Áp dụng các mô hình toán học để giải bài toán qui hoạch

Ta cần phải xác định số ẩn cơ bản, đó chính là m ẩn độc lập trong hệ phương trình ràng buộc, đồng thời thỏa mãn cả hàm... Chú ý: - Nếu không thể xác định được các ẩn cơ bản cần loại ra k

Chương 4

Áp dụng các mô hình toán học để

giải bài toán qui hoạch

1

4.1 Khái niệm về bài toán qui hoạch

4.1.1 Bài toán qui hoạch tổng quát

4.1 Khái niệm về bài toán qui hoạch

4.1.1 Phân loại bài toán qui hoạch

•  Nhà máy điện dùng 4 loại than để sản xuất điện

•  Yêu cầu điện năng hàng năm của nhà máy A[MWh]

•  Suất tiêu hao của loại than thứ i: qi [kg/MWh]

•  Giá thành sản xuất của loại than i: ci [đ/MWh]

•  Lượng than loại i không vượt quá Qi

•  Tổng lượng than không được vượt quá QΣ

Tối thiểu hóa chi phí sản xuất điện năng?

4

4.1 Khái niệm về bài toán qui hoạch

4.1.1 Qui hoạch tuyến tính

4.1 Khái niệm về bài toán qui hoạch

4.1.1 Qui hoạch tuyến tính

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính

4.2.2.3 Dạng chuẩn tắc

Ma trận hệ số của hệ phương trình ràng buộc có dạng sau:

12

1,m 1 1,m 2 1,n 2,m 1 2,m 2 2,n 3,m 1 3,m 2 3,n

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính

Đặc điểm nhận dạng

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính

4.2.2.3 Dạng chuẩn tắc

4.2.3.1 Thuật toán đơn hình

a, Thuật toán đơn hình chuẩn

Thuật toán đơn hình (TTĐH) là phương pháp hoàn thiện dần lời giải, nghĩa là từ một lời giải cơ bản, thuật toán này cho phép

đi nhanh nhất đến lời giải cơ bản tối ưu (nếu tồn tại)

Ta cần phải xác định số ẩn cơ bản, đó chính là m ẩn độc lập trong hệ phương trình ràng buộc, đồng thời thỏa mãn cả hàm

a, Thuật toán đơn hình chuẩn

x1 = 12 ; x2 = 18 ; x3 = 0 ; x4 = 0 → F1(x) = 96 chưa phải giá trị

Viết lại: f(X) = F1(X) - Δ3x3- Δ4x4

Với: Δ3 = 5.(-2)+2.4-3 = -5

Δ4 = 5.6+2.3-4 = 32

Nếu cả Δ3 và Δ4 đều <0 thì F1(X) min

Nếu chỉ một trong hai Δ3, Δ4 >0 , chuyển bước 2 Các

bước được viết gọn bằng một bảng, gọi là bảng đơn hình:

18

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.3 Phương pháp đơn hình

19

Bước

Hệ số

ẩn cơ bản

20

Bước

Hệ số

ẩn cơ bản

21

Bước

Hệ số

ẩn cơ bản

Chú ý:

-  Nếu không thể xác định được các ẩn cơ bản cần loại ra (không có hệ số dương nào ở mọi hàng trong cột tương ứng) thì bài toán sẽ không có phương án tối ưu

-  Nếu khi tìm ẩn cơ bản cần loại ra mà tỉ số giữa giá trị ở cột phương án và cột tương ứng với ẩn đưa vào có nhiều giá trị min và bằng nhau thì ta chọn ẩn cơ bản tùy ý trong chúng

-  Nếu hàm mục tiêu là f(X) → max thì chỉ cần thay đổi tiêu

của ∆j trong số các ∆j ≤ 0

22

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.3 Phương pháp đơn hình

4.2.3.2 Thuật toán đơn hình

b, Thuật toán đơn hình mở rộng

Với bài toán ở dạng chính tắc bất kì, ta phải biến đổi hệ ràng

buộc sao cho nó có dạng chuẩn tắc, tức là có tồn tại ma trận đơn

vị trong hệ ràng buộc Điều này có thể thực hiện bằng cách thêm vào vế trái của mỗi phương trình một ẩn giả không âm, đồng

thời lấy hệ số các ẩn giả trong hàm mục tiêu là M (M là một số dương lớn hơn bất kì một số nào cần so sánh)

