Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàm parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM————————————————— TRẦN QUANG MẠNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

TRẦN QUANG MẠNH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI

CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

TRẦN QUANG MẠNH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI

CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên – 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trongluận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016Người viết luận văn

Trần Quang Mạnh

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành trong khóa 22 đào tạo Thạc sĩ của trường Đạihọc Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS ĐỗVăn Lưu, Viện Toán học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầyhướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học,tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hướngdẫn tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy,khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đạihọc Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp

đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên,ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học và luận văn của mình

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Trần Quang Mạnh

2.1 Điều kiện cần cấp hai dạng hệ không tương thích 142.2 Điều kiện cần cấp hai dạng nhân tử Lagrange 182.3 Các hệ quả và các ví dụ 23

3.1 Điều kiện cấp hai dạng nhân tử Lagrange 28

3.2 Các hệ quả 34

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các điều kiện tối ưu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyếtcác bài toán cực trị Các điều kiện tối ưu cấp hai cho phép ta tìm đượcnghiệm tối ưu trong trong tập các điểm dừng Nhiều kết quả nghiên cứu vềđiều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đơn và đa mục tiêu đã đượcthiết lập C Gutiérrez, B Jiménez, V Novo ([10], 2010) đã chứng minh cácđiều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm khả

vi Fréchet với đạo hàm Fréchet liên tục hoặc ổn định Lớp hàm này chứatrong lớp hàm C1,1 Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài nướcquan tâm nghiên cứu Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Điều kiện tối ưucấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàmparabolic”

2 Nội dung đề tài

Luận văn trình bày các điều kiện tối ưu cấp hai dưới ngôn ngữ đạo hàmparabolic cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm khả vi Fréchet vàđạo hàm Fréchet của chúng là liên tục hoặc ổn định Luận văn được viếtdựa trên bài báo của C Gutiérrez, B Jiménez và V Novo, đăng trong tạp

hệ của các tập tiếp tuyến cấp hai; hàm ổn định; các đạo hàm theo phươngparabolic và radial cấp hai, dưới vi phân Clarke cấp hai và mối quan hệ giữachúng Các khái niệm và kết quả trong chương 1 là của Gutiérrez–Jiménez–Novo [10].

Chương 2: "Điều kiện cần tối ưu"

Trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Gutiérrez–Jiménez–Novo[10] cho bài toán (1.1) đã phát biểu trong chương 1 với các hàm có đạo hàmFréchet liên tục hoặc ổn định, dạng hệ không tương thích và dạng nhân tửLagrange cùng với một số ví dụ minh họa

Chương 3: "Điều kiện đủ tối ưu"

Trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp hai dạng nhân tử Lagrange củaGutiérrez–Jiménez–Novo [10] cho cực tiểu địa phương chặt cấp hai của bàitoán tối ưu đa mục tiêu (3.1) cùng với các hệ quả cho bài toán với các hàmkhả vi Fréchet hai lần, bài toán với các hàm C1,1 và các ví dụ

và radial cấp hai, dưới vi phân Clarke cấp hai (ma trận Hessian suy rộng).Các kết quả trong chương 1 là của Gutiérrez–Jiménez–Novo [10].

1.1 Tập tiếp tuyến cấp hai

Cho f, g và h lần lượt là các hàm từ Rn vào Rp, Rm và Rr Xét bài toántối ưu đa mục tiêu sau:

D −Minf (x), (1.1)

x ∈ M := g−1(K) ∩ h−1(0),

trong đó D là nón lồi đóng và nhọn (D ∩ −D = {0}) với phần trong khácrỗng và K ⊂ Rm là tập lồi với phần trong khác rỗng Thứ tự bộ phận trong

Rp được xác định bởi quan hệ

y ≤D y0 ⇐⇒ y0− y ∈ D

Rõ ràng bài toán (1.1) bao gồm như một trường hợp đặc biệt bài toán quyhoạch thông thường với ràng buộc bất đẳng thức gj(x) ≤ 0, j = 1, , m,khi chọn K là góc phần tư (orthant) không dương Rm−

