Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình hessian trong các lớp cegrell

Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.. Sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

PHÙNG THỊ KIM OANH

CÁC LỚP CEGRELL CỦA HÀM

HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Phùng Thị Kim Oanh

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, bộ phận sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2016

Tác giả

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1: HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƯỚI 3

1.1 Hàm điều hòa dưới 3

1.2 Hàm đối xứng sơ cấp 4

1.3 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử Hessian 5

1.4 m - dung lượng tương đối 8

1.5 Hàm m - cực trị tương đối 10

Chương 2: CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL 13

2.1 Các định nghĩa và tính chất 13

2.2 Toán tử Hessian phức 21

2.3 Tích phân từng phần 25

2.4 Nguyên lý so sánh 26

Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL 32

3.1 Các hàm năng lượng 32

3.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp Cegrell 37

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

Phương trình m - Hessian phức được nghiên cứu lần đầu tiên bởi

S.Y Li năm 2004 Ông đã sử dụng phương pháp liên tục để giải bài toán Dirichlet không suy biến cho phương trình (1.1) trong các miền

m - giả lồi mạnh Một trong những vấn đề suy biến tương tự được

nghiên cứu bởi Blocki năm 2005 Ông đã giải phương trình thuần nhất với điều kiện biên liên tục và trình bày những bước đầu tiên của lý thuyết thế vị đối với phương trình này Gần đây, Abdullaev và

Sadullaev đã quan tâm đến các tập m - cực và m - dung lượng của các hàm m - điều hòa dưới Khi m trù mật trong L p( )(w p> n / m), Dinew

và Kolodziej đã chứng minh rằng với điều kiện biên liên tục đã cho, bài toán Dirichlet của phương trình (1.1) có một nghiệm liên tục duy

nhất Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “ Các lớp Cegrell

của hàm m - điều hoà dưới và Phương trình Hessian trong các lớp Cegrell“

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu các lớp năng lượng hữu hạn của

hàm m - điều hòa dưới là tổng quát hóa các lớp Cegrell đối với hàm đa điều

hòa dưới Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình Hessian phức suy biến (dd j c )m Ùb n m- = m, trong đó µ là độ đo Radon dương suy biến

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ Nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm m - điều

hoà dưới và toán tử Hessian, m - dung lượng tương đối và hàm m - cực trị tương đối

+ Nghiên cứu và trình bày các kết quả gần đây của L.H Chinh về một số

tính chất của các lớp năng lượng U.Cegrell của hàm m - điều hoà dưới và sự

tồn tại nghiệm của phương trình Hessian trong các lớp kiểu Cegrell

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 49 trang, trong đó có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất

của hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hoà dưới và toán tử Hessian, m - dung lượng tương đối và hàm m - cực trị tương đối

Chương 2: Trình bày một số kết quả về các lớp Cegrell của hàm m -

điều hoà dưới

Chương 3: Trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm của

phương trình Hessian trong các lớp Cegrell

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1

1.1 Hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử W là tập mở trong Ā Hàm u :W® - ¥ + ¥é , )

êë gọi

là điều hòa dưới trên W nếu nó nửa liên tục trên trên W và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Î W tồn tại d > 0 sao cho với mọi 0Ā r Ā d ta có

2 0

Kí hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên W là SH W( )

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử W là tập mở trong Ā , u v, Î SH( )W Khi đó:

( )i ax( , ) m u v là hàm điều hòa dưới trên W

( )ii Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón lồi, nghĩa là nếu

u v Î SH W và a b > , 0 thì a u + b v cũng thuộc SH W( )

Định lý 1.1.3 Giả sử W là miền bị chặn trong Ā , u Î SH ( ) W Khi đó:

( )i Nếu uđạt cực đại toàn thể tại một điểm trên W thì ulà hằng số trên W

( )ii Nếu lim sup ( ) 0

Định lý 1.1.4 Giả sử W là tập mở trong Ā và u là hàm nửa liên tục trên trên

W Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

( )i ulà hàm điều hòa dưới trên W

( )ii Với mọi w Î W , tồn tại d > 0 sao cho D( ,w d> 0)Ì W và với mọi

(iii) Với mọi miền D compact tương đối trong W và h là hàm điều hòa trên trên

D, liên tục trên D thỏa mãn

Hệ quả 1.1.6 Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền WÌ Ā sao cho u

không đồng nhất - ¥ trên W Khi đó tập

E = z Î W u z = - ¥

có độ đo Lebesgue bằng 0

nhận giá trị bằng - ¥ trên đó gọi là các tập cực Sau này trong trường hợp

Ký hiệu H là không gian vectơ trên ¡ gồm các ma trận Hermitian

phức cấp n n´ Với A Î H , ký hiệu l ( ) A = ( , ., ) l1 l n là các giá

S% là một đa thức thuần nhất bậc k trên H

mà nó là hyperbolic đối với ma trận đồng nhất I Như trong [3],

1.3 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử Hessian

Ký hiệu b là dạng Kahler chuẩn trong C n và W là một miền

m - siêu lồi bị chặn trong Ān , tức là tồn tại một hàm m - điều hòa dưới liên

tục f :W® ¡ - sao cho {f < c}Ð W, với mỗi c < 0

Ta kết hợp (1, 1) - dạng thực a trong C n với các ma trận Hermitian [ a jk ]

p

= å Ù Khi đó dạng K¨ahler chính tắc b được kết hợp với ma trận đồng nhất I Ta có ( )n k a k Ùb n k- = S A±k( )b n

Định nghĩa 1.3.1 C ho a là (1,1) - dạng thực trên W Ta nói rằng a là m -

dương tại một điểm cho trước P Î W nếu tại điểm này ta có:

Định nghĩa 1.3.2 Hàm u W®: ¡ È - ¥{ } được gọi là m - điều hòa

dưới nếu nó là hàm điều hòa dưới và ddc u Ùa1 Ùa m-1Ùb n m- ³ 0,

với mỗi (1,1) - dạng m - dương a1, ,a m-1

Lớp tất cả hàm m - điều hòa dưới trên W được ký hiệu là SH m( )W

Mệnh đề 1.3.3 [3] ) i Nếu u là C2trơn thì u là m - điều hòa dưới khi

là m - điều hòa dưới trong W

Đối với các hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa phương u1, ,¼ u p (p Ā m)

ta có thể định nghĩa bằng quy nạp m -dòng dương đóng (theo Bedford and

đối với mỗi hoán vị : 1, ,s { ¼ k} {® 1, ,¼ k}

Nói riêng, độ đo Hessian của j Î SH m( )W ÇL loc¥ được xác định bởi

H m( )u = (dd c u1)m b n m-

Mệnh đề 1.3.5 Cho T là m - dòng dương đóng song bậc ( n - 1,n - 1) trên

W u v, là các hàm m - điều hòa dưới bị chặn trong W sao cho u v Ā, 0 và

Hơn nữa nếu giả sử lim ( ) 0,

Chứng minh Dễ chứng minh dựa theo trường hợp cổ điển (xem [12]) W

Mệnh đề 1.3.6 (Bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg) Cho K ÐD ÐW với

K compact, D mở Khi đó tồn tại A > 0 sao cho

Định lý 1.3.7 Cho (u0j),¼,(u k j) là dãy giảm các hàm m - điều hòa dưới trong

W hội tụ đến u0,¼,u k Î SH m( )WÇL loc¥ tương ứng T là m - dòng dương đóng song bậc ( n - p n, - p p)( ³ k) trên W Khi đó

u dd u0j c 1j Ù¼ Ùdd u c k j ÙT ® u dd u0 c 1Ù¼ Ùdd u c k ÙT

yếu theo nghĩa dòng

1.4 m - dung lượng tương đối

Định nghĩa 1.4.1 Cho E Ì W là tập Borel m - dung lượng của E đối với W

được định nghĩa như sau

m - dung lượng có các tính chất cơ bản như Cap BT

Mệnh đề 1.4.2 i Cap E) m( 1,W Ā) Cap E m( 2, ) W nếu E1 Ì E2

Mệnh đề 1.4.3 Cho K ÐU ÐW Khi đó tồn tại hằng số C phụ thuộc vào các tập đó sao cho uÎ SH m(W), u < 0 tuỳ ý , ta có

Mệnh đề 1.4.5 Dãy u j Î S H m( )W ÇL loc¥ với u j ¯ u trong W hội tụ tới

( )

uÎ SH W ÇL¥ đối với m - dung lượng

Định lý 1.4.6 Đối với hàm m - điều hòa dưới u xác định trong W và một số

-Hệ quả 1.4.8 Cho u j là một dãy đơn điệu bị chặn địa phương của hàm

m - điều hòa dưới trong W hội tụ hầu khắp nơi tới uÎ SH m( )W ÇL¥loc và f là i

dãy đơn điệu bị chặn địa phương của m - hàm nửa liên tục hội tụ hầu khắp nơi tới hàm f nửa liên tục bị chặn địa phương Khi đó

Dễ thấy rằng u m E*, ,W là hàm m -điều hòa dưới trong W Để không bị nhầm lẫn

ta dùng kí hiệu u và E u E* thay cho u m E, , W và u m E*, ,W theo thứ tự

Từ nguyên lý so sánh suy ra rằng mỗi hàm m - điều hòa dưới bị chặn địa

phương u thỏa mãn H m(u =) 0 trong W là m - cực đại Ngược lại, mọi hàm

m - cực đại u trong W đều thỏa mãn H m(u =) 0

Mệnh đề 1.5.7 [3] Cho W là tập con mở của Cn và u là hàm m - cực đại trong W Khi đó H m(u =) 0

Mệnh đề 1.5.8 Nếu K Ì W là tập compact, thì u , ,m K* W là m - cực đại trong

Hệ quả 1.5.10 Nếu U là tập con compact tương đối mở của W, thì

E Ì C gọi là m - bỏ được khi và chỉ khi nó là m - cực

Mệnh đề 1.5.14 Nếu WÌ C là tập mở và n u Î SH m( )W ÇL¥loc thì với tập con

Chương 2 CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL

Trong chương này chúng ta nghiên cứu về các lớp năng lượng hữu hạn của các m - hàm điều hòa dưới trong các miền m - siêu lồi Chúng là tổng quát hoá của các lớp Cegrell (xem [4],[5])

2.1 Các định nghĩa và tính chất

Trong lý thuyết đa thế vị đây là một trong những bước quan trọng để chính qui hóa các hàm điều hòa dưới suy biến Điều này dễ thực hiện nột cách địa phương bởi tích chập với hạch trơn Định lý sau sẽ giải thích cho việc thực hiện nó một cách toàn cục như thế nào trong miền m -siêu lồi Ký hiệu

( )

m

SH- W là lớp con của SH m( )W gồm các hàm không dương

Định lý 2.1.1 Với mỗi j Î SH m-( )W tồn tại dãy j các hàm j m -điều hòa dưới thỏa mãn các điều kiện sau:

Gọi y là dãy chính quy hóa của j bởi tích chập với các hạch trơn Dãy này j

được xác định trên Wj = :{zÎ W dist z( ,¶ W >) 1 / j }

Dễ kiểm tra rằng với mỗi p , v p Î SH m(W)ÇC( )W và v º p 0 trên ¶ W Khi

đó j là nửa liên tục dưới với mỗi j j Hơn nữa bằng cách đặt

j ¯ khi j k ® + ¥ Vì mỗi j k j là hàm liên tục nên j là nửa liên j

tục trên do đó j j liên tục Suy ra j j ¯ trên W W j

ii Nếu u EÎ m( )W, j jÎ S H m-( )WÇL¥loc,u j ¯u, thì H m(u hội tụ yếu j)

Chứng minh Dễ kiểm tra Em( )W thỏa mãn điều kiện ) i

Giả sử uÎ Em(W), u jÎ SH m- (W)ÇL¥loc, u j ¯u. Cố định hàm kiểm tra c

với giá compact K ÐW và h Î Em0(W) Với mỗi j ta lấy n sao cho j

Îu Em W Lấy dãy u j Î Em0( )W ÇC( )W sao cho u j ¯ trên W Điều này có u

thể thực hiện được nhờ áp dụng định lý chính quy hóa toàn cục Xét tập compact tương đối B Ð W và với mỗi j đặt

h j = sup {v Î SH m- ( )W/ v Ā u trên B j }

Khi đó, 0

)(W

Chú ý 2.1.6 Theo Định lý 2.1.5 mỗi Îu Em( )W là địa phương trong Fm( )W

tức là với mỗi K Ð W tồn tại u%Î Fm( )W sao cho u%= u trên K

Định nghĩa 2.1.7 -p năng lượng ( p > 0) của j Î Em0( )W được xác định bởi

e u , j = 0, m nếu p ³ 1 Để có các đánh giá tương tự khi p Î (0, 1) có thể

tham khảo trong [8]

Bổ đề 2.1.9 Cho ,u v Î Em0( )W và 0< p < 1. Nếu T là m - dòng dương đóng

Mệnh đề 2.1.10 Giả sử 0< p< 1 Khi đó tồn tại C > p 0 sao cho

từ đó suy ra kết quả cần chứng minh W

Từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10 suy ra kết quả sau đây

Hệ quả 2.1.11 Cho dãy 0

ò đối với t > 0 hầu khắp nơi

Thật vậy, hàm f t( )= m(u < tv),t > 0 là giảm và liên tục phải, vì

I mlà không quá đếm được Vậy

ò đối với t > 0 hầu khắp nơi

Bây giờ cố định t > 0 và áp dụng nguyên lý so sánh một lần nữa ta có

Bây giờ, giả sử uÎ Em0( )W và vÎ SH m- (W) Đặt w = max( , )u v ta sẽ

chứng minh rằng H m( )w có khối lượng hữu hạn Cố định hÎ Em0( )W sao cho

Tích phân sau cùng suy ra từ Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.10

Bây giờ giả sử uÎ SH m- ( ),W v Î Em p(W) và u ³ v Lấy dãy 0

)(v j Ì Em( )W và

Khi đó ta kết luận sup e j p(u j)< + ¥ và u Î Em p( )W

Nếu 0< p < 1 với mỗi j , đặt ( )p

dd u Ù¼ Ùdd u Ùb - , giới hạn yếu này không phụ thuộc vào việc chọn dãy ( ) p

Như vậy ta thấy rằng

-® + ¥ òW c Ù c Ù¼ Ù c m Ù n m

h p = ¼ m q = ¼ N là dãy hội tụ tới u p

trong W như trong định nghĩa của q Em( ).W

Cố định e > 0 đủ bé và xét j e = max( , ).j e Hàm j - j e là liên tục với giá

compact trong W Từ Định lý 2.2.2 suy ra

Khi đó với mỗi 0

-theo Bổ đề 2.2.1 Để chứng minh phần còn lại ta lặp lại phép chứng minh của

ò ta có điều phải chứng minh W

Ta có kết quả sau đối với các lớp Em p( ),W p > 0 nhờ lập luận tương tự

Định lý 2.3.2 Tích phân từng phần thực hiện được trong Em p( ),W p > 0 Chính xác hơn, giả sử u v, Î Em p( ),W p > 0 và T là m - dòng dương đóng có dạng

Chứng minh Giả sử E là tập compact tương đối trong W Kí hiệu u = u m E, ,W

là hàm m - cực trị của E trong W Khi đó 0

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thế giả sử E ÐW Cho u là hàm

m - cực trị của E đối với W Đặt a Cap m( )E H m( )u

W

= = ò Nếu a = 0 ta có đẳng thức xảy ra Như vậy, ta giả sử a > 0 Áp dụng Bổ đề 2.1.9 ta được

W mà nó trùng với y y tương ứng trên j, K = W\ U Sự hội tụ đơn điệu

j

y ¯ kéo theo y j hội tụ đều tới j trên j K ÇSuppc , điều này kéo theo sự

hội tụ đều của j j

j

h j

j d

=+ đến h

j

=+ trên K ÇSuppc

Trong các lập luận tiếp theo, ta lấy C là hằng số dương không phụ thuộc

vào j e, Vì ,g h bị chặn đều, nên theo Bổ đề 2.4.1 và Bổ đề 2.4.2 ta có j j

Cho d ® 0 thì g ® 1, từ đó suy ra điều phải chứng minh W

Định lý 2.4.4 Giả sử u v, Î Em p( ),W p > 0 sao cho u Ā v trên W Khi đó