Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến volterra fredholm loại hai (LV02295)

-NGUYỄN THỊ TUYẾT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA - FREDHOLM LOẠI HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017... -NGUYỄN THỊ TUYẾT MỘT SỐ PHƯƠNG P

-NGUYỄN THỊ TUYẾT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

VOLTERRA - FREDHOLM LOẠI HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

-NGUYỄN THỊ TUYẾT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

VOLTERRA - FREDHOLM LOẠI HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

2, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh Nhân dịp này tôixin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã dành nhiều công sức

và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc tìm hiểu cáckiến thức chuyên ngành và hoàn thành bản luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Phòng Sau Đại học và đến cácthầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 về các kiếnthức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tạitrường

Xin cám ơn Lãnh đạo và các thầy cô trường THPT Vĩnh Yên về nhữngđiều kiện thuận lợi đã dành cho tác giả để tác giả có thể hoàn thànhkhoá học và bản luận văn này

Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân, chỗ dựa vềtinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Tuyết

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin camđoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm

ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Tuyết

Mục lục

1.1 Các không gian hàm 7

1.1.1 Không gian Metric 7

1.1.2 Không gian định chuẩn 8

1.1.3 Không gian C[a,b] 9

1.2 Một số kiến thức về Giải tích 10

1.2.1 Chuỗi lũy thừa 10

1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất 11

1.2.3 Công thức khai triển Taylor 12

1.3 Phương pháp cầu phương 12

1.4 Định nghĩa phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 13

1.4.1 Hàm trừu tượng 13

1.4.2 Toán tử Fredholm 13

1.4.3 Toán tử Volterra 13

1.4.4 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 14

2 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 15 2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dựa trên điều kiện Lipschitz 15

2.1.1 Định lý tồn tại nghiệm 15

2.1.2 Ví dụ 18

2.2 Phương pháp giải tích 22

2.2.1 Phương pháp chuỗi 22

2.2.2 Phương pháp phân tích Adomian 24

2.3 Phương pháp hội tụ đơn điệu 27

2.3.1 Các định lý về bất đẳng thức tích phân 27

2.3.2 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm 39

2.3.3 Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 43

3 Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 54 3.1 Công thức hình thang 54

3.2 Áp dụng công thức hình thang vào giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm loại hai 55

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình tích phân là công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực nênđược quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồntại nghiệm, sự xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh

Trong các phương trình tích phân ta không thể không nhắc tới phươngtrình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai, một phương trìnhxuất hiện trong nhiều ứng dụng khoa học

Trong các ứng dụng thực tế việc tìm ra nghiệm của phương trình tíchphân đôi lúc gặp phải nhiều khó khăn, lúc này người ta quan tâm đếncác phương pháp giải xấp xỉ Để giải xấp xỉ phương trình tích phân phituyến Volterra – Fredholm loại hai người ta sử dụng nhiều phương phápnhư xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, phương pháp số

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về phương pháp giảiphương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai, dưới sựhướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “ Một sốphương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra –Fredholm loại hai” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình

tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phânphi tuyến Volterra – Fredholm loại hai

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân phi tuyến Volterra –Fredholm loại hai

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình,một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải xấp

xỉ phương trình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai cụ thể

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

- Vận dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Líthuyết phương trình tích phân và lập trình máy tính

- Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phươngtrình tích phân phi tuyến Volterra – Fredholm loại hai

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

- Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu

- Áp dụng giải xấp xỉ một số phương trình tích phân phi tuyến Volterra– Fredholm loại hai cụ thể

1.1.1 Không gian Metric

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Metric là một tập (X, d), trong đó

X là một tập hợp, d là một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các điềukiện sau:

1 d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y

2 d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X

3 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X

Sự hội tụ trong không gian Metric

Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn} ⊂ (X, d) được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ Xnếu d(xn, yn) → 0 khi đó ta viết lim xn = x

Tính chất 1: Mọi dãy có không quá một giới hạn Nói cách khác, dãy hội

tụ chỉ có một giới hạn duy nhất.

Tính chất 2: d(x, y) là hàm liên tục theo hai biến, tức là

nếu lim xn = a, lim yn = b thì lim d(xn, yn) = d(a, b)

Tính chất 3: Nếu xn → x thì mọi dãy con xnk cũng hội tụ đến x

Nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ A : X → X được gọi là ánh xạ co nếu

∃α : 0 < α < 1 để ∀x, y ∈ X ta có: d(Ax, Ay) ≤ αd(x, y)

Định nghĩa 1.1.5 Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ

A nếu x = Ax

1.1.2 Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P

Định nghĩa 1.1.6 Một chuẩn, kí hiệu k.k trong X là một ánh xạ từ Xvào P thỏa mãn các điều kiện

(i) kxk ≥ 0 ∀x ∈ X

(ii) kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ

(iii) kλxk = kλkkxk, ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X.

(iv) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X

Định nghĩa 1.1.7 Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xácđịnh trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặcphức, tùy theo P là thực hoặc phức)

Định lý 1.1 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với ∀x, y ∈ X,đặt

d(x, y) = kx − ykKhi đó d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.8 Dãy {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim kxn − x0k = 0 Khi đó ta kí hiệu

lim xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞

Định nghĩa 1.1.9 Dãy {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu

lim kxn− xmk = 0

Định nghĩa 1.1.10 Không gian định chuẩn X gọi là không gian nach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ba-1.1.3 Không gian C[a,b]

Định nghĩa 1.1.11 C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xácđịnh và liên tục trên [a, b], −∞ < a < b < +∞

kxk = max

a≤t≤b|x(t)|

(iii) Không gian C[a,b] là không gian Banach

(iv) Tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] nên

C[a,b] là không gian tách được

Định nghĩa 1.1.12 Không gian C[a,b]n gồm tất cả các hàm x(t) xác địnhtrên đọan [a, b] và có đạo hàm liên tục đến cấp n, với chuẩn được xácđịnh bởi

kxk = max

a≤t≤b(|x(t)|, |x0(t)|, , |xn(t)|)1.2 Một số kiến thức về Giải tích

1.2.1 Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.2.1 Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng

+∞

P

n=0

an(x − x0)n,trong đó x0, a0, a1, , a2 là những số thực

Điểm x0 là tâm của chuỗi lũy thừa Để ý rằng chuỗi lũy thừa luôn luônhội tụ tại điểm x = x0