Cho M là tập con của Rn Ta kí hiệu B(¯x, δ) là hình cầu mở tâm x¯ bánkính δ > 0, int M là phần trong của tập M, cl M là bao đóng của tập M,

co M là bao lồi của tập M và cone M là nón sinh bởi tập M

Nhắc lại rằng điểm x ∈ M¯ được gọi là cực tiểu địa phương (cực tiểuyếu địa phương) của bài toán (1.1), kí hiệu là x ∈¯ LMin(f, M ) (tương ứng

M được xác định bởi các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức khả vi liêntục hai lần với điều kiện chính quy Mangasarian–Fromovitz, ta có

(iii) Nếu v 6∈ T (M, ¯x), thì T2(M, ¯x, v) = ∅;

(iv) Nếu N ⊂ Rk, y ∈ N¯ , và u ∈ Rk thì

IT2(M × N, (¯x, ¯y), (v, u)) = IT2(M, ¯x, v) × IT2(N, ¯y, u)

Hơn nữa, nếu M lồi, int M 6= ∅ và v ∈ T (M, ¯x) thì

(v) IT2(M, ¯x, v) ⊂ int A2(M, ¯x, v) ⊂ int cone[cone(M − ¯x) − v];

(vi) Nếu A2(M, ¯x, v) 6= ∅ thì

IT2(M, ¯x, v) = int A2(M, ¯x, v) và

cl IT2(M, ¯x, v) = A2(M, ¯x, v);

(vii) Nếu v ∈ cone(M − ¯x), thì

(a) IT2(M, ¯x, v) = int cone[cone(M − ¯x) − v] và

(b) A2(M, ¯x, v) = cl cone[cone(M − ¯x) − v]

Các tính chất trên được trình bày trong [2], [19]

1.2 Đạo hàm theo phương parabolic cấp hai

Nếu f là khả vi Fréchet tại x¯, khi đó đạo hàm Fréchet được kí hiệu bởi

f0(¯ Nếu f là khả vi Fréchet hai lần tại x¯, khi đó đạo hàm cấp hai Fréchetđược kí hiệu bởi f00(¯ là ánh xạ song tuyến tính liên tục từ Rn ×Rn vào

Rp

Định nghĩa 1.2.1 Ta nói f : Rn → Rp là ổn định tại x ∈¯ Rn nếu tồn tạilân cận U của x¯ và hằng số k > 0 sao cho

kf (x) − f (¯x)k ≤ kkx − ¯xk, ∀x ∈ U

Ta nói f là Lipschitz trên U nếu tồn tại số k > 0 sao cho

kf (x) − f (x0)k ≤ kkx − x0k, với mọi x, x0 ∈ U

Ta nói f là Lipschitz trong một lân cận của x¯ nếu f là Lipschitz trên U

với lân cận U nào đó của x¯

Rõ ràng f là Lipschitz trên U kéo theo f ổn định tại mỗi điểm x ∈ U¯ ,nhưng điều ngược lại không đúng

Ví dụ: f (x) = x sinx1 ổn định tại mỗi điểm thuộc lân cận U của x nhưngkhông Lipschitz trên U

Ta nói f là C1,1 trong một lân cận của x¯ nếu tồn tại lân cận U của x¯ saocho f là C1 trên U và đạo hàm f0 của nó là Lipschitz trên U

Ở đây chúng ta sẽ xét hàm f khả vi Fréchet trên lân cận của x¯ và đạohàm f0 của nó là ổn định tại x¯, tức là

kf0(x) − f0(¯x)k ≤ kkx − ¯xk

với mọi x gần x¯ và k > 0 nào đó Khi ta nói f0 là liên tục hoặc ổn định tại

¯

x, thì ta giả sử f0(x) tồn tại với mọi x gần x¯

Ta có các kết quả sau đây:

