {x∗}

Giả sử X là không gian Banach, f là hàm lồi khả vi Fréchet tại

x ∈ X với đạo hàm Fréchet tại x ∈ X là f0(x) Khi đó,

∂f (x) = f0(x)

Định lí 1.1.5

Giả sử f là hàm lồi chính thường trên không gian lồi địa phươngHausdorff X, liên tục tại x ∈ X Khi đó, ∂f (x) khác ∅, lồi, compactyếu∗ Đồng thời,

f0(x; d) = max {hx∗, di : x∗ ∈ ∂f (x)}

Chứng minh.

a) Ta chứng minh ∂f (x) lồi?

Lấy x∗1, x∗2 ∈ ∂f (x) và λ ∈ [0, 1] Khi đó, ∀x ∈ X,

hλx∗1, x − xi ≤ λ (f (x) − f (x))h(1 − λ) x∗2, x − xi ≤ (1 − λ) (f (x) − f (x))

1.2 Bài toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân

Xét bài toán quy hoạch lồi:

M in {f (x) : x ∈ C}

trong đó C là một tập lồi trong Rn Trong [9] Mangasarian đã chứngminh rằng tập nghiệm của bài toán đó có thể đặc trưng bởi gradientcủa f khi f khả vi liên tục hai lần trên một tập lồi mở chứa C và bởidưới vi phân của f khi f là liên tục và phần trong tương đối của tậpnghiệm khác rỗng

Giả sử X là không gian vectơ định chuẩn thực, C là tập lồi khácrỗng trong X Với hàm f : X → (−∞, +∞] và x ∈ X với f (x) < +∞,đạo hàm theo phương của f tại x theo phương v ∈ X là:

Nếu hàm lồi f liên tục tại x thì ∂f (x) khác rỗng

Nếu f khả vi Gâteaux tại x thì ∂f (x) = {∇f (x)}

Với một tập lồi đóng C trong X và một ánh xạ F : X → X∗,

bài toán bất đẳng thức biến phân là tìm véctơ x∗ ∈ C sao cho:

Stam-Ký hiệu: Tập nghiệm của VIP(C,F) là C∗, và của DVIP(C,F) là C∗

Dễ thấy rằng với x∗ ∈ C, x∗ ∈ C∗ khi và chỉ khi G (x∗) = 0 khi và chỉkhi x∗ ∈ Λ(x∗).

Chú ý: G là không âm trên C và lồi trên toàn không gian X Vì vậy

C∗ cũng là tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi

M in {G(x) : x ∈ C}

khi cực tiểu bằng không

Nhắc lại: Một ánh xạF : X → X∗ được gọi là giả đơn điệu trên C nếu:

hF (x) , y − xi ≥ 0 ⇒ hF (y) , y − xi ≥ 0, với mỗi (x, y) ∈ C × C;

F được gọi là giả đơn điệu∗ trên C nếu nó giả đơn điệu trên C và thỏamãn:

(x, y) ∈ C × C, hF (x) , x − yi = 0,

hF (y) , x − yi = 0 ⇒ F (x) = kF (y) ,

với k > 0 nào đó Nói riêng, F là giả đơn điệu+ nếu F là giả đơn điệu∗

trên C với k = 1 Rõ ràng là khi F là giả đơn điệu trên C thì C∗ ⊆ C∗

Chương 2

Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân

Chương 2 trình bày các tính chất đặc trưng cho tập nghiệm của bàitoán quy hoạch lồi trong trường hợp hàm mục tiêu khả vi Gâteaux,trường hợp bài toán quy hoạch lồi liên tục và bài toán bất đẳng thứcbiến phân Kết quả chỉ ra rằng tập nghiệm của bài toán quy hoạchlồi nằm trong siêu phẳng mà vectơ pháp tuyến của nó bằng đạo hàmGâteaux của hàm mục tiêu Trong trường hợp quy hoạch lồi liên tục,một điểm chấp nhận được là nghiệm tối ưu khi và chỉ khi nó nằm trongsiêu phẳng mà vectơ pháp tuyến của nó thuộc dưới vi phân của hàmmục tiêu tại điểm này Trong một số trường hợp, tập nghiệm của bàitoán bất đẳng thức biến phân trùng với tập nghiệm của bài toán quyhoạch lồi với hàm sai khác đối ngẫu là hàm mục tiêu Các kết quả trìnhbày trong chương này là của Z L Wu - S Y Wu ([13], 2006)

