Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác OAB đến các trục tọa độ bằng nhau.. h b là độ dài đường cao ứng với c
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10
NĂM HỌC 2016 – 2017
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1 (3,5 điểm): Cho hàm số y x 24x1 và hàm số y 2x m Tìm m để đồ thị các
hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác OAB đến các trục tọa độ bằng nhau (điểm O là gốc tọa độ)
Câu 2 (6.5 điểm):
a) Giải hệ phương trình:
2 2 2
xy x y x y
b) Giải phương trình: 6x3(x22 ) 2x x 1 2x34
Câu 3 (1,5 điểm): Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức h b p p b( ) (h b là độ dài đường
cao ứng với cạnh AC) Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Câu 4 (3,5 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lần lượt lấy
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm tọa độ điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất biết hoành độ của điểm B và tung độ của điểm C không âm.
Câu 5 (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và ba dây cung song song AB, CD, EF của đường
tròn đó Gọi H, I, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I,
K thẳng hàng.
Câu 6 (2,0 điểm): Cho a b c, , 0 thỏa mãn: a2b2 c2 ab2bc2ca0
a b a b c a b
- Hết
-Họ tên thí sinh: SBD:
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10
NĂM HỌC 2016 – 2017
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM
1
(3,5đ)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2 4 1 2
2 6 1 0
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Phương trình (1) có
hai nghiệm phân biệt 0 m 8
1,5
Gọi x x A, B là hai nghiệm của phương trình (1), G là trọng tâm của tam
giác OAB
Ta có:
2 3
12 2
A B O G
A B O G
x x x x
y
1,0
Yêu cầu bài toán x G y G
3 9
m m m
Kết hợp điều kiện,vậy m=-3 thỏa mãn yêu cầu bài toán
1,0
2a
(3,5 đ)
Với điều kiện trên, hệ phương trình
x y y xy x y
x y x y
1,5
x y
x y
x y y
1,0
(loại)
Trang 32 5
y x
KL: Vậy hệ phương trình có nghiệm (5; 2)
0,5
2b
(3,0 đ)
Điều kiện: 1
2
Với điều kiện trên, phương trình tương đương:
3
3 (x x2) 2x 1 2x 6x4
2 2
2
2
x
1,0
2
(1)2(2x 1) 3x 2x 1 2x 0
2
2 0(2)
0,5
Đặt t 2x 1(t 0)
x
Phương trình (2) trở thành: 2t2 3t 2 0
2 1 2
t t
0,5
x t
x
2 8 4 0
4 2 3
4 2 3
x x x x
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của phương trình là:
{4-2 3; 4+2 3}
S
0,5
0,25 3
(1,5đ)
Ta có:
2
b b
S
S bh h
b
S p p a p b p c
0,5
Theo đề bài: 2S p p b( )
(loại)
(loại)
Trang 42 ( )
2 ( )( )
2 ( )( )
S
b
p p b
0
a c
Vậy tam giác ABC cân tại B
0,5
4
(3,5đ)
Gọi B(b;0), C(0;c) ( b c, 0)
2 2
Tam giác ABC vuông tại A AB AC 0
3( 3) ( 1) 0
10 3
3
1,5
2
ABC
S b c
2
3
2 3
2
b b
1,0
2
f x x x (0 10
3
x
3
3 3
2
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất là 15 khi b=0B(0;0), (0;10)C
1,0
5
(3,0đ)
*) Chứng minh tính chất: Cho tam giác ABC Gọi H, O lần lượt là
trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì: OA OB OC OH
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O, D là trung điểm của BC
Ta có: tứ giác BHCA’ là hình bình hành nên D là trung điểm của HA’
1,0
Trang 5Mà OB OC 2OD AH
OB OC OH OA
OA OB OC OH
*)Ta có: H, I, K lần lượt là trực tâm của tam giác ACF, AED, BCE
OF(1) (2) (3)
OH OA OC
OI OA OE OD
OK OB OC OE
Từ (1)và (2) IH DCEF
(1)và (3) KH BAEF
1,0
Mà AB//CD//EF m n, sao cho DC m EF, BH nEF
IH m
, KH(n1)EF
,
IH KH
, ,
I H K
1,0
6
(3,0đ)
Đặt x a
c
c
(x,y >0)
Theo đề bài : a2b2 c2 ab2bc2ca0
2 2
2
x y xy x y
x y xy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: ( )2
4
x y
xy
x y
1,0
Trang 6Ta có:
2 2 ( )2
P
a b a b c a b
2 2
2 2
2
2
2
xy
xy
x y xy x y
xy
x y xy xy x y
xy
x y xy x y
x y x y xy
1,5
2
2 ( ) 2( ).
2
P
x y
2
Dấu bằng xảy ra khi x = y =1a=b=c
0,5