(a) f C1,1 trong một lân cận của x ⇒ f¯ 0 ổn định tại x ⇒ f¯ 0 liên tục tại x¯.(b) f0 liên tục tại x ⇒ f¯ Lipschitz trong một lân cận của x¯

(c) f khả vi Fréchet tạix ⇒ f¯ ổn định tại x¯ (Đặc biệt, nếuf khả vi Fréchethai lần tại x¯, khi đó f0 là ổn định tại x¯)

Ta cũng sẽ sử dụng các đạo hàm theo phương, là các ánh xạ đa trị Tanhắc lại giới hạn trên theo nghĩa Painlevé–Kuratowski của ánh xạ đa trị

Φ : R ⇒ Rp được định nghĩa bởi

Limsupu→¯uΦ(u) = {y ∈ Rp : ∃un → ¯u, ∃yn ∈ Φ(un) sao cho yn → y}

Định nghĩa 1.2.2 Cho f : Rn → Rp là hàm khả vi Fréchet tại x¯ và

Hơn nữa, ở Định nghĩa 1.2.2 ta thay giới hạn trên "Limsup" bởi giới hạn

"lim" ta nhận được đạo hàm theo phương parabolic cấp hai của f và đạohàm theo phương radial cấp hai của f Ta kí hiệu các đạo hàm theo phươngcấp hai đơn trị đó lần lượt là d2pf (¯x, v, w) và d2rf (¯x, v), và ta nói rằng f làkhả vi parabolic (viết gọn là d2p−khả vi) tại x¯ nếu d2pf (¯x, v, w) tồn tại vớimọi v, w ∈ Rn Tương tự, ta nói rằng f là d2r−khả vi tại x¯ nếu d2rf (¯x, v)

tồn tại với mọi v ∈ Rn

Các đạo hàm theo phương cấp hai đơn trị được sử dụng để chứng minh cácđiều kiện tối ưu (xem chẳng hạn [4], [5], [8], [14]) Tất nhiên, nếud2pf (¯x, v, w)

tồn tại khi đó D2pf (¯x, v, w) = {d2pf (¯x, v, w)}, tương tự nếud2rf (¯x, v) tồn tạikhi đó D2rf (¯x, v) = {d2rf (¯x, v)}

Đạo hàm Dr2f (¯x, v) được sử dụng để chứng minh các điều kiện tối ưu

cấp hai (xem chẳng hạn [7], [16]) Cũng chú ý rằng Dp2f (¯x, v) được gọi làđạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị x 7→ {f (x)} tại (¯x, f (¯x)) theo phương

Mệnh đề 1.2.3 Nếu f : Rn → Rp có đạo hàm Fréchet f0 ổn định tại x¯ thì

D2pf (¯x, v, w) là tập compact khác rỗng với mọi v, w ∈ Rn

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng D2pf (¯x, v, w) 6= ∅ Xét các dãytùy ý tn → 0+ và wn → w Định lý giá trị trung bình chỉ ra rằng với mọi

ta thấy rằng

kyn− f0(¯x)wnk ≤ 2kkv + 1

2tnwnk2 (1.4)

Vì vậy,(yn)là bị chặn Do đó tồn tại một dãy con hội tụ tớiy ∈ D2pf (¯x, v, w)

Tiếp theo, ta chứng minh Dp2f (¯x, v, w) là bị chặn và do đó D2pf (¯x, v, w)

là tập compact vì nó là tập đóng Lấy y ∈ Dp2f (¯x, v, w) khi đó yn → y, với

yn được cho bởi (1.3) với mỗi dãy (tn, wn) → (0+, w) Lập luận tương tự tanhận được (1.4) Do đó

Chứng minh (i) Chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 2.4 (ii) [14]

(ii) Phần đầu là Mệnh đề 3.1 trong [17], chú ý rằng

→ y

Với f0 liên tục tại x¯, ta có

limn→∞supx∈[an,bn]kf0(x) − f0(¯x)k = 0

Chia cả hai vế cho 12t2n ta nhận được

(b) d2pf (¯x, v, w) tồn tại với mọi w ∈ Rn;

