Một số điểm lưu ý:Học sinh có thể giải cách khác đáp án nếu đúng cho điểm tương ứng như trong đáp án đã nêu.. Vì vậy yêu cầu học sinh cần nêu rõ tên và nội dung của định lí như dưới đây
Trang 1SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CON CUÔNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (5,0 điểm) Cho phương trình: m 2 x2 2 m 1 x 3 m 3 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m 3
b) Giả sử x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m sao cho
2 m 1 x m 2 x m 2
Câu 2 (3,0 điểm) Giải phương trình:
Câu 3 (2,0 điểm) Cho a b , là các số thực thỏa mãn: 1
4
và a b 4 ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
P a b a b
Câu 4 (3,0 điểm) Cho 6
Tính giá trị biểu thức sau:
cos 2 1 sin cos sin cos
4
Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC 3 MB, I là điểm thuộc đoạn AM sao cho AI 3 IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho ba điểm B I K , , thẳng hàng
Câu 6 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 2;6 , đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại 3
2;-2
Viết phương trình cạnh BC Biết đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC có phương trình: x2 y2 x 2 y 30 0
Hết
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 1 và x2 6 0,5
Để PT(1) có 2 nghiệm
2 0 0
m a
2
2 2
m m
Theo hệ thức Viet ta có: 1 2 2 1
2
m
m
và 1 2
2
m
x x
m
2 m 1 x m 2 x m 2 x x x x 1 0,5 2
1 17 9
ĐK: x 0
Trên ĐK đó PT
2
1
x
0,5
Giải PT(1) Ta nhận thấy x 0 không là nghiệm của PT (1) nên
x x
0,5
x
2
t
t
0,5 Khi t 4 ta có 1
x
Vậy PT đã cho có ba nghiệm: x 1 và x 7 4 3
1,0 (Loại)
Trang 33 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2,0
P a b a b a b a b
2
a b ab a b a b t (do 1
2
a b )
a b
0,5
Xét hàm số: f t( ) t2 3t trên đoạn 16
1;
7
Ta có bảng biến thiên:
0,5
maxP
49
2;
7
a b hoặc 2
; 2 7
2 1 sin cos sin cos 1 sin cos
1,0
1 sin cos sin cos 1 2
2
0; sin cos 0 sin cos
1,0
2
Đặt: AB a AC b ; và AK t AC 0,5
2
16 7
( )
f t
2
49
9 4
Trang 4Khi đó: BK a t b 0,5
Ta có:
;
BI AI AB a b a a b
K
C M
B
A
1,0
Để ba điểm B I K , , thẳng hàng thì
16 16
0,5
1
m
m m
0,5
Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3
7
Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm 1
;1 2
I
Giao điểm E khác A của AD với đường tròn (C) là nghiệm của hệ:
2; 4 2; 6
E
Mặt khác: BAE CAE (do AD là phân giác)
1,0
0,5
; 5 2
IE
cạnh BC có vtpt n 1; 2
Phương trình cạnh BC:1 2 2 3 0 2 5 0
2
x y x y
0,5
B
I
A
E
Trang 5Một số điểm lưu ý:
Học sinh có thể giải cách khác đáp án nếu đúng cho điểm tương ứng như trong đáp án đã nêu
Cách giải khác Câu 3: (Dồn biến theo tích a.b)
P a b a b ab ab
16
t ab Khi đó: P f t ( ) 16 t2 12 t
ab a b ab ab t (do 1
16
ab )
Xét hàm số: f t( ) 16 t2 12t trên đoạn 1 4
;
4 7
Ta có bảng biến thiên:
maxP
49
khi 4
7
7
a b hoặc 2
; 2 7
a b
Cách giải khác Câu 5: (Bằng cách sử dụng định lí Menelaus)
Định lí (Menelaus): Là định lí không quen thuộc trong chương trình giáo khoa THCS.
Vì vậy yêu cầu học sinh cần nêu rõ tên và nội dung của định lí như dưới đây (không cần chứng minh)
Định lí (Menelaus): Cho tam giác ABC, ba điểm M,N,P lần lượt nằm
I K
C M
B A
4
3 8
4 7
( )
f t
2
49
9 4
Trang 6trên các đường thẳng AB, BC, CA Nếu M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi MA NB PC 1
Áp dụng định lí (Menelaus) cho tam giác AMC ta có ba điểm I,B,K lần lượt nằm trên ba đường thẳng AM, MC, CK
Khi đó I, B, K thẳng hàng khi và chỉ khi IA BM KC 1
Mà IA 3 IM IA 3
IM
3
4
BM
BC
KC
Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3
4
Cách khác câu 5: (giải theo CT lớp 9)
Kẻ MN // BK , N thuộc AC
Theo định lí Talet trong tam giác CBK ta có: CM CN 3
MB NK
Theo định lí Talet trong tam giác AMN ta có: AI AK 3
IM KN
Từ đây suy ra: AK CN 3 AK CN 3 NK
Mà CK CN NK 4 NK
4
AK
CK Hết
-I K
C M
B A
N