2.1 Đặc trưng cho tập nghiệm trong trường hợp f khả vi

Gâteaux

Để đặc trưng tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi ta bắt đầu vớiphát biểu sau cho hàm không nhất thiết lồi

xác định với mọi x trong tập mở chứa C Nếu f có cực tiểu trên

C tại x∗ thì f có đạo hàm Gâteaux F (x∗) tại x∗ và x∗ ∈ C∗ Nóiriêng nếu x∗ ∈ C∗ thì f có cực tiểu trên C tại x∗ và vì vậy x∗ ∈ C∗.Chứng minh

Vì F là liên tục theo phương tại x∗ cho nên:

theo Định lý 2.2 (trong [12]), f có cực tiểu tại một điểm nào đó trong

C Trong trường hợp này Mệnh đề 2.1.2 có thể xem như kết quả tồntại nghiệm của VIP(C,F)

(ii) Với Mệnh đề 2.1.2, chú ý rằng C không nhất thiết bị chặn và F

không đòi hỏi liên tục trên toàn bộ C và x∗ có thể không nằm trong

C∗ Chẳng hạn, xét C = [0, +∞) × [0, +∞) và với x = (x1, x2) ∈ R2,

F (x) =



(1, 1) , nếu (x1, x2) = (0, 0) ,(0, 0) , nếu (x1, x2) 6= (0, 0)

Rõ ràng là C không bị chặn và F không liên tục tại (0, 0) ∈ C

Tuy nhiên, vì F liên tục tại x∗ = (1, 1) và f nhận cực tiểu trên C tại

hξ, x∗ − y∗i = 0 và hη, x∗ − y∗i = 0

(ii) Tồn tại ξ ∈ ∂f (x∗) và η ∈ ∂f (y∗) sao cho:hξ − η, x∗− y∗i ≤ 0.(iii) ∂f (x∗) ∩ ∂f (y∗) 6= ∅

(iv) Tồn tại ξ ∈ ∂f (x∗) và η ∈ ∂f (y∗) sao cho

{v ∈ X : hξ, vi ≥ 0} = {v ∈ X : hη, vi ≥ 0}

(v) Tồn tại ξ ∈ ∂f (x∗) và η ∈ ∂f (y∗) sao cho

hξ, x∗ − y∗i ≥ 0 ⇔ hη, x∗ − y∗i ≥ 0,

hξ, y∗ − x∗i ≥ 0 ⇔ hη, y∗ − x∗i ≥ 0

Nếu C là tập lồi trong X và f khả vi Gâteaux tại x∗ và y∗ mà chúng

là nghiệm của bài toán min {f (x) : x ∈ C} thì các phát biểu (i) − (v)

là tương đương nhau

hξ, y∗ − x∗i ≥ 0 và hη, x∗ − y∗i ≥ 0

với ξ = ∇f (x∗) và η = ∇f (y∗) Trong trường hợp này (v) ⇒ (i) phảiđúng

Nhận xét 2.1.2

Dễ thấy (ii) trong Mệnh đề 2.1.3 tương đương với

hξ − η, x∗ − y∗i = 0 với ξ nào đó thuộc ∂f (x∗) và η nào đó thuộc

Với điều kiện f khả vi Gâteaux tại nghiệm x∗ của bài toán

min {f (x) : x ∈ C}, nếu y∗ ∈ C cũng là nghiệm của bài toán đó thì (i)trong mệnh đề 2.1.3 kéo theo (iii), có nghĩa là:

∇f (x∗) ∈ ∂f (y∗)