(c) d2pf (¯x, v, w0) tồn tại với mỗi w0 ∈ Rn

Do đó, f là d2r−khả vi tại x¯ nếu và chỉ nếu f là d2p−khả vi tại x.¯

Chứng minh (a) ⇒ (b) theo Mệnh đề 1.2.4 (ii), và (b) ⇒ (c) là hiển nhiên

Ta chứng minh (c) ⇒ (a) Ta chỉ cần chứng minh với mọi dãy tn → 0+,

→ d2pf (¯x, v, w0)

Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2.4 (ii) (với wn = w0 với mọi n và

y = d2pf (¯x, v, w0)) ta có yn → y − f0(¯x)w0

Cho f :Rn →Rp và g : Rn →Rm, hàm (f, g) : Rn → Rp×Rm xác địnhbởi

(f, g)(x) = (f (x), g(x))

Rõ ràng là với mỗi v ∈ Rn,

D2r(f, g)(¯x, v) ⊂ D2rf (¯x, v) × D2rg(¯x, v),

và nếu f (hoặc g) là d2r−khả vi tại x¯ thì ta có dấu bằng

Bây giờ ta so sánh đạo hàm parabolic đơn trị với dưới vi phân cấp haiClarke (Mệnh đề 1.2.6) Lấy f : Rn → Rp là C1,1 trong một lân cận của x¯.Khi đó Jacobian suy rộng Clarke của f0 tại x¯ được gọi là dưới vi phân cấphai Clarke của f0 tại x¯, là tập hợp

∂2f (¯x) =cl co{limf00(xn) : xn → x, f00(xn) tồn tại}

(xem [9]) Khi p = 1, tập ∂2f (¯x) được gọi là ma trận Hessian suy rộng Taxét phần tử của ∂2f (¯x) là hàm song tuyến tính từ Rn×Rn

vào Rp

Mệnh đề 1.2.6 Nếu f : Rn → Rp là C1,1 trong lân cận của x¯, khi đó

Dp2f (¯x, v, w) ⊂ f0(¯x)w + ∂2f (¯x)(v, v), ∀u, v ∈ Rn

Đặc biệt, ∅ 6= D2

rf (¯x, v) ⊂ ∂2f (¯x)(v, v), với mọi v ∈ Rn.Chứng minh Chọn y ∈ D2pf (¯x, v, w), khi đó

yn := f (xn) − f (¯x) − tnf

0(¯x)v

1

2t2 n

ra yn → f0(¯x)w + A(v, v), và do yn → y ta suy ra y = f0(¯x)w + A(v, v)

Phần hai là hệ quả của Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4 (ii)

Dễ thấy bao hàm thức trong Mệnh đề 1.2.6 nói chung là chặt chẽ Chẳnghạn, cho f : R →R xác định bởi f (x) = sign(x)x2, ¯x = 0 và v = w = 1, tacó

∂2f (¯x)(v, v) = [−2, 2]

và

D2rf (¯x, v) = Dp2f (¯x, v, w) = {2}

Chương 2

Điều kiện cần tối ưu

Chương 2 trình bày các điều kiện cần tối ưu cấp hai của Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] cho cực tiểu địa phương yếu của bài toán tối ưu đa mụctiêu (1.1) với các hàm khả vi Fréchet và đạo hàm Fréchet liên tục hoặc ổnđịnh, dạng hệ không tương thích và dạng nhân tử Lagrange cùng với cácđiều kiện cần tối ưu cấp hai cho bài toán (1.1) với các hàm khả vi hai lần,bài toán (1.1) với các hàm C1,1, và một số ví dụ minh họa

2.1 Điều kiện cần cấp hai dạng hệ không tương thích

Trong phần này chúng ta xét bài toán (1.1) Giả sử f, g là các hàm khả

vi Fréchet trong một lân cận của x ∈ M¯ , đặt H = h−1(0), G = g−1(K) và

G0 = g−1(int K) Như vậy, M = G ∩ H Ta kí hiệu:

