Rèn kỷ năng giải bài tập tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau

I: Lí do chọn đề tài :Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ngời năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý ch

A: Đặt vấn đề:

Phòng giáo dục đào tạo lệ thuỷ

Trờng thcs kiến giang

 -    - 

Đề tài

Một số kinh nghiệm về việc

rèn kĩ năng giải bài tập tỉ lệ thức

và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

Họ và tên: Nguyễn Cao Tý

Đơn vị : trờng thcs kiến giang

Tháng 1 năm 2010

I: Lí do chọn đề tài :

Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ngời năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nớc ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay

Trong tập hợp các môn nằm trong chơng trình của giáo dục phổ thông nói chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân

Là một môn học có liên quan đến quá trình t duy lô gíc tổng hợp và các môn học khác

- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7 Từ một tỷ lệ thức

ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ thuận, tỷ

lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập

ra bài toán mới

Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số dạng bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7

Phạm vi nghiên cứu: Chơng I đại số lớp 7

Đối tợng nghiên cứu: học sinh lớp 7 trờng THCS Kiến Giang

Thời gian: từ năm học 2008-2009 đến nay

III Mục đích:

a) Kiến thức

nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia tỷ lệ, tránh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng nhau

b) Kỹ năng:

HS có kỹ năng tìm số hạng cha biết, chứng minh tỷ lệ thức, giải toán chia tỷ lệ

c) Thái độ:

HS có khả năng t duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận trong tính toán

B: Nội dung

I: Cơ sở lí luận:

Ngời thực hiên: Nguyễn Cao Tý trờng THCS kiến giang 2

Để nâng cao hiệu quả của tiết học có nội dung về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau thì ngời giáo viên phải cung cấp đủ cho học sinh các nội dung kiến thức trọng tâm bao gồm:

1 Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức

a) Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

d

c b

a



Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ

b) Tính chất

Tính chất 1( tính chất cơ bản)

Nếu a c

b d thì ad = bc

tính chất 2( tính chất hoán vị)

Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức

a

b c

d a

c b

d d

b c

a

d

c

b

a







2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

+ từ tỉ lệ thức

d

c b

a

d b

c a d b

c a d

c b

a



















+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau b a d c e f

























f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b a

3.Chú ý:

+ Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b a



 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5

+ Từ tỉ lệ thức

d

c b

a

 suy ra

1 2

; 0 ;k a k c ( , 0)

từ b a d c e f suy ra

3

;

 

II: Cơ sở thực tiễn.

1/ Những khó khăn khi trực tiếp giảng dạy:

Thực tế qua một số năm trực tiếp giảng dạy bộ môn toán cũng nh qua tìm hiểu bạn bè đồng nghiệp, tôi đều nghe nhiều giáo viên dạy toán phản ánh rằng học sinh không nắm đợc một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia tỷ lệ …Nhiều học sinh rất ngại giải toán, trong giờ học chỉ ngồi chép bài mẫu của giáo viên hoặc của các bạn học khá, không chịu khó suy nghĩ để làm bài Trong một cuộc điều tra thăm dò tìm

hiểu hứng thú học tập của học sinh đối với bộ môn toán học, tỉ lệ số học sinh không muốn học toán so với các môn học khác là khá cao (52,5%)

Đối với giáo viên cũng có những khó khăn nhất định bởi bài tập trong chơng rất phong phú và đa dạng nên không có thời gian và lựa chọn phơng pháp thích hợp

Vì vậy trong quá trình giảng dạy còn gặp khó khăn dẫn đến dễ bị phiến diện, không đủ thời gian hoặc chỉ chú ý đến việc giải số lợng bài tập trong SGK mà quên mất việc h-ớng dẫn kỉ các phơng pháp giải cho học sinh Từ đó gây cho học sinh tâm lý sợ sệt, không tự tin khi gặp những bài toán tơng tự hoặc khó hơn

Trờng đóng trên địa bàn vùng trung tâm huyện lị nên có phần ảnh hởng không nhỏ đến mặt trái của xã hội, một số bộ phận gia đình cha quan tâm đến việc học của con em nên làm ảnh hởng không nhỏ đến việc học của các em

2/ Tình hình giảng dạy:

Trớc khi cha thực hiện áp dụng đề tài:

Đối vớỉ học sinh: Nhiều em cha nắm bắt đợc phơng pháp chứng minh bài toán liên quan đến dãy ti số bằng nhau, dạng toán chia tỉ lệ, các bài toán dạng tơng tự mà giáo viên đã giải mẩu cho học sinh có mở rông chút ít