Kết quả chính sau phát biểu rằng tập nghiệm của bài toán

min {f (x) : x ∈ C} chỉ bao gồm các điểm chấp nhận được mà tại đó(i) trong Mệnh đề 2.1.3 thỏa mãn với phần tử nào đó thuộc tập dưới

vi phân Đặc biệt hơn tập nghiệm tối ưu bao gồm các điểm chấp nhậnđược nằm trong siêu phẳng mà véctơ pháp tuyến của nó là gradientcủa hàm mục tiêu tại nghiệm tối ưu đã cho

C4 := {x ∈ C : hξ, x − x∗i = 0, với ξ nào đó thuộc ∂f (x) },

C5 := {x ∈ C : hξ, x − x∗i ≤ 0, với ξ nào đó thuộc ∂f (x) }

Chứng minh

Bao hàm thức C1 ⊆ C2 ⊆ C3 là hiển nhiên Sự kiện C3 ⊆ C1 thì suy

ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.3 và Nhận xét 2.1.2 Do tính đơn điệu của

∂f, các đẳng thức C3 = C4 = C5 suy ngay ra từ các bất đẳng thức sau:

hξ, x − x∗i ≥ h∇f (x∗) , x − x∗i ≥ 0,

với mỗi ξ ∈ ∂f (x) và mỗi x ∈ C

Vì vậy, ta chỉ còn phải chỉ ra:

C1 ⊆ C0 ⊆ C ⊆ C4

(C1 ⊆ C0): Với mỗi x ∈ C1, ta có h∇f (x∗) , x − x∗i = 0 với

∇f (x∗) ∈ ∂f (x) Khi đó với ξ ∈ ∇f (x∗) và với mỗi y ∈ C, ta có

hξ, y − xi = h∇f (x∗) , y − x∗i − h∇f (x∗) , x − x∗i

= h∇f (x∗) , y − x∗i ≥ 0,

trong đó bất đẳng thức sau cùng suy ra từ Mệnh đề 2.1.1 Vì vậy

x ∈ C0

C0 ⊆ C
Giả sử x ∈ C0 Khi đó, hξ, y − xi ≥ 0, với ξ nào đó ∈

∂f (x) và với mỗi y ∈ C Vì vậy, x ∈ C do bất đẳng thức

f (y) ≥ f (x) + hξ, y − xi ≥ f (x) , với mỗi y ∈ C

C ⊆ C4
Giả sử x ∈ C Vì hàm lồi f là khả vi Gâteaux tại x∗ ∈ C,

ta có: ∂f (x∗) = {∇f (x∗)} Vì vậy,

f (c) − f (x∗) ≥ h∇f (x∗) , c − x∗i ≥ 0, với mọi c ∈ C

Lấy c = x trong bất đẳng thức trên ta được

h∇f (x∗) , x − x∗i = 0

Vì vậy, với mọi y ∈ X, ta có

f (y) − f (x) = f (y) − f (x∗) ≥ h∇f (x∗) , y − x∗i = h∇f (x∗) , y − xi ;

nghĩa là, ∇f (x∗) ∈ ∂f (x) Do đó x ∈ C4

Nhận xét 2.1.3

Với điều kiện f khả vi Gâteaux tại nghiệm tối ưu x∗ của bài toán

min {f (x) : x ∈ C}, đẳng thức C = C0 trong Định lý 2.1.1 kéo theo

x ∈ C là nghiệm của bài toán tối ưu này nếu và chỉ nếu tồn tại ξ ∈

∂f (x) sao cho:hξ, x − xi ≥ 0, ∀x ∈ C

Hơn nữa, đẳng thức C = C5 trong Định lý 2.1.1 chỉ ra rằng x thuộc C

cũng như bất đẳng thức trên đúng tại x = x∗

Vì vậy, Định lý 2.1.1 mở rộng nguyên lý cực tiểu (Định lý 3.4.3 [2])trong Rn cho không gian véctơ định chuẩn thực trong trường hợp f

