Bài giảng Xác suất Thống kê Tiến sĩ Nguyễn Đình Huy ĐH Bách Khoa TPHCM

• Môn học cung cấp cho sinh viên các kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất &thống kê, các phương pháp phân tích phương sai,ước lượng các đặc trưng của tổng thể, các phép kiểm định giả

Trang 1

Nội dung tóm tắt môn học

• Môn học cung cấp cho sinh viên các kiến thức

cơ bản của lý thuyết xác suất &thống kê, các phương pháp phân tích phương sai,ước lượng các đặc trưng của tổng thể, các phép kiểm định giả thuyết thống kê, phân tích tương quan tuyến tính và lý thuyết hồi quy Áp dụng MS-EXCEL

để xử lý dữ liệu bằng phương pháp thống kê dựa trên các kiến thức đã học của môn học Xác suất

& Thống kê

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 0 1

Trang 2

Tài liệu tham khảo

• [1] Nguyễn Đình Huy, Đậu Thế Cấp Xác suất và

Thống kê NXB ĐHQG TP HCM ( 2009)

• [2] Đặng Hùng Thắng Thống kê và ứng dụng

NXB GD (1999)

• [3] Hồ Thanh Phong Xác suất và Thống kê trong

Kỹ thuật hệ thống công nghiệp NXB ĐHQG TP HCM

(2003)

Trang 3

• [4] Walter A Rosenkrantz Introduction to

Probability and Statistics for Scientists and Engineers McGraw-Hill Companies, Inc( 1997)

• [5] Allen L Webster Applied Statistics for

Business and Economics McGraw-Hill Companies, Inc.( 1995)

• [6] Đặng Văn Giáp Phân tích dữ liệu khoa học

bằng chương trình MS-EXCEL NXB GD (1997)

• [7] Trần Tuấn Điêp & Lý Hoàng Tú Lý thuyết

Xác suất và Thống kê Toán học.NXB GD – 1999

Trang 4

Hướng dẫn cách học

• Tham dự giờ giảng trên lớp hoặc xem đĩa video

• Sử dụng sách giáo khoa:đọc kỹ,so sánh với bài giảng của thầy,xem kỹ các ví dụ

• Tự làm bài tập.Chú ý tuyệt đối không được xem lời giải hay đáp số trước khi cố gắng tự tìm lời giải

• Thực tập thật nhuần nhuyễn các kỹ năng sử

dụng máy tính (bỏ túi và lớn) để tính toán

• Bài tập lớn: Sử dụng MS-EXCEL với phần

hướng dẫn trong tài liệu tham khảo [1] (phụ lục) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 0 4

Trang 5

Chi tiết cách đánh giá môn học:

• Tổ chức kiểm tra giữa kỳ(20%): Từ đầu đến hết chương 4 Hình thức: Viết hoặc trắc nghiệm Thời gian thi: 45‘

• Từ tuần 9 bắt đầu giao bài tập lớn cho các nhóm : (20%),nhằm sử dụng thành thạo các phần mềm thống kê và vận dụng vào thực tế

• Tổ chức thi cuối kỳ : (60%) - Nội dung thi: Toàn bộ học kỳ Hình thức thi: Viết Thời gian thi: 90'

Trang 6

CHƯƠNG 0: BỔ TÚC

$1.Giải tích tổ hợp

1.Quy tắc cộng và quy tắc nhân:

• Ví dụ1 : Có 6 quyển sách toán, 5 quyển lý, 4 quyển

hóa có bao nhiêu cách để chọn:

a 1quyển

b Một bộ gồm 3 quyển toán ,lý, hóa

Giải:b Giai đoạn 1: Chọn toán có 6 cách

Giai đoạn 2:Chọn lý có 5 cách

Giai đoạn 3: Chọn hóa có 4 cách

Suy ra: có 6.5.4 cách chọn

Trang 7

Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương 0

Ghi nhớ: các trường hợp thì cộng ; các giai đoạn thì nhân

2 Hoán vị: Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp có thứ

tự n phần tử khác nhau cho trước

( )!

