Cho hình bình hành ABCD... Suy ra t giác CNIQ là hình bình hành.
Trang 1S GIÁO D C VÀ ÀO T O
V NH PHÚC
K THI CH N H C SINH GI I C P T NH
L P 12 THPT N M H C 2012-2013
THI CHÍNH TH C
Môn: TOÁN – THPT chuyên.
Th i gian: 180 phút, không k th i gian giao
Ngày thi: 02/11/2012
Câu 1 (2,5 i m) Gi i h ph ng trình
2
2
2
8
8
8
y
z
x Câu 2 (1,5 i m) Cho a b c d là các s th c d ng Ch ng minh r ng , , ,
3
6 81
Câu 3 (2,0 i m) Gi s n là m t s nguyên d ng sao cho 3n 2n chia h t cho 7 Tìm s
d c a 2n 11n 2012n2 khi chia cho 7
Câu 4 (3,0 i m) Cho hình bình hành ABCD G i P là i m sao cho trung tr c c a o n
th ng CP chia ôi o n AD và trung tr c c a o n AP chia ôi o n CD G i Q là trung
i m c a o n th ng BP
a) Ch ng minh r ng ng th ng BP vuông góc v i ng th ng AC
b) Ch ng minh r ng BP 4 OE , trong ó E là trung i m c a AC và O là tâm
ng tròn ngo i ti p tam giác AQC
Câu 5 (1,0 i m) Cho m, n m n 4 là các s nguyên d ng và A là m t t p h p con có úng n ph n t c a t p h p S 1, 2,3, , m Ch ng minh r ng n u
m n C C C thì ta luôn ch n c n ph n t ôi m t phân bi t
1, , ,2 n
x x x S sao cho các t p h p Ai x y x x A y Ai , , i 1, n th a mãn
j k
A A v i m i j k và , j k 1, n
-H t -
- Thí sinh không c s d ng máy tính c m tay
- Giám th không gi i thích gì thêm
H và tên thí sinh: ……….S báo danh………
Trang 2S GIÁO D C VÀ ÀO T O
V NH PHÚC
K THI CH N H C SINH GI I C P T NH
L P 12 THPT N M H C 2012-2013 Môn: TOÁN – THPT chuyên
H NG D N CH M (G m 04 trang)
L u ý khi ch m bài:
- áp án ch trình bày m t cách gi i bao g m các ý b t bu c ph i có trong bài làm
c a h c sinh Khi ch m n u h c sinh b qua b c nào thì không cho i m b c ó -N u h c sinh gi i cách khác, giám kh o c n c các ý trong áp án cho i m
-Trong bài làm, n u m t b c nào ó b sai thì các ph n sau có s d ng k t qu sai
-Trong l i gi i câu 4 n u h c sinh không v hình ho c v sai hình không cho i m
- i m toàn bài tính n 0,25 và không làm tròn
Câu 1 (2,5 i m)
N i dung
i u ki n: , , 1
5
x y z Xét các hàm s 2 8
t Khi ó ta có
2
5
2 5 1
Mà f t g t là các hàm s liên t c trên , 1;
5 suy ra f t ng bi n trên
1; 5
và g t ngh ch bi n trên 1;
5 Không m t tính t ng quát ta gi s x min , ,x y z Khi ó ta có:
N u x y g x g y f z f x z x g z g x f y f z suy
ra y z g y g z f x f y x y , vô lí vì x y
Do v y x y, t ng t lí lu n nh trên ta c x z suy ra x y z Thay tr l i h ta
x
5
x D th y hàm s ng bi n trên
Trang 3N i dung
1;
5 và h 1 0 x 1 là nghi m duy nh t c a ph ng trình (1) V y nghi m c a
h ph ng trình ã cho là x y z 1
Câu 2 (1,5 i m)
t
3
81
P
a b c a b a b c d a b a b c d Khi ó áp
d ng b t ng th c AM-GM ta có:
a b a b c a b a b c
3 3
2 3
2 3
a b c
a b a b c d a b a b c a b c d
a b c
a b a b c a b c d
3 3
4
81
2 3
a b a b c d
a b a b c d
a b a b c d
C ng t ng v các b t ng th c trên ta c:
a b a b c a b c d P
a b a b c a b c d
D u ng th c x y ra khi và ch khi a b c d
Câu 3 (2,0 i m)
t n 3q r q r; , ,0 r 2 Khi ó 3n 2n 27 3q r 8 2q r 1 3q r 2 mod 7r
Do ó 3n 2n 0 mod 7 1 3q r 2r 0 mod 7 q 2k 1,r 0
Suy ra n có d ng n 6k 3, chú ý n u a,7 1 a6 1 mod 7 Do ó ta có:
+) 2n 26 k 3 2k 6.8 1 mod 7 (1)
+) 11n 116 k 3 11k 6.113 43 1 mod 7 (2)
+) 2012n2 20126 k 32 20126 k2 6 k 6.20129 39 273 6 mod 7 (3)
Trang 4N i dung i m
2n 11n 2012n 1 1 6 1 mod 7 V y s d c n tìm là 1
Câu 4 (3,0 i m)
E O
Q
J
I M
N
P
B A
a) (2,0 i m)
G i M, N, I, J theo th t là trung i m c a các o n th ng AD, CD, AP, CP Khi ó
,
NI AP MJ CP
Do I là trung i m c a AP, Q là trung i m c a BP nên IQ AB và
2
AB
IQ t ó suy ra
IQ CN và IQ CN Suy ra t giác CNIQ là hình bình hành
Suy ra CQ NI T ó, do NI AP nên CQ AP (1)
Ch ng minh t ng t , c ng c AQ CP (2)
T (1) và (2) suy ra P là tr c tâm c a tam giác ACQ suy ra PQ AC hay BP AC
Do P là tr c tâm c a tam giác AQC nên OA OC OQ OP
1
2 2
OA OC OP OB OP OA OC OB OP
4OE OP OB 4OE BP BP 4.OE
V y BP 4.OE
Câu 5 (1,0 i m)
Xét t p h p B x y z t x y z t A Ta s ch ra b t ng th c sau: , , ,
B 1 Cn2 Cn3 C (1) n4
Trang 5N i dung i m
Th t v y, ta xét các tr ng h p sau:
+) N u 4 s x y z t, , , u b ng nhau thì s các s d ng x y z t b ng 1
+) N u trong 4 s x y z t có úng 3 s b ng nhau, gi s, , , x y z t Khi ó
x y z t x t suy ra có t i a 2
n
C s x y z t +) N u 4 s x y z t có úng 2 s b ng nhau Khi ó n u x, , , y thì có t i a 3
n
C s d ng này, còn n u x z thì x y z t y t thì có t i a 2
n
C s d ng này và ã xét trên
+) N u 4 s x y z t ôi m t khác nhau thì có t i a, , , 4
n
C s x y z t
Do ó có nhi u nh t 1 Cn2 Cn3 Cn4 s d ng x y z t T ó suy ra b t ng th c
(1)
G i x1 1 S t C1 S\ x x x B suy ra 1
D th y A1 A2 Ti p theo t C2 C1\ x x x B suy ra 2
Ki m tra c ngay A2 A3 , A1 A3 C ti p t c nh v y n b c th n , ta t
C C x x x B thì
Khi ó ta ki m tra c Ai Aj v i m i i j V y luôn t n t i các ph n t
1, , ,2 n
x x x S th a mãn yêu c u bài toán
-H t -