a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm.. Lấy ngẫu nhiên 4 viên
Trang 1TRƯỜNG THPT THỐNG NHẤT ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 (Lần 2) TỔ: TOÁN – TIN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số: 2 1
1
x y x
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: 3x – y + 2 = 0
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho góc thỏa mãn:
2
và cos 4
5
Tính P = 2 tan2
1 tan
b) Cho số phức z thõa: 2z3(1 )i z 1 9i Tìm phần thực, phần ảo, mô đun của z
Câu 3 (0, 5 điểm) Giải phương trình: log (4 x 3) log (4 x 1) 2 log 84
Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3 1 2 7 2
( , )
x y
Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân
2 0
sin
1 cos
x
x
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SC(ABCD),đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng
3
a và ABC120 0 Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45 0 Tính theo
a thể tích của khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD.
Câu 7 (1, 0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC x: 7y31 0,
hai đỉnh B, D lần lượt thuộc các đường thẳng d x y1: 8 0, d x2: 2y 3 0 Tìm tọa độ
các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm.
Câu 8 (1,0 điểm)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 1 0 và đường thẳng:
d: x 2 y 1 z 1
Tìm giao điểm I của d và (P) Viết phương trình mặt cầu tâm I và
đi qua A(-1;2;3)
Câu 9 (0,5 điểm) Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh Lấy ngẫu
nhiên 4 viên bi Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu
Câu 10 (1,0 điểm) Cho a b c, , là ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3
P
a ab abc a b c
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
1
a
1
x y x
TXĐ: D\ 1
Sự biến thiên của hàm số:
+ Các giới hạn và tiệm cận
Đường thẳng x 1là tiệm cận đứng
lim 2
Đường thẳngy2 là tiệm cận ngang
0,25
2
3
0 ( 1)
x
+ Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trong các khoảng ( ; 1) và ( 1; ) Hàm số không có cực trị
0,25
b Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm , theo giả thiết ta có: 2 0
0 0
0 3
3
2 1
x x x
Với x0= 0 , y0= -1 suy ra pttt là: y = 3x -1 Với x0= -2 , y0= 5 suy ra pttt là: y = 3x + 11 0,5
2
a
Do 2
nên sin 0 sin 3
5
3 tan
4
suy ra: P = 24
7
0,25
Trang 3Gọi số phức cần tìm: z = a + bi (a , b R) , theo giả thiết ta có:
2(a +bi) + 3(1- i)(a – bi) = 1 – 9i
7
2
a
a b
a b
b
0,25
Suy ra : z = 7 3
2 2 i Phần thực 7
2, phần ảo
3 2
, mô đun 58
2
z
0,25
3
Đk: x > 1 Phương trình đã cho tương đương: 2
0,25
4
x
(thỏa mãn đk)
4
Hệ phương trình 3 1 2 7 2 (1)
2 4 5 (2)
Điều kiện: 2 0
x y
x y
Với điều kiện trên thì (1) 3x27xy + 2y2+ x 2y = 0
(3xy)(x2y) +(x2y) = 0
(x2y)(3xy +1) = 0
x y
x y
0,25
+ x2y = 0 x = 2y (2): 4y 9y 5 y = 1
y = 1 x = 2 (tmđk)
0,25
+ 3x y + 1= 0 y = 3x+1 (2) trở thành: 7x 1 7x 2 5
2
1 7
x
17
25
x
x x
x y (tmđk)
0,25
Trang 4Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;1) và (x;y) = 17 76;
25 25
5
Đặt t 1 cosxdt sinxdx
2
Khi đó
( )
1
ln )t ln 2
6
I
O D
K B A
C S
Kẻ SK AB K ( AB)CK AB(định lí 3 đường vuông góc)
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)là góc giữa SK và CK
Do SKCnhọn nên SKC450
ABC CBK Trong tam giác vuông CBK: 0 3
sin 60
2
a
CK CB
Tam giác SCK vuông cân tại Cnên 3
2
a
SC
0,25
Ta có
2
0 3 3 sin120
2
ABCD
a
a
Gọi OACBD
Ta có BD AC BD (SAC)
BD SC
Kẻ OI SA I SA ( ) OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
0,25
Trang 5Dùng hai tam giác đồng dạng AOIvà ASCsuy ra 3 5
10
a
OI
Vậy ( , ) 3 5
10
a
10
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
a ab abc a a b c
Đẳng thức xảy ra khi a4b16 c
0,25
P
a b c a b c
Đặt t a b c t , 0 Khi đó ta có 3 3
2
P
t t
Xét hàm số f t( ) 3 3
2t t với t0
0,25
'
2
2 2
f t
t
t t
2
2 2
t
t t
Bảng biến thiên:
' ( )
( )
3 2
Do đó
0
3 min ( )
2
t f t
khi và chỉ khi t 1 Suy ra 3
2
P
0,25
Vậy GTNN của P bằng 3
2
a b c
1 ( ;8 ), 2 (2 3; )
B d B b b D d d d
Khi đó BD ( b 2d3;b d 8) và trung điểm của BD là
I
0,25
Trang 6Theo tính chất hình thoi ta có :
AC
Suy ra B(0;8); ( 1;1)D
0,25
Khi đó 1 9;
2 2
I
; A AC A( 7 a 31; )a .
2
ABCD ABCD
S
BD
7
6 ( 11;6)
Suy ra C(10;3)
0,25
8
Ptts của d:
2 1
1 3
0,25
Ta có: I d I(2t;1 ;1 3 )t t , do I( ) êP n n 2+t + 1- t -1 +3t +1 = 0
Với t = -1 suy ra I (1 ; 2 ; 4)
0,25
Ta có: IA ( 2;0 1) IA 5
0,25
Theo giả thiết bán kính: R = IA suy ra R = 5
Vậy pt mặt cầu: 2 2 2
x y z
0,25
9
Tổng số viên bi trong hộp là 24 Gọi là không gian mẫu
Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có 4
24
C cách lấy hay n()= 4
24
C Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu Ta có các trường
hợp sau:
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 1
0,25
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 1
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 2
Do đó, n(A)=5040
Vậy, xác suất biến cố A là ( ) ( ) 5040
( ) 10626
n A
P A
n