Khi m=0,viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A 1; 0.. Chứng minh SAC ⊥ ABC.. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.. Tính theo a khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng A’C
Trang 1Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2
y= −x x + mx+ m là tham số
1 Khi m=0,viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A( )1; 0
2 Tìm m để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x x thỏa mãn 1, 2 2x1+ =x2 5
3 Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+ ∞)
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình
x xy y
2 Tính đạo hàm của hàm số y= x+ +1 2 tan 3x
Câu III (1,0 điểm) Cho , , x y z là các số thực không âm thoả mãn x+ + >y z 0 Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
3
16
A
x y z
=
Câu IV (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a 2, tam giác ABC vuông tại
B với AB=a 2,BC=2a
1 Chứng minh (SAC) (⊥ ABC)
2 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
Câu V (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên
bằng 2a
1 Tính theo a khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’C’B)
2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, DD’ Tính khoảng cách giữa MN và A’C’ theo a
- Hết -
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN – LỚP 12; định hướng cho học sinh thi khối A
Thời gian làm bài: 120 phút
Trang 2Câu Đáp án Điểm
1 (1 điểm)
Khi m= 0 hàm số trở thành 3 2
3 2
y= −x x +
Phương trình tiếp tuyến tại A( )1; 0 của đồ thị hàm số lày− =0 y' 1( )(x−1)
2 (1 điểm)
Ta có 2
y = x − x+ m
Để hàm số có cực trị ⇔ y'=0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ =' 9 1( −m)> ⇔ <0 m 1
Khi đó hàm số đạt cực trị tại x x là 2 nghiệm phân biệt của phương trình 1, 2
2
3x −6x+3m=0 Theo định lý Viet ta có:
( ) ( )
1 2
1 2
2 2
x x
x x m
+ =
=
0,5
Theo bài ra 2x1+ =x2 5 4( )
Từ (2) và (4) ta có x1=3;x2 = −1
Thay vào (3) ta có m= −3 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m= −3
0,5
3(1 điểm)
Ta có y'=3x2−6x+3m
Để hàm số đồng biến trên (2;+ ∞) ⇔ y'≥ ∀ >0, x 2
2
3x 6x 3m 0, x 2
⇔ − + ≥ ∀ >
2
⇔ − + ≥ ∀ >
⇔ ≥ − +m x2 2 ,x ∀ >x 2
0,5
Câu I
( 3 điểm)
Đặt ( ) 2
2
g x = − +x x trên x∈ + ∞[2; )
Ta có '( )g x = − +2x 2, '( )g x < ∀ ≥0, x 2
Bảng biến thiên g x ( )
Từ đó để ⇔ ≥m g x( ),∀ > ⇔ ≥x 2 m 0 Vậy m≥0
0,5
1 (1 điểm)
Câu II
(2 điểm)
( )
x xy y
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN KHẢO SÁT ĐẦU NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN – LỚP 12; định hướng khối A
Thời gian làm bài: 120 phút
'
0
−∞
g
Trang 3Điều kiện x≥1;y≥1.
Từ (1) ( )( 4 ) 0
x y
x y x y
x y
=
Với x= y thay vào ( )2 ta có 2 x− = ⇔1 4 x− = ⇔ =1 2 x 5⇒ y=5 (thỏa
mãn)
Với x+4y=0 đối chiếu với điều kiện, loại
Vậy ( ) ( )x y, ={ 5;5 }
0,5
2 (1 điểm)
cos 3
y
x x
Chú ý : Nếu chỉ tính đúng một trong hai đạo hàm x+1 hoặc tan 3x thì được 0,5
điểm
1,0
1 điểm
Trước hết ta có với ,x y≥0 thì ( ) ( )3
3 3
1 4
x y
x +y ≥ +
(1)⇔4 x +y ≥ +x y ⇔ x +y ≥x y+y x⇔ −x y x+y ≥0, điều này luôn đúng
Đặt x y z a+ + = Khi đó ( )3 3 ( )3 3 ( )
3 3
(với t z
a
= , 0≤ ≤t 1)
0,5
Câu III
(1 điểm)
Xét hàm số ( ) ( )3 3
f t = −t + t với t∈[ ]0;1
9
f t = t − −t f t = ⇔ = ∈t
0 1; 1 64;
9 81
Do đó ( )
[ ] 0;1
64 min
81
t
f t
∈ = , do đó GTNN của A là 16
81 đạt được khi x= =y 4z>0
0,5
1 (1 điểm)
H A
B
C S
Vì SA= SB =SC, nên kẻ SH vuông góc với đáy tại H, thì H là tâm tròn ngoại tiếp
đáy
0,5
Câu IV
(2 điểm)
Mà tam giác ABC vuông tại B nên H là trung điểm của AC
0,5
Trang 4Vậy ( )
⊥
⊂
2 (1 điểm)
Thể tích của khối chóp SABC là 1
3
V = SH S (1)
2
ABC
S = BA BC = a (2)
0,5
2 2
a
2
2
SH = SA − AH = a − = , (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
3 2
SABC
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là
3
3
SABC
a
0,5
1 (1 điểm)
Vì tứ diện B’A’C’B là tứ diện vuông đỉnh B’, nên gọi d là khoảng cách từ B’ đến
mặt phẳng (A’C’B), ta có
F E
P
N
M
C
D' A'
B
0,5
Hay 12 12 12 12 92
3
a
0,5
2 (1 điểm)
Lấy P là trung điểm của AD,
Ta có A’C’ // MP, suy ra A’C’ // (MNP)
Nên d A C MN ( ' ', ) = d A C ( ' ', ( MNP ) ) = d C ( ', ( MNP ) ) (1)
0,5
Câu V
(2 điểm)
Ta có DC’ cắt CD’, MN lần lượt tại E, F và có F là trung điểm của DE, nên C’F = 3
Trang 5Suy ra: ( ( ) )
,
d D MNP = DF = (2)
Gọi h là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (MNP), vì tứ diện DMNP là tứ diện
vuông đỉnh D, nên
3
a
h = d D MNP = (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra d A C MN ( ' ', ) = 3 d D MNP( , ( ))= a