Lý thuyết và bài tập hình học không gian – Nguyễn Tất Đỉnh

Tài liệu gồm 64 trang tổng hợp lý thuyết, phân dạng toán và tuyển chọn bài tập trắc nghiệm hình học không gian, tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Tất Đỉnh. Nội dung tài liệu: + Phần 1. Tổng hợp lý thuyết khối đa diện và các kiến thức liên quan. + Phần 2. Phân dạng bài toán hình học không gian kèm các ví dụ minh họa có lời giải. + Phần 3. Tuyển chọn bài tập trắc nghiệm hình không gian có đáp án và lời giải chi tiết. Xem thêm: + Bài tập trắc nghiệm khối đa diện, mặt nón, mặt trụ và mặt cầu – Trần Đình Cư + Bài tập trắc nghiệm chuyên đề khối đa diện, mặt nón – trụ – cầu – Đặng Việt Đông + Chuyên đề hình học không gian dành cho học sinh trung bình – yếu

Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABCvuông ở A ta có :

A.QUAN HỆ SONG SONG

1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

(P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng

cắt nhau cùng song song

với một đường thẳng thì

giao tuyến của chúng song

song với đường thẳng đó

(P) (Q) d(P) / /a d / /a(Q) / /a

Q P

2 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Q P

Q P

B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

2

ĐL2: (Ba đường vuông

3 KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1

mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc

đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M

và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường

P

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song

với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến

mp(P)

d(a;(P)) = OH

a

H O

P

3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này

đến mặt phẳng kia

O

Q P

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

4 GÓC

1 Góc giữa hai đường thẳng a và b

là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua

một điểm và lần lượt cùng phương với a và b

b' b

a' a

2 Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với

mặt phẳng (P)

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta

nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt

phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

b a

Q P

P

Q

4 Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa

giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu

V = a 3 (a là độ dài cạnh)

1

3Bh (B: Sđáy ; h: chiều cao)

3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ

DIỆN

'''' '

SC SB

SB SA

SA V

V

C SA SABC 

C'

B' A'

C B

S=4 r

Chú ý:

1/ Đường chéo của hình vuơng cạnh a là d = a 2,

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3,

Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là d = 2 2 2

a  b c ,

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3

2

a

3/ Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc cĩ đáy là

đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều

1/ C/m điểm thuộc mặt phẳng :

 Phương pháp :

Để chứng minh điểm M mpta chứng minh :

   Mmp

mpa

thẳngĐường

athẳngĐường

M

2/ Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng :

 Phương pháp : Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mp ta thực hiện các bước sau : Bước 1 : Chọn mặt phẳng phụ  chứa đường thẳng a

( Chú ý : Mặt phẳng  và  dể xác định giao tuyến )

Bước 2 : Tìm giao tuyến  của  và 

Bước 3 : Gọi I = giao điểm của a và  Chứng minh I

là giao điểm của đường thẳng a và mp

( Chứng minh : I vừa thuộc đường thẳng a vừa thuộc mp)

3/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

 Phương pháp : Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và  ta dùng các cách sau :

C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng

A

mp B

A

,

,

C2 : Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến

( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định cho trước )

Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các định lý :

- Nếu a // (P) thì a // với giao tuyến d của mp(P) và mp(Q) đi qua a

- Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì các giao tuyến này //

- Hai mặt phẳng cắt nhau cùng // với một đường thẳng thì giao tuyến của hai mạt phẳng này // với đường thẳng đó

4/ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :

 Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng

Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt  và 

A, B, C thuộc giao tuyến của  và  nên thẳng hàng

Thường CM như sau:( ) ( )

( ) ( )

AB

C AB C

   , nên A, B, C thẳng hàng

5/ Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy :

 Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Đặt I = giao điểm của a và b

Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng  và  nào đó sao cho

c = giao tuyến của  và 

Bước 3 : Chứng minh : I đường thẳng c

mp I

mp I

Dùng định lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến này // hoặc

đồng quy’’ Như vậy nếu chúng ta loại trừ được khả năng // thì chúng sẽ đồng quy

6/ Chứng minh giao tuyến hay (đường thẳng) cố định :

 Phương pháp : Ta chứng minh đường thẳng hay giao tuyến là giao của hai mặt phẳng cố định

7/ Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau :

 Phương pháp : Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta chứng minh chúng không cùng

nằm trong một mặt phẳng (Thường dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai đường thẳng đó không chéo nhau Suy luận để suy ra điều vô lý Vậy hai đường thẳng đó phải // với nhau)