khả vi Gâteaux tại nghiệm tối ưu

Cuối cùng, theo Mệnh đề 2.1.1, đẳng thức (= 0) trong C1, C2 và C3

trong Định lý 2.1.1 có thể thay bằng bất đẳng thức (≤ 0) Vì vậy,

Từ đó ta nhận được biểu diễn thứ nhất cho C Tương tự ta có thể nhận

được các biểu diễn còn lại cho C

Nhận xét 2.1.4

Trong biểu diễn thứ hai của C trong Định lý 2.1.2, đẳng thức

∇f (x) = ∇f (x∗) có thể thay bằng phát biểu " ∇f (x) và ∇f (x∗) có

cùng phương", hoặc h∇f (x) , x − x∗i = 0, hoặc h∇f (x) , x − x∗i ≤ 0,

như trong các biểu diễn khác Nói riêng, đẳng thức h∇f (x) , x − x∗i =

0 là đủ để đặc trưng điểm x trong C

2.2 Đặc trưng tập nghiệm qua dưới vi phân

Nhắc lại rằng tính liên tục của hàm lồi kéo theo sự khác rỗng của

dưới vi phân Tính chất này cho phép ta mở rộng Định lý 2.1.1 cho

bài toán quy hoạch lồi liên tục mà không giả thiết hàm mục tiêu khả

vi Gâteaux Trong phần này, chúng ta trình bày tính chất đặc trưng

của tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi, liên tục trong không gian

Banach X

Bổ đề 2.2.1.

Giả sử x1, x2 ∈ X và giả sử xt := tx1+(1 − t) x2 với t ∈ (0, 1) Khi

đó, với hàm lồi f : X → R, ta có các suy luận (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii),trong đó (i) − (iii) được phát biểu như sau:

(i) ∂f (x1) ∩ ∂f (x2) 6= ∅

(ii) f (xt) = tf (x1) + (1 − t) f (x2) (iii) ∂f (xt) = ∂f (x1) ∩ ∂f (x2)

Vì vậy, nếu ∂f (xt) 6= ∅ thì các suy luận trở thành (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii)

Do tính lồi của f, điều đó kéo theo (ii)

(ii) ⇒ (iii): Giả sử (ii) đúng, với ξ ∈ ∂f (xt) và với mỗi y ∈ X tacó,

f (y) − [tf (x1) + (1 − t) f (x2)] = f (y) − f (xt) ≥ hξ, y − xti (2.3)

= t hξ, y − x1i + (1 − t) hξ, y − x2i

Khi lấy (y, t) = (x1, 0) và (y, t) = (x2, 1) trong (2.3) ta nhận được,

Khi đó, ta có (2.1) và (2.2) Điều này cùng với (ii) kéo theo,

f (y) − f (xt) ≥ hξ, y − xti , với mọi y ∈ X,

Định lí 2.2.1 Giả sửC là tập lồi trong không gian Banach X,f lồi

và liên tục trên C, và C là nghiệm của bài toán min {f (x) : x ∈ C}.Nếu x∗ ∈ C thì

Hơn nữa, do các Mệnh đề 2.1.2 và 2.2.7 trong [4], tồn tại ξ ∈ ∂f (y)

f (x) =



x2, với x ∈ [−1, +∞) ,+∞, với x ∈ (−∞, −1)

Ta thấy x = 0 là nghiệm tối ưu duy nhất của bài toán tương ứng Tuynhiên, Định lý 1a [9] không đúng cho bài toán này, còn Định lý 2.2.1lại đúng

Để bổ sung cho Định lý 1a [9], Burke và Ferris [3] đã đặc trưng C bằngcách mô tả chính xác dưới gradient của f trong Rn Với điều kiện giốngnhư trong Định lý 2.2.1, kết luận dưới đây đúng

Hệ quả 2.2.1

Giả sử C, f, C,x∗ như trong Định lý 2.2.1 Khi đó,

C = {x ∈ C : ∂f (x) ∩ [−Nc(x)] = ∂f (x∗) ∩ [−Nc(x∗)]}

Chứng minh

Giả sử C1 như trong Định lý 2.2.1 Bởi vì hàm lồi f liên tục trên C,theo Mệnh đề 5.6 [5],ta có

Áp dụng Định lý 2.2.1 cho f (y) = kx − yk, ta nhận được đặc trưngsau của Bc(y) mà kết quả đó không thể dẫn được từ Định lý 1a [9]thậm chí trong Rn.