23

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.3 Phương pháp đơn hình

b, Thuật toán đơn hình mở rộng

f(X) = -8x1 +6 x2 + 2x3 → min

Hàm ràng buộc:

4x1 + 4x2 – 3x3 = 18 4x1 + 3x2 + 4x3 = 16

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3)

24

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.3 Phương pháp đơn hình

b, Thuật toán đơn hình mở rộng

∆2 = 7M-6

∆3 = M-2

∆3 = -7M-10

4.2.3.2 Thuật toán đơn hình

b, Thuật toán đơn hình mở rộng

+ Trường hợp 1: Qua các bước mọi ẩn giả bị loại hết, như vậy sẽ tìm được lời giải tối ưu (nếu tồn tại)

+ Trường hợp 2: Qua các bước ẩn giả không bị loại hết nhưng trong hệ ẩn cơ bản chúng nhận giá trị 0 thì bài toán có lời giải tối ưu (nếu tồn tại)

+ Trường hợp 3: Qua các bước ẩn giả không bị loại khỏi

hệ ẩn mà nhận giá trị dương → bài toán vô nghiệm

27

4.2 Qui hoạch tuyến tính

4.2.3 Phương pháp đơn hình

28

Bài toán qui hoạch tổng quát thường là bài toán qui

hoạch phi tuyến

Nếu f(X) hoặc có ít nhất 1 trong các hàm ràng buộc

gi(X) là phi tuyến thì bài toán qui hoạch tổng quát sẽ là bài toán qui hoạch phi tuyến

Các phương pháp giải: tuyến tính hóa, đưa về bài toán qui hoạch phi tuyến không ràng buộc, giải trực tiếp, qui hoạch động,…

4.3 Qui hoạch phi tuyến

4.3.1 Khái niệm

29

Nội dung của phương pháp qui hoạch xấp xỉ:

Xác định tập giá trị các biến: X = {x1, x2,…, xn} sao cho

hàm f(xj) → max (min); j = 1, 2,…, n

Đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

hi(X) = 0 (i = 1,2,…,m1)

gi(X) ≥ 0 (i = 1,2,…,m2) Trong đó, trong trường hợp tổng quát các hàm f(x), hi(x),

gi(x) đều là hàm phi tuyến

4.3 Qui hoạch phi tuyến

4.3.2 Phương pháp tuyến tính hóa

+ Lập bài toán qui hoạch tuyến tính

Bước 2: Giải bài toán qui hoạch tuyến tính được X (1)

4.3 Qui hoạch phi tuyến

4.3.2 Phương pháp tuyến tính hóa

31

4.3.3.1 Phương pháp Lagrange và định lý Kuhn-Tucker

A, Bài toán Lagrange dạng chính tắc

Phương pháp Lagrange là phương pháp kinh điển giải bài toán qui hoạch phi tuyến khi các ràng buộc có dạng đẳng thức và bất đẳng thức, để xác định cực trị có điều kiện (cực trị vướng) của hàm nhiều biến và khi hàm đó liên tục cùng với đạo hàm riêng bậc nhất của nó

Trước hết ta xét bài toán dạng chính tắc:

Xác định X = {x1, x2,…, xn} sao cho:

F(x1, x2,…, xn) → min Với các ràng buộc hi(X) = 0 (i = 1, 2,…, m)

4.3 Qui hoạch phi tuyến

4.3.3 Phương pháp đưa về phi tuyến không ràng buộc

và λi và cho chúng bằng 0 như sau:

Nếu ở điểm hàm đạt cực trị thì tồn tại vecto sao cho điểm là lời giải của hệ Để xác định cực đại hoặc cực tiểu phải khảo sát giá trị đạo hàm bậc 2 của L(X) hoặc f(X)

m

i i

i 1

i 1 2 n j

4.3 Qui hoạch phi tuyến

4.3.3 Phương pháp đưa về phi tuyến không ràng buộc

33

4.5.3.1 Phương pháp Lagrange và định lý Kuhn-Tucker

B, Bài toán Lagrange dạng mở rộng

Đối với bài toán Lagrange mở rộng tức là trong hệ ràng buộc có tồn tại cả các bất phương trình thì người ta thường dùng phương pháp dựa trên định lí Kuhn-Tucker (định lí về điểm yên ngựa) gọi là phương pháp Lagrange mở rộng