Đối với giáo viên: Đã tiến hành đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng tích cực hóa hoạt động của học sinh nhng chất lợng và hiệu quả vẫn cha cao Nhiều tiết dạy vẫn còn sa vào phơng pháp cổ truyền (thuyết trình có kết hợp với đàm thoại là chủ yếu về thực chất vẫn là thầy truyền đạt trò tiếp nhận ghi chép) nên vẫn cha gây đợc hứng thú học tập cho hoc sinh nhiều khi còn gây cho các em tâm lí sợ toán

Khi bắt đầu áp dụng việc dạy học theo phơng pháp này bản thân tôi đã điều tra kĩ

ở học sinh thông qua phơng pháp khảo sát kết quả chất lựơng bài kiểm tra một tiết đầu năm học 2008 - 2009:

L

L

L

L

L

%

8

3

Qua bảng kết quả cho thấy số học sinh khá giỏi còn ít, vẫn còn nhiều học sinh bị điểm yếu, kém

III.Nội dung và ph ơng pháp nghiên cứu

Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số dạng bài tập sau:

1.Tìm một số hạng cha biết

a) Phơng pháp : áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức

Ngời thực hiên: Nguyễn Cao Tý trờng THCS kiến giang 4

Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết

b) Bài tập:

Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)

- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

9,36 0.52.16,38 0,52.16,38

0,91 9,36

x x





Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn nh sau :



b) 0,3:11 2: 3 6

35 x

có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x

Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)

60 15

x

x







Giải

15

x

x





  x.x 15   60

 x2  900  x2  30 2

Suy ra x = 30 hoặc -30

Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đa

về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức

x

x



x

x







x x







Giải:

Cách 1: từ 3 5  3 7 5 .5

x

x





5 3 6

x x

x



áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có

 

3 1

x

x





Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

       



Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

2.Tìm nhiều số hạng cha biết

a) Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:

Tìm các số x, y, z thoả mãn

a b c (1) và x +y + z =d (2)

( trong đó a, b, c, a+b+c  0 và a, b, c, d là các số cho trớc)

Cách giải:

- Cách 1: đặt

k

x k a y k b z k c

thay vào (2)

Ta có k.a + k.b + k.c = d

a b c

 

Từ đó tìm đợc .

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

 

b).Bài tập

Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết

  và x +y + z = 27

Giải: Cách 1.

Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k 3k 4k  27  9k 27  k 3

Ngời thực hiên: Nguyễn Cao Tý trờng THCS kiến giang 6

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Vậy x = 6; y = 9; z = 12

- Cách 2 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

27 3

2.3 6; 3.3 9; 4.3 12

 

 

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết

  và 2x + 3y – 5z = -21

Giải:

- Cách 1: Đặt

- Cách 2: Từ

  suy ra 2 3 5

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3

Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết

2x  3y  5z  405

- Cách 2: từ

suy ra

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

9

Suy ra

2

2 2

2

2

2

4

9

16

x

y

z

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12

Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết

  và x.y.z = 648

Giải:

- Cách 1: Đặt

- Cách 2: Từ

3

3

3

648 27

8

x

 

 

Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12

x

  và x +y +z = 27 Giải: từ 6 9 2 3

Từ

Suy ra

Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1

Bài tập 6 Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27

x y

x y 

Từ 4 2

2 4

x z

x z 

Suy ra

  sau đó giải nh bài tập 1

Bài tập 7: Tìm x,y,z biết

x y z

  và x +y +z =27

x y z

Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có 4 6 8

x y z

1

4

2 6

3

8

4

x

x y

y z

z

 







Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Ngời thực hiên: Nguyễn Cao Tý trờng THCS kiến giang 8

Để Chứng minh tỷ lệ thức :a c

b d Ta có các phơng pháp sau :

Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc

b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trớc

một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k

Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến

đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải

Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ tỷ

lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

b d hãy suy ra tỷ lệ

thức:a b c d

Lời giải:

Cách 1: Xét tích  

(1) (2)

a b c ac bc

a c d ac ad

Từ a c ad bc(3)

b d  

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d



- Cách 2: Đặt a c k a bk c dk,

Ta có:

(1),( 0)

(2),( 0)

b k

b

d k

d





Từ (1) và (2) suy ra: a b c d



- Cách 3: từ a c b d

b d  a c

Ta có: a b a b 1 b 1 d c d

Do đó: a b c d



- Cách 4: Từ







- Cách 5: từ

a b c d

Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức a c

b d ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:

;

a b c d a b c d

  (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu a2 bc thì

a)

2 2

2 2

Lời giải:

a) - Cách 1: Xét tích chéo

- Cách 2: từ 2 a c

a bc

b a

Đặt a c k a bk c ak,

Ta có:

, 0 (1)