Nón pháp tuyến của K tại z0 là

N (K, z0) = −T (K, z0)+

Nón tuyến tính hóa của M tại x ∈ M¯ là

C(M, ¯x) = {v ∈ Rn : g0(¯x)v ∈ cl cone(K − g(¯x)), h0(¯x)v = 0}

Nón các phương giảm tại x¯ là

Chứng minh Giả sử kết luận trên là sai Khi đó tồn tại v ∈ C(¯x), (y0, z0) ∈

D2r(f, g)(¯x, v) và w ∈ Rn thỏa mãn hệ phương trình (2.2) Phương trìnhthứ ba cho ta w ∈ ker2(h, ¯x, v) Theo Mệnh đề 1.2.4 (ii),

(y, z) := (f0(¯x)w, g0(¯x)w) + (y0, z0) ∈ Dp2(f, g)(¯x, v, w)

Do đó các phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ (2.2) kéo theo

(y, z) ∈ {[(-int cone(D + f0(¯x), v)) × IT2(K, g(¯x), g0(¯x)v)]

Hơn nữa, D2p( ˜f , g)(¯x, v, w) = D2p(f, g)(¯x, v, w) Để áp dụng Bổ đề 2.1.1 cho

( ˜f , g) thay cho g và (−D) × K thay cho K, ta để ý rằng nón tuyến tínhhoá liên kết với các ràng buộc

với giả thiết v ∈ C(¯x).

và điều này là mâu thuẫn vì x ∈¯ LWMin(f, M ) nghĩa là F0 ∩ M ∩ U = ∅

với lân cận U nào đó của x¯ Vì vậy,

T (F0 ∩ G0 ∩ H, ¯x) = ∅,

bởi vì

T (F0 ∩ G0 ∩ H, ¯x) ⊂ T (F0 ∩ G ∩ H, ¯x) = T (F0 ∩ M ∩ U, ¯x) = ∅

2.2 Điều kiện cần cấp hai dạng nhân tử Lagrange

Định nghĩa 2.2.1 [1] Tập A ⊂Rn được gọi là tập affine, nếu

(1 − λ)x + λy ∈ A (∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R)

Định nghĩa 2.2.2 [1] Tương giao của tất cả các tập affine chứa tập

A ⊂ Rn được gọi là bao affine của A, và kí hiệu là affA

Chú ý rằng affA là tập affine nhỏ nhất chứa A

Định nghĩa 2.2.3 [1] Phần trong tương đối của tập A ⊂ Rn là phầntrong của A trong affA, và kí hiệu là ri A Chú ý rằng

ri A = {x ∈ affA : ∃ε > 0, (x + εB) ∩affA ⊂ A},

trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn

Định nghĩa 2.2.4 Tập lồi B được gọi là mở tương đối nếu ri B = B

Bổ đề 2.2.5 Cho ϕ, Ψ, φlần lượt là các hàm tuyến tính từ Rn vào Rp, Rm,

Rr, (y0, z0, u0) ∈Rp×Rm ×Rr, C là nón lồi của Rp với int C 6= ∅ và B làtập lồi mở tương đối của Rm Nếu hệ

Chú ý rằng σ(µ) = supb∈cl Bhµ, bi là hàm tựa của tập cl B.