k n

Trang 9

4

• Định lý: số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là :

• Ví dụ 2: có bao nhiêu cách để trao 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1

giải ba trong một cuộc thi có 10 học sinh giỏi tham gia

Trang 10

• Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách để chọn một đội tuyển gồm 3 học sinh từ 10 học sinh giỏi của một trường để đi thi cấp quận

C

10 10

3 3

A 

Trang 11

• Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách để sắp 10 người trong đó có A, B,

C, D ngồi vào một bàn ngang sao cho:

Trang 12

k k

1

(1 )

k k

.

(1 )

k k

1

(1 )

k k

Trang 13

x a a

2 2

Trang 14

Ví dụ 6: Tính

2 5 2

Trang 15

10

$4.Tích phân Laplace:

-hàm mật độ Gauss(hàm chẵn-HÌNH 3.1)

- tích phân Laplace (hàm lẻ-HÌNH 3.2)

.tra xuôi: ( tra ở hàng 1,9; cột 6 bảng

1 2

Trang 16

• Hình 3.1 Hình 3.2

Trang 17

CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

§1:Biến cố và quan hệ giữa các biến cố

1 Phép thử và biến cố

2 Phân loại biến cố : gồm 3 loại

- Biến cố chắc chắn:

- Biến cố không thể có hay không thể xảy ra:

- Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C…

3 So sánh các biến cố

Định nghĩa 1.1: (A nằm trong B hay A kéo theo B) nếu

A xảy ra thì B xảy ra.Vậy

Trang 18

Định nghĩa 1.2: A được gọi là biến cố sơ cấp

4 Các phép toán trên biến cố (hình 1.1 và 1.2 ):

xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

Trang 19

3

• Hình 1.1 Hình 1.2

Trang 20

• Các phép toán của biến cố có tính chất giống các phép toán

của tập hợp, trong đó có các tính chất đối ngẫu:

Ngôn ngữ biểu diễn: tổng = có ít nhất một ;tích = tất cả đều

Trang 21

§2: Các định nghĩa xác suất

• 1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

• Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và có tất cả n kết cục như vậy Kí hiệu m là số các kết cục thuận lợi cho biến cố A Khi ấy xác suất của biến cố A là:

• Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu nhiên

ra 5 bi Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng

• Giải ( phân phối siêu bội)

.

C C C

 

Trang 22

Chú ý: lấy 1 lúc 5 bi giống lấy lần lượt 5 bi khơng hồn lại

• Ví dụ 2.2: Cĩ 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu Tính xác suất

để toa thứ nhất khơng cĩ người lên:

2 Định nghĩa hình học về xác suất:

Định nghĩa 2.2: Giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và được biểu diễn bằng các điểm hình học trên miền

Kí hiệu D là miền biểu diễn các kết cục thuận lợi cho biến cố

A Khi ấy xác suất của biến cố A là:

(độ đo là độ dài,diện tích hoặc thể tích)

10 10

4 5

đo

độ

P A

độ

Trang 23

7

• Ví dụ 2.3: Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thành 3 đoạn

Tính xác suất để 3 đoạn đó lập thành 3 cạnh của 1 tam giác

• Giải: Gọi độ dài đoạn thứ 1,2 là x,y.Khi ấy đoạn thứ 3 là l-x-y

Trang 24

HÌNH 2.1

Trang 25

9

• Ví dụ 2.4: Ném lên mặt phẳng có kẻ những đường thẳng song song cách nhau 1 khoảng là 2a một cây kim có độ dài 2t<2a.Tính xác suất để cây kim cắt 1 trong các đường thẳng song song Giải: Gọi I là điểm giữa cây kim ,IH là khoảng cách từ I tới

đường thẳng gần nhất; là góc nghiêng.Khi ấy ta có:

Trang 26

HÌNH 2.2

Trang 27

11 HÌNH 2.3

Trang 28

Các tính chất của xác suất : xem sách giáo khoa

3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề

• Định nghĩa 2.3: Ký hiệu là tập hợp các biến cố trong 1 phép thử Ta gọi xác suất là 1 quy tắc đặt mỗi biến cố A với 1

số P(A) thỏa mãn các tiên đề:

(I)

(II)

(III) Với mọi dãy biến cố đôi một xung khắc,ta có:

4.Định nghĩa xác suất theo thống kê:xem sách giáo khoa

Trang 29

§3: Các định lý xác suất

1: Định lý cộng xác suất

Ví dụ 3.1: Có k người lên ngẫu nhiên n toa tàu (k>n).Tính xác suất để tất cả các toa đều có người lên

Trang 30

HÌNH 3.1

Trang 31

Bài giải

• A - tất cả các toa đều có người lên

• - có ít nhất 1 toa không có người lên

• - toa thứ i không có người lên, i =1, 2,…n

• Vì các toa tàu có vai trò như nhau nên áp dụng công thức cộng xác suất ta có :

Trang 32

Ví dụ 3.2: Có n bức thư bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì có đề sẵn địa chỉ Tính xác suất để có ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ

Trang 33

2 Định lý nhân xác suất

• Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố A

đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí hiệu

là P(B/A)

• Chú ý: biến cố A có thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B

• Ngôn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc Cho A… tính xác suất B

Trang 34

• Định nghĩa 3.3:Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào việc biến

cố kia đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử

• Định nghĩa 3.4:Một hệ các biến cố được gọi là độc lập toàn

phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại

• Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

• Định lý 3.4: Giả sử là độc lập toàn phần Khi

Trang 35

Chú ý: Trong trường hợp độc lập không nên dùng công thức

cộng xác suất mà nên dùng công thức nhân xác suất

• Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất hỏng

của chi tiết thứ i là Tính xác suất để mạng hỏng

• Giải: - biến cố chi tiết thứ i hỏng

Trang 36

Ví dụ 3.4: Tung 3 con xúc xắc cân đối,đồng chất Tính xác suất để:

6 5 6 15 6

Trang 37

P C

Trang 38

3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes:

• Định nghĩa 3.5: Hệ được gọi là hệ đầy đủ, nếu

trong mỗi phép thử nhất định 1 và chỉ 1 trong các biến cố Hi

( ) ( / )

i

P AH n

Trang 40

Ví dụ 3.5: Có 2 hộp bi cùng cỡ, hộp 1 chứa 4 bi trắng và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh.Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên1 bi thì được bi trắng Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra là bi trắng

Giải: Hộp 1: 4t + 6x Lấy ngẫu nhiên 1 hộp:H1 lấy được hộp 1

Hộp 2: 5t + 7x H2 lấy được hộp 2

A- biến cố lấy được bi trắng ở lần 1

B- biến cố lấy được bi trắng ở lần 2

    H1 H2 1/ 2

 / 

   

Trang 41

( )

1 5

Trang 43

Chú ý

• Nếu sau lần 1 đã lấy được bi trắng ta trả bi vào hộp rồi mới

lấy tiếp lần 2 thì lời giải thay đổi như sau:

• P(B)=P(A), trong cả 2 bài toán

• Nếu câu hỏi là :Giả sử lần 1 đã lấy được bi trắng tính xác suất

để bi đó lấy được ở hộp 1, thì đáp số là:

Trang 44

4 Công thức Bernoulli

• Định lý 3.5: Giả sử trong mỗi phép thử 1 biến cố A có thể xuất hiện với xác suất p (khi A xuất hiện ta quy ước là thành công) Thực hiện n phép thử giống nhau như vậy Khi ấy xác suất để

có đúng k lần thành công là :

(Phân phối nhị thức)

Chú ý : từ nay trở đi ta ký hiệu q=1-p

Định nghĩa 3.6: Kí hiệu k0 là số sao cho:

Khi ấy k0 được gọi là số lần thành công có nhiều khả năng xuất hiện nhất(tức là ứng với xác suất lớn nhất)

 n k p , ,  C p qn k. k. n k , k 0,1, , n

 n k p , 0,  Max  n k p , ,  , 0 k n

Trang 45

Định lý 3.6: hoặc

• Chú ý:

• Ví dụ 3.6: Tung cùng lúc 20 con xúc xắc

1 Tính xác suất để có đúng 4 mặt lục xuất hiện

2 Tính số mặt lục có nhiều khả năng xuất hiện nhất

Trang 46

Ví dụ 3.7:Trong 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại là đen Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi có hoàn lại ra n bi Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng được tính bằng công thức Bernoulli nói trên với p = M/N

đen Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi không hoàn lại ra n bi Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng là

Trang 47

Ví dụ 3.9 : Có 1 tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu(.)và (-) Qua thống kê cho biết là do tạp âm, bình quân 2/5 tín hiệu(.) và 1/3 tín

hiệu(-) bị méo Biết rằng tỉ số các tín hiệu

chấm và vạch trong tin truyền đi là 5:3 Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu truyền đi nếu đã nhận được chấm

Trang 48

• Giải : Gọi A là biến cố nhận được chấm,

H1 là biến cố truyền đi chấm,

H2 là biến cố truyền đi vạch

Trang 49

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên

• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu

nhiên nhận một số giá trị với các xác suất tương ứng xác định

• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị

có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số

Trang 50

§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên

1 Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)

Định nghĩa 2.1: (…) vô hạn

Chú ý:

• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại

2 1

k

p p

p

x x

p 



Trang 51

3

Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên với điều kiện ngừng là bắn trúng thì ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng

2 Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):

• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu

nhiên X là:

Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm các t/c đặc trưng

2

3

Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì

liên tục trên toàn trục số

Trang 52

• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì

1 , 0

0

x

F X

x x x x

5 2

2

Trang 53

Chú ý: Hàm phân phối bên trái miền giá trị của X

và bên phải miền giá trị của X

• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu

Trang 54

Chú ý: Hàm mật độ bên ngoài miền giá trị

/2 0

Trang 55

Trang 56

• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người và tổng số

bóng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ của người thứ nhất, thứ hai là

• Giải: Gọi là xác suất ném trượt bóng của người 1,2

Trang 57

Trang 58

§3: Véc tơ ngẫu nhiên

I Vectơ ngẫu nhiên

Giả sử là các đại lượng ngẫu nhiên được xác định bởi kết quả của cùng 1 phép thử Khi ấy

được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều

II Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y)

1 Bảng phân phối xác suất đồng thời:

Trang 59

Trang 60

2 Bảng phân phối xác suất lề của X và Y

3 Điều kiện độc lập của X và Y

ij 1

p

Trang 61

5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)

(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như

trên, khi ấy ta có:

Trang 62

Ví dụ 3.1: Giả sử (X,Y) có bảng phân phối xác suất sau:

Trang 63

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:

(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y

là phụ thuộc

(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:

(4)Tìm hàm phân phối:

0 2 0,3 0, 7

X

X P

 

0, 0.1,

0.1 0.3, 1,

Trang 64

III Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)

1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)

Trang 65

HÌNH 3.1

Trang 67

.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:

4.Điều kiện độc lập của X và Y

X Y

0

, ( )

Trang 68

2 2

x y x

Trang 69

Trang 70

HÌNH 3.2

Trang 71

HÌNH 3.3

Trang 73

4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2 (HÌNH 3.4)

Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3 (HÌNH

Trang 74

HÌNH 3.4

Trang 75

HÌNH 3.5

Trang 76

5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)(HÌNH 3.6-3.8)

u v u

Trang 77

HÌNH 3.6

Trang 78

HÌNH 3.7

•

Trang 79

HÌNH 3.8

Trang 81

$4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên

Trang 83

35

2 Trường hợp liên tục: Gỉa sử cho X liên tục

Bước 1 Tìm miền giá trị của

Định dạng
Số trang	231
Dung lượng	3,53 MB