Ta chỉ cần chỉ ra Bc(y) = {x∗} trong không gian Hilbert X Bởi vì:

BC(y) = C1 = {x ∈ C : hξ, x − x∗i = 0, với ξ nào đó ∈ X∗, kξk = 1,

Bc(y) = {x∗} trong không gian Hilbert X suy ra từBc(y) = C1

2.3 Đặc trưng tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến

phân

Nhắc lạiC∗ là tập nghiệm của bài toánmin {G (x) : x ∈ C} mà Định

lý 2.1.1 có thể áp dụng được khi hàm sai khác đối ngẫuGcủa VIP(C,F)khả vi Gâteaux tạix∗ nào đó ∈ C∗ Để biểu diễn C∗ đặc biệt hơn trongtrường hợp này, ta cần sử dụng dạng kết quả sau:

Mệnh đề 2.3.1

Với x ∈ X, ta có

(i) Nếu G (x) < +∞ thì {F (y) : y ∈ Λ (x)} ⊆ ∂G (x) Nói riêng,

{F (y) : y ∈ C∗ ∪ {x}} ⊆ ∂G (x) , với mỗi x ∈ C∗

(ii) Nếu Λ (x) khác rỗng thì G là khả vi Gâteaux tại x nếu và chỉnếu F là không đổi trên Λ (x) và

G0(x; v) = sup {hF (y) , vi : y ∈ Λ (x)} , ∀v ∈ X (2.4)

Nói riêng, với x ∈ C∗, G là khả vi Gâteaux tại x nếu và chỉ nếu

C∗ = Λ (x), F là không đổi trên C∗ và

G0(x; v) = sup {hF (y) , vi : y ∈ C∗} , ∀v ∈ X

Chứng minh

(i) Với bất kỳ y ∈ Λ (x), do G (x) = (F (y) , x − y) , ta có

G (z)−G (x) ≥ hF (y) , z − yi−hF (y) , x − yi = hF (y) , z − xi , ∀z ∈ X

Như vậy, F (y) ∈ ∂G (x) Bởi vì x ∈ C∗, ta có x ∈ Λ (x) và

0 ≤ hF (x∗) , x − x∗i ≤ G (x) = 0,∀x∗ ∈ C∗,

tức là, C∗ ⊆ Λ (x), ta có

{F (y) : y ∈ C∗∪ {x}} ⊆ ∂G (x) , với mỗi x ∈ G∗

(ii) Bởi vì Λ (x) khác rỗng, do (i), ∂G (x) 6= ∅ Nếu ∇G (x)là đạo hàmGâteaux của G tại x thì ∂G (x) = {∇G (x)}và lại theo (i) ta có

F (y) = ∇G (x) ,∀y ∈ Λ (x)

Chương 2

Đặc trưng cho tập nghiệm toán quy hoạch lồi toán bất đẳng thức biến phân< /h2>

Chương trình bày tính chất đặc trưng cho tập nghiệm bàitoán quy hoạch lồi trường hợp hàm... Gâteaux,trường hợp toán quy hoạch lồi liên tục toán bất đẳng thứcbiến phân Kết tập nghiệm toán quy hoạchlồi nằm siêu phẳng mà vectơ pháp tuyến đạo hàmGâteaux hàm mục tiêu Trong trường hợp quy hoạch lồi liên... data-page="13">

1.2 Bài toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân< /p>

Xét toán quy hoạch lồi:

M in {f (x) : x ∈ C}

trong C tập lồi Rn Trong [9] Mangasarian chứngminh tập nghiệm tốn đặc