Kí hiệu Λ(¯x) là tập hợp tất cả các nhân tử (λ, µ, ν) ∈ Rp×Rm×Rr, với

Định lý 2.2.6 Xét bài toán (1.1) Giả sử f0 và g0 là các hàm liên tục tại

Chứng minh Giả sử v ∈ C(¯x), A2(K, g(¯x), g0(¯x)v) 6= ∅, và giả sử (y0, z0) ∈

D2r(f, g)(¯x, v) Khi đó theo Mệnh đề 1.1.2 (vi)

cl IT2(K, g(¯x), g0(¯x)v) = A2(K, g(¯x), g0(¯x)v),

và vì vậy, IT2(K, g(¯x), g0(¯x)v) 6= ∅

Nếu h01(¯x), , h0r(¯ phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại ν ∈ Rn, ν 6= 0,sao cho ν ◦ h0(¯x) = 0 Chọn λ = 0 và µ = 0 các điều kiện thỏa mãn nếu

hν, h00(¯x)(v, v)i ≥ 0, nếu hν, h00(¯x)(v, v)i ≤ 0, ta thay ν bởi −ν

Nếu h01(¯x), , h0r(¯ độc lập tuyến tính, theo Định lý 2.1.2, hệ (2.2) làkhông tương thích theo w ∈ Rn Áp dụng Bổ đề 2.2.5 với

Ta chứng minh các tính chất của µ Theo Mệnh đề 3.1 [6] ta có

A2(K, g(¯x), g0(¯x)v) + K1 ⊂ A2(K, g(¯x), g0(¯x)v),

với K1 = T (T (K, g(¯x), g0(¯x)v) Do bao hàm này và (2.11), ta suy ra

hλ, y0i + hµ, z0i + hν, h00(¯x)(v, v)i ≥ hµ, b + ci, ∀b ∈ cl B, ∀c ∈ K1 (2.12)

Từ đây suy ra µ ∈ −K1+ Thật vậy, nếu hµ, ci > 0 với c ∈ K1 nào đó thì

limt→+∞hµ, tci = +∞,với tc ∈ K1

Điều này mâu thuẫn với (2.12) Vì vậy,

Sau đây là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.6 và Mệnh đề 1.2.4 (i).

2.3 Các hệ quả và các ví dụ

Hệ quả 2.3.1 Xét bài toán (1.1) Giả sử f và g là d2r−khả vi tại x ∈ M¯ ,

f0, g0 là các hàm liên tục tại x¯, và h là hàm khả vi Fréchet hai lần tại x¯ Nếu x ∈¯ LWMin(f, M ) thì với ∀v ∈ C(¯x) mà A2(K, g(¯x), g0(¯x)v) 6= ∅, tồntại (λ, µ, ν) ∈ Λ(¯x) sao cho

hλ, d2rf (¯x, v)i + hµ, d2rg(¯x, v)i + hν, h00(¯x)(v, v)i ≥ sup

b∈A 2 (K,g(¯ x),g 0 (¯ x)v)

hµ, bi

(2.13)Đặc biệt, khi f và g là các hàm khả vi Fréchet hai lần tại x¯, thì (2.13) trởthành :

hλ, f00(¯x)(v, v)i + hµ, g00(¯x)(v, v)i + hν, h00(¯x)(v, v)i ≥ sup

b∈A 2 (K,g(¯ x),g 0 (¯ x)v)

hµ, bi

Nhận xét 2.3.2 (1) Sử dụng (2.8), Mệnh đề 1.2.4, Hệ quả 1.2.5, ta cóthể thay thế d2rf (¯x, v), d2rg(¯x, v) và h00(¯x)(v, v) trong (2.13) lần lượt bởi

d2pf (¯x, v, w), d2pg(¯x, v, w) và d2ph(¯x, v, w), và thêm vào "với mọi w ∈

Rn"

(2) Nói riêng, nếu ta chọn D = Rp+ và K = Rm− trong Hệ quả 2.3.1, thì điềukiện A2(K, g(¯x), g0(¯x)v) 6= ∅ thỏa mãn với mọi v ∈ C(¯x), và (2.13) trởthành

pX

i=1

λid2rfi(¯x, v) +

mXj=1

µjd2rgj(¯x, v) +

rXk=1

νkh00(¯x)(v, v) ≥ 0

Hai hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.6 là Hệ quả 2.3.3 cho trường hợpkhông ràng buộc và Hệ quả 2.3.4 cho trường hợp C1,1 (do Mệnh đề 1.2.6)