Giả thiết cần xác định X = {x1, x2,…, xn} sao cho:

f{x1, x2,…, xn} → min và thỏa mãn các ràng buộc:

hi{x1, x2,…, xn} = 0; i = 1, 2,…, m1

xj ≥ 0 (j = 1, 2,…, n)

Chú ý: trong trường hợp cần làm max hàm f(X) ta nhân f(X)

với -1 để thành –f(X) → min hoặc khi có gi(X) ≤ 0 ta nhân gi(X)với -1 để có ràng buộc gi(X) ≥ 0

4.3 Qui hoạch phi tuyến

4.3.3 Phương pháp đưa về phi tuyến không ràng buộc

4.3 Qui hoạch phi tuyến

4.3.3 Phương pháp đưa về phi tuyến không ràng buộc

35

Phương pháp hàm phạt cũng là một phương pháp nhằm đưa bài toán về dạng bài toán qui hoạch không ràng buộc (đưa các ràng buộc vào hàm mục tiêu)

Khái niệm về hàm phạt

Thì P(X(k)) được gọi là hàm phạt còn k là bước lặp thứ k

Như vậy với số bước lặp k lớn mà X vẫn nằm trong miền U thì phạt ít (P→0), còn nếu X nằm ra ngoài miền U thì phạt nhiều (P→∞)

0

0, X U Lim P(X )

4.4 Qui hoạch động

4.4.1 Khái niệm

37

Với bài toán phát triển nguồn điện số phương án chấp nhận

được thường rất lớn Đó là tổ hợp các giá trị công suất đặt, số

lượng các tổ máy, tổ hợp các loại nhiên liệu và nhà máy, các điều kiện khai thác nguồn thuỷ năng Do đó bước đầu tiên trước khi thực hiện thiết kế lựa chọn, cần loại trừ bớt các phương án có thể coi là không khả thi

Để xác định trị số của hàm mục tiêu cần thực hiện các tính toán khác nhau:

+ Xác định phương thức vận hành tương lai của HTĐ, từ đó xác định chi phí nhiên liệu, tổn thất điện năng, độ tin cậy cung cấp

điện và thiệt hại kinh tế do thiếu hụt điện năng…

+ Xác định tổng vốn đầu tư do phải phát triển công suất đặt

thêm qua các năm

+ Xét đến lãi suất vốn đầu tư

4.4 Qui hoạch động

4.4.1 Khái niệm

Xj là nguồn vốn tổng còn lại đặt vào năm j cho k nhà máy

Gọi W là tổng lợi nhuận của k nhà máy sau n năm hoạt động Xác định X = {xj(i)}; i = 1, 2,…, k; j = 1, 2,…, n sao cho:

39

Phương trình phiếm hàm Bellman là nội dung chính của

phương pháp qui hoạch động Ta vẫn dùng bài toán phân phối nguồn vốn để diễn giải cách thành lập phương trình Giả thiết:

Vốn ban đầu X1 1 nhà máy A, B trong n năm Năm 1: X1 = x1 + (X1 – x1)

Do có mâu thuẫn trong các giá trị g, h, a, b (thường nếu g > h thì a < b) nên cần tìm sự phân bố tối ưu X1 trong từng năm sao cho tổng lợi nhuận trong n năm là max

4.4 Qui hoạch động

4.4.2 Phương trình phiếm hàm Bellman

•  Ví dụ: xác định sách lược tối ưu phân phối nguồn Pft

cho n đối tượng P1, P2,… trong cả thời kì t = 1, ,n sao cho đạt cực tiểu về chi phí nhiên liệu BΣ (không xét

đến ảnh hưởng của việc ngừng và khởi động lại tổ

máy, tức là chưa xét đến ảnh hưởng của chi phí mở

máy

gồm 3 tổ máy có đặc tính tiêu hao nhiên liệu như sau:

• 

43