Cho hình chóp S ABCD.. có đáy ABCDlà hình vuông cạnh bằng a SA, vuông góc với đáy.. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng SAB bằng 300.. Gọi E là trung điểm của BC.. Tính thể tích khối chóp S ABCD
Trang 1SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
TỔ TOÁN
KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015-Lần 2
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1(2 điểm) Cho hàm số 4 2
y x x có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k48
Câu 2 (1 điểm)
a)Giải phương trình: 3 sin 2xcos2 -2cos +1=0x x
b) Tìm mô đun số phức z biết rằng: 2
2 2
z z i và số phức z có phần thực dương
Câu 3(1 điểm) Tính tích phân sau:
1 2 0
18 6
x
Câu 4 (1 điểm)
a) Tìm hệ số của của số hạng chứa 5
x trong khai triển nhị thức sau :
15
4 2
x x
b) Giải bất phương trình: log (2 x 1) 2log (4 x 2) log (22 x4)
Câu 5 ( 1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh bằng a SA, vuông góc với đáy Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300 Gọi E là trung điểm của BC Tính thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a
Câu 6 (1điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A 1;0;1 , B 1; 2; 3 và mặt phẳng
( )P :2x2y z 1 0
a) Viết phương trình của mặt phẳng ( )Q đi qua 2 điểm A; Bvà vuông góc với mặt phẳng ( )P
b) Tìm toạ độ điểm Mthuộc đường thẳng ABsao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )P
bằng 2
Câu 7 (1điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I , có diện tích bằng
20 Điểm 0;1
3
thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD, điểm H( 2;1) thuộc đường cao kẻ từ I của IMN, trọng tâm G của IMN thuộc đường thẳng :x3y 9 0 Tìm tọa độ đỉnh B, biết B có hoành độ dương và ACBD
Câu 9 (1 điểm) Cho x, y, zlà các số thực thoả mãn: 3 3 3
x y z xyz Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
Px y z
-Hết -
(Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:………;Số báo danh:………
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
1a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 4 2
Txđ: D=R
1
x
x
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1;0) à(1; v )
+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 1) à(0;1)v
+Hàm số đạt CĐ tại x=0; yCĐ=2; Hàm số đạt CT tại x 1; y CT 0
+ Giới hạn: 4 2
0,25
+Bảng biến thiên :
x -1 0 1 +
y’(x) 0 0 0
+ +
2
y(x)
0 0
0.25
+Đồ thị:
0,25
1b Gọi M x y là tiếp điểm ta có: ( ;0 0) y’ x 0 48 0,25
0
2
0
2 (2;18)
2
2 3 sin cos 2 cos 1 2 cos 1 0
2 cos ( 3 s in cos 1) 0 cos 0
3 s in cos 1 0
x
0,25
2
x x k kZ
2
y
Trang 3
3 s inx cos 1 0 s inx cos
2
3
x k
0,25
2b Tìm mô đun số phức z biết rằng: 2
2 2
z z i và số phức z có phần thực
Giả sử z a bi z a bi (a>0)
Từ giả thiết Ta có:
2
2 2
2 2
2
ab b
0,25
2 2
2 0 (1) 2
(2)
1 2
b
a
Với a=1 thì b=-2 z 5
0,25
Câu 3 Tính tích phân sau:
1 2 0
18 6
x
Ta có:
1
0
Tính
1
1
0 0
( 1)
e dx e e
Tính 1
0
18 6
x dx x
Đặt u 3x 1 u23x 1 2udu3dx
Đổi cận: x 0 u 1; x 1 u 2
0,25
Ta có
2
3
1
x u
0,25
4a
Tìm hệ số của số hạng chứa x5
trong khai triển nhị thức sau :
15
4 2
x x
Số hạng thứ k+1 của khai triển trên là:
k
Số hạng chứa x5
ứng với 60 5 k 5 k 11
0,25
Trang 4Vì CB AB CB SAB
0.25
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
3 2
.
a
+ Từ C dựng CI // DE
2
a
CE DI
và DE/ /SCI
d DE SC d DE CSI
Từ A kẻ AKCI cắt ED tại H, cắt CI tại K
Ta có: SA CI CI SAK SCI SAK
AK CI
Trong (SAK) kẻ:HT SKHT SCId DE SC , d H SCI , HT
0.25
+ Ta có:
2 2
3
2
ACI
a a
a
Lại có ASKđồng dạng với THK
2
19 3
5
a a
TH
a
,
19
a
d ED SC
0.25
Vậy hệ số của số hạng chứa 5
x trong khai triển trên là: C1511.2112795520 0,25
4b
Giải bất phương trình: log (2 x 1) 2log (4 x 2) log (22 x4) 0,5 ĐK: x>2
log ( 1) log ( 2) log (2 4) log ( 1)( 2) log (2 4)
3
x
x
Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của BPT là: T (3;)
0,25
H
I
A
D
B
S
K T
Trang 55a
Ta có:
(0; 2; 4); P (2; 2; 1); , P (6; 8; 4)
AB n AB n
Mặt phẳng ( )Q (1; 0;1)
(3; 4; 2)
Qua A VTPT n
Ta có phương trình của ( ) là : 3(x 1) 4y2(z 1) 0 3x4y2z 1 0
0,5
5b
PTTS của đường thẳng AB là:
1 2
1 4
x
Do điểm MABM(1; 2 ;1 4 )t t 0,25
2 2.2 (1 4 ) 1
3 1
(1;1; 1)
1 (1; 2;5)
d M P
t
0,25
I
B
D
M
N L
(9 3 ; )
G G a a
Gọi I(x;y) Do G là trọng tâm của tam giác IMN ta có:
9 3
27 9
22 1
3 7
3
x
a
y
a
Do H thuộc đường cao kẻ từ I của tam giác IMN nên:
0,25
Gọi L là điểm đối xứng với N qua IL4; 5
Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I đến AB là:
2 2
4.2 3.1 1
2
S S d AB AB
Trong tam giác vuông ABI ta có:
0.25
Trang 62 2 2 2 2
2 5 ( )
5
2 5
IA
I
IA
IB
Do ACBDIAIB nên hệ (II) không thoả mãn
(I) ta có: IB 5
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x+3y-1=0 với đường tròn tâm I bán kính
5.Tọa độ B là nghiệm của hệ:
2
1 4
1 3
1
5 1; 1
x y
x
x
y
B
0.5
Câu 7 Giải hệ phương trình sau: 2 2
1đ
ĐK: y1
(1) 9y 4 3y 36x 4 6x (3 )y 4 3y (6 )x 4 6x
Xét hàm số:
2
2
4
t
t
nên hàm số đồng biến
Từ đó suy ra: 3y6x y 2x (3)
0,25
2 2
2
Xét hàm số:
g t t t g t t nên hàm số đồng biến
x y x y
0,25
Từ (3) và (4) ta có hệ:
1
x
0,25
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( ; ) (1;2)x y 0,25 Câu 9 Cho x, y,z là các số thực thoả mãn:
x y z xyz Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
Trang 7
x x y x z y y x y z z z y z x
x y y x xyz x z z x xyz y z z y xyz
xy x y z xz x y z yz x y z
1 (x y z x)( y z xy yz zx) (*)
x y z xyyzzx xy yz zx
Từ (*) 2 2 2
x y z xyyzzx x y z
Đặt t x y z, t0Từ (*) ta có:
2
2
2
f t'( ) 0 t 1
BBT t 0 1
f’(t) - 0 +
f(t)
1
Từ bảng biến thiên ta thấy P f t( ) 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đẳng thức xảy ra nếu một trong ba số x,y,x
bằng 1 và hai số còn lại bằng 0
0,5