0 ,(2)

b k

b

a k

a





Từ (1) và (2) suy ra: a b c a

a b c a



- Cách 3: Ta có

2

2

a a b

do a bc

a b



Do đó: a b c a

a b c b



Ngợc lại từ a b c a

a b c b



  ta cũng suy ra đợc a2 = bc

Từ đó ta có bài toán cho a b c a

a b c b



  chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì từ

3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức

Ngời thực hiên: Nguyễn Cao Tý trờng THCS kiến giang 10

- Cách 4: Từ a2 = bc

a b c a

a b c a

b) Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)

= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)

Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c

2 2

2 2





- Cách 2: Từ a2 = bc a c

b a

Đặt a c

k

b  a suy ra a = bk, c = ak = bk

2

Ta có

 

2 2 2

2 2 2 2 2 4

2

2 2

1

1

k b

c k b

k



Do đó:

2 2

2 2







- Cách 3: từ a2 = bc a c

b a

2 2 2 2 (1)





Từ

2

a

b  a b   b a b 

Từ (1) và (2) suy ra:

2 2

2 2







b c



2 2

2 2







Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a a a a1 , , , 2 3 4 thoả mãn 2 3

2 1 3 ; 3 2 4

a a a a a a chứng tỏ



Lời giải:

Từ

2 1 3

2 3

3 2 4

3 4

(1)

(2)

a a a

a a

a a a

Từ (1) và (2) suy ra

3

(3)

a a a  a a a a a a  a

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

(4)

Từ (3) và (4) suy ra:



Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:

Cho 1 2 4

a a a chứng minh rằng

3



1.Phơng pháp giải

Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết

Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện

Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết

Bớc 4:Kết luận.

Bài tập 1:(Bài kiểm tra hộc kì I năm học 2009 - 2010):Tính độ dài các cạnh một

tam giác biết nữa chu vi là 90 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 3;5;7

Lời giải:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c 0)

Vì nữa chu vi của tam giác bằng 90 nên chu vi của tam giác là 90.2 =180 cm

Ta có a+b+c = 180

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 3 ; 5 ;7 nên ta có

7 5 3

c b a





áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có

15

180 7 5 3 7 5









b c a b c a

84 12

7

60 12

5

36 12

3



















c c

b b

a a

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 36cm, 60cm, 84 cm

Bài tập 2:

Tính số đo các góc của môt tam giác biết các góc đó tỉ lệ với các số 1; 2; 3

Ngời thực hiên: Nguyễn Cao Tý trờng THCS kiến giang 12

Lời giải

Gọi số đo các góc của một tam giác lần lợt là x,y,z

Ta có x + y + z = 180 0 (tổng ba góc của một tam giác )

Vì x,y,z tỉ lệ với các số 1; 2;3 nên ta có

3 2 1

z y x





áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có

0

0

30 6

180 3 2 1

3

2









y z x y z

x

0

30

1   x

x

0 0

30

2  y 

y

0 0

30

3   z 

z

Vây số đo ba góc của tam giác lần lợt là 30 0; 60 0; 90 0

5 số thóc ở kho I,

1 6

số thóc ở kho II và 1

11số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau Hỏi lúc

đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc

Lời giải:

Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)

Số thóc của kho I sau khi chuyển là 1 4

a a a

Số thóc của kho II sau khi chuyển là 1 5

b b b

Số thóc của kho III sau khi chuyển là 1 10

c c c

theo bài ra ta có 4 5 10

5a6b11cvà a+b+c=710

710 10

a b c a b c 

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số thóc lúc đầu của của kho I; II; III lần lợt là 250 tấn , 240 tấn, 220 tấn

quan đến tỷ số bằng nhau

1) Sai lầm khi áp dụng tơng tự

H/s áp dụng .

.

x y x y

a b a b hay .

.

x y z x y z

a b  c a b c

Bài tập 1: (Bài kiểm tra học kì I năm học 2009 - 2010)

Tìm 2 số x,y biết rằng

x y

 và x.y=10 H/s sai lầm nh sau : . 10 1

x y x y

    suy ra x=2,y=5 Bài làm đúng nh sau:

x y x x x y x

         từ đó suy ra y 5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5

10

10 4 5

2 4 5 2

2 2

2





















x

hoặc đặtx y k

5

2  x2k;y5kvì x.y=10 nên 2k.5k = 10  k2  1  k   1

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng

  và x.y.z= 648

H/s sai lầm nh sau: . 648 27

x y z x y z

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng nh bài tập 4 dạng 1

2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0

Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là a b c

b c c a a b Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó

Ta có a b c

b c c a a b

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

h/s thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng 1

2 ta làm nh sau + Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c

nên mỗi tỉ số a ; b ; c

b c c a a b   đều bằng -1 + Nếu a+b+c 0 khi đób c a c a b a b c 2a b c a b c   12

IV ứng dụng vào công tác giảng dạy:

1

Quá trình áp dụng của bản thân

Ngời thực hiên: Nguyễn Cao Tý trờng THCS kiến giang 14