8/ Chứng minh hai đường thẳng //

C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng

C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba

C3 : Dùng định lý giao tuyến:

C4 : Dùng định lý giao tuyến:

C5 : Dùng định lý giao tuyến:

Q P

(P) // a, (Q) // a, ( ) ( )P  Q   a // b a



Q P

b a

b a



P Q

b a R

Q

P

C6 : Dùng định lý giao tuyến:

9/ Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng

C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng

C2 : Dùng hệ quả:

C3 : Dùng hệ quả:

10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song

C1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia

, ( )

a b Q , a cắt b, a // (P) và b // (P) ( )P //( )Q

C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng

C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt phẳng thứ ba thì // với nhau

11/ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng

C2 : a  b góc( ; ) 90a b  o

C3: Dùng hệ quả:

C4: Dùng hệ quả:

C5 : Dùng hệ quả:

C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc

b

( )( )

C7: Dùng hệ quả:

12/ Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

C1 : Dùng định lý

C2 : Dùng hệ quả:

C3 : Dùng hệ quả:

C4 : Dùng hệ quả:

13/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông

C2 : Dùng hệ quả:

1/ Góc của hai đường thẳng

1/ Góc của hai mặt phẳng

a a

 Góc (a,b) = góc (a’,b’) =AOB

 Thường chọn điểm O  a hoặc O

 b

b' a'

B

A

O b

A





1/ Góc của đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng // song song

 HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT

1/ Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tam giác đều:

 Đáy là tam giác đều

 Các mặt bên là những tam giác cân

Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:

 Đáy là tam giác đều

 Các mặt bên là những tam giác đều

Cách vẽ:

 Vẽ đáy ABC  Vẽ trung tuyến AI

 Dựng trọng tâm H  Vẽ SH  (ABC)

 Ta có:

 SH là chiều cao của hình chóp

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH 

 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

H S

B

2/ Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp tứ giác đều:

 Đáy là hình vuông

 Các mặt bên là những tam giác cân

Cách vẽ:

 Vẽ đáy ABCD

 Dựng giao điểm H của hai đường chéo

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH 

 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

2/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy



D A

 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA

 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA 

 SA  (ABCD)

 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA

 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA 

 Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA







D A

S

Ví dụ: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC), SA = a,

tam giác ABC vuông tại B, BC = a; AC = 2a

Ví dụ: (TN THPT 2008 – lần 1) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên

bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC Tính thể tích của khối chóp S.ABI theo a

Giải:

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó SH vuông góc với mặt đáy ABC

+ S: Diện tích đáy + h: Chiều cao hình chóp

+ S: Diện tích đáy + h: Chiều cao hình lăng trụ

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam

giác đều cạnh bằng a và mặt SAB là tam giác vuông cân tại S Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

II THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

Dạng 1: Hình lăng trụ có một cạnh bên d vuông góc với mặt đáy B ( dự đoán được nó là hình lăng trụ đứng) Khi đó thể tích của hình lăng trụ là: V B d (B: diện tích đáy; d: là chiều cao)

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C , có ' ' ' 0

ACa BC a ACB và tam giác ABB' cân Tính thể tích của khối lăng trụ theo a

Giải:

Ta có thể tích của khối lăng trụ là: V B h SABC.BB'

Mà:

2 0

Dạng 2: Biết hình chiếu của một đỉnh xuống mặt đáy

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ', có hình chiếu vuông góc của đỉnh A'xuống mặt đáy

ABC trùng với trung điểm I của đoạnh AB, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên

AA'với mặt đáy bằng 300 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a

Giải:

a a

C A

S

H

a a

a

I

B

C A

Ta có thể tích cần tìm là: V B h SABC 'A I

Mà

2

34

III DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH HÌNH NÓN

Diện tích xung quanh hình nón: S xq  .r l , trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh

V  r h , trong đó r: là bán kính đáy, h: là chiều cao

Ví dụ: Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy tâm O, bán kính r = a và góc ở đỉnh của hình nón

bằng 600 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

IV DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH HÌNH TRỤ

Diện tích xung quanh hình trụ: S xq 2  r l , trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh

Ví dụ: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, và khoảng cách giữa hai đáy bằng a 3 Tính diện

tích xung quanh và thể tích của hình trụ đã cho theo a

V DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH MẶT CẦU

Diện tích của mặt cầu: 2

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA2 ,a AC a 2 và SA

vuông góc với mặt phẳng đáy

1 Chứng minh trung điểm I của đoạn SC là tâm của mặt cầu (S) đi qua các đỉnh của hình chóp

S.ABC Tính bán kính của mặt cầu (S) và thể tích c ủa khối cầu

2 Xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mp(ABC)

2 Đường tròn giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do ABC vuông cân tại B nên tâm của đường tròn giao tuyến

là trung điểm của đoan AC

Vậy bán kính của đường tròn giao tuyến là: 1 2 2 2 a r AC B/ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: HÌNH CHÓP Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 và SC = 2a 2 Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: A 3 2 3 a B 3 2 3 3 a C 3 3 a D 3 3 3 a

Câu 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp biết SC = a 3? A 3 2 6 9 a B 3 6 12 a C 3 3 4 a D 3 3 2 a

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp: A 3 6 24 a B 3 3 24 a C 3 6 8 a D 3 6 48 a

A

C

B

S

*O

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc với đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích hình chóp S.ABCD A 3 3 3 a B 3 2 3 3 a C 3 3 6 a D a3 3

Câu 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, BAC  1200, biết SA  (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC A 3 9 a B 3 3 a C a3 2 D 3 2 a

Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a, AD = 2a, SA  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD A 3 6 2 a B 3 3 3 a C 3 6 6 a D 3 2 a

Câu 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD = 2a, AB = a Gọi H là trung

điểm của AD, biết SH  ( ABCD) Tính thể tích khối chóp biết SA =a 5

a

C

3

43

a

D

3

23

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC, SG

 (ABC) Biết góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) bằng 300 (với M là trung điểm của BC), BC  2a

và AB = 5a Tính 9V3

a với V là thể tích khối chóp S.ABC:

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông câ n tại B, AC = a, SA  (ABC)

Biết thể tích khối chóp S.ABC là

3

624

a

(đơn vị thể tích) Tính góc giữa SB và mặt phẳng (ABC)

a

C

3

510

a

D

3

53

a

Câu 16: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với

đáy một góc 600 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA Tính

a

C

3

5 396

a

D

3

5 596

a

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAB là tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

a

C

3

34

a

D

3

33

Câu 18: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và

SA  (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính50V3 3

a , với V là thể tích khối chóp A.BCNM

Câu 19: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB; AC; AD đôi một vuông góc với nhau biết AC = a;

AD =a 3 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD bằng 21

7

a

Thể tích khối chóp đã cho là:

C

3

3 34

a

D

3

33

Câu 20: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA  ABCD và SA=h Biết SC tạo với

đáy một góc 450 Thể tích khối chóp đá cho tính theo h là:

a

C

3

1512

a

D

3

4 33

Câu 22: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 1; AD  2 Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy là trung điểm của AD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D có AD  2; AB = BC  1,

SA  ABCD , đường thẳng SC tạo với đáy một góc 450 Thể tích khối chóp đã cho là:

Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng h và mặt bên tạo với đáy một góc

600 Thể tích khối chóp đã cho tính theo h là:

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = 4, AC = 5 và SA  (ABCD biết mặt phẳng SCD tạo với đáy một góc 600 Thể tích khối chóp đã cho là:

Câu27: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC

và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o Tính thể tích hình chóp là

a

o 60

M C

B A

S

Đáp án

Hướng dẫn giải

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a Cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 và SC = 2a 2 Thể tích khối chóp

Câu 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hai mặt (SAB) và (SAC) cùng

vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp biết SC = a 3?

a

C

3

34

a

D

3

32

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B với AC

= a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp:

a

C

3

68

a

D

3

648

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc với đáy

ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích hình chóp S.ABCD

a

C

3

36

a

D a3 3

Câu 5:Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại

A với BC = 2a, BAC  1200, biết SA  (ABC) và mặt (SBC)

hợp với đáy một góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Câu 6:Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a, AD = 2a, S A  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

a

3

66

a

D 20a3

Câu 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD = 2a, AB = a Gọi H là trung

điểm của AD, biết SH  ( ABCD) Tính thể tích khối chóp biết SA =a 5

a

C

3

43

a

D

3

23

a

HD: Ta có SH SA2AH2 2a

Và S ABCD AB BC 2a2

3 2

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC, SG

 (ABC) Biết góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) bằng 300 (với M là trung điểm của BC), BC  2a