L 12 2012-2013
MÔN THI:
: 18 - 10 - 2012 : 180
Bài 1 ( m)
xy x y
Bài 2 ( m)
Cho dãy s ( )un nh b i
1
* 1
1 2
3 4,
n n
n
u
u
u
Ch ng minh dãy s ( )un có gi i h n h u h n và tìm gi i h
Bài 3 ( m)
x y z Ch ng minh:
Bài 4 ( m)
Cho tam giác nh nABCv ng cao AH BK, n i ti ng tròn (O) G i
M là m ng trên cung nh BC c a ng tròn (O) ng
th ng AM và BK c t nhau t i E ng th ng BM và AH c t nhau t i F
Ch ng minh r ng khi M ng trên cung nh BC c a m
c n EF luôn n m trên m ng th ng c nh
Bài 5 ( m)
Tìm t t c các c P x( ) h s th c th a mãn : P x P x( ) ( 3) P x( ), 2 x
H T
Trang 2VÒNG 1 Bài 1 (4 m)
xy x y
Gi i
yz z
2
yz z
2 2
yz z
Bài 2 ( m)
Cho dãy s ( )un nh b i
1
* 1
1 2
3 4,
n n
n
u
u
u
Ch ng minh dãy s ( )un có gi i h n h u h n và tìm gi i h
Gi i
T gi thi t ta suy ra un 0, n N*
Xét ( ) 3 4 3 5
x
f x
5
x
Ta có 1
1
1 2
u
3 ( )
2
x
x 3
2 un n dãy ( )u b ch nn
t 2 1
2
x u
y u
Do f(x) ngh ch bi n trên (0; ) nên g(x) = f(f(x)) ng bi n trên (0; )
2 1 2
f x f u u y ; f y( )n f u( 2n) u2 1n xn 1
1
Gi s r ng xk xk 1 g x( )k g x( k 1) xk 1 xk 2 V y *
1,
n n
Suy ra ( )xn ch n trên ( )xn có gi i h n h u h n a
Do xn xn 1 f x( )n f x( n 1) yn yn1 dãy ( )yn gi m và b ch i
Trang 3( )yn có gi i h n h u h n b.
Ta có
1
( )
n n
f y x
V y t (I)
3
;4
3 4
2 1
b a
a b a
a a
V y limun 2
Bài 3 ( m)
x y z Ch ng minh:
Ta c n ch ng minh: 1 1 1 1
2
1
C ng ba b ng th c (**)
Bài 4 ( m) Cho tam giác nh nABCv ng
cao AH BK, n i ti ng tròn (O) G i M là m t
ng trên cung nh BC c a ng tròn (O) sao
ng th ng AM và BK c t nhau t i E ; các
ng th ng BMvà AHc t nhau t i F Ch ng minh
r ng khi M ng trên cung nh BC c a ng tròn (O)
m c n EF luôn n m trên m ng
th ng c nh
Gi i
E
F H
K
O
B
C A
M
Trang 4Ta ch ng minh hai tam giác EHK và FHK có di n tích b ng nhau.
Ta có MAC MBC
EHK
FHK
EHK FHK
S S suy ra E, F u HK mà E,F n m v hai phía c a HK
m c a EF n ng th ng HK
Bài 5 ( m)
Tìm t t c các c P x( ) h s th c th a mãn : P x P x( ) ( 3) P x( ), 2 x
Gi i :
c P(x) h s th c th a P(x)P(x 3)=P(x2) x R (1)
ng h p P(x) C ( C là h ng s th c ) : P(x) C th a (1) C2= C C = 0 C = 1 P(x) 0 hay P(x) 1
ng h p degP 1
G i là m t nghi m ph c tùy ý c a P(x) T (1) thay x b ng ta có P( 2)=0 x= 2
là nghi m c a P(x) T , 2, 4, 8, 16 m c a P(x) Mà P(x) ch có
h u h n nghi m P(x) c không)
0
1 (I)
T (1) l i thay x b ng +3 ta có P(( +3)2)=0 x=( +3)2là nghi m c a P(x)
T x = ( +3)2là nghi m c a P(x) ph n trên ta có ( +3)2, ( +3)4, ( +3)8,
( +3)16 m c a P(x) Mà P(x) ch có h u h n nghi m
2 2
3 0
3 1 (II)
y , n u là nghi m c a P(x) thì ta có th a h (I)
(II)
1 3
y
x
O I
Bi u di n các s ph c th a (I) và th a (II) trên m t ph ng ph c ta có h (I)
(II) không có nghi m
Không t n t c h s th c P(x) b c l ho c b ng 1 th a (1)
K t lu n Cá c P(x) h s th c th a P(x)P(x 3)=P(x2) x g m P(x) 0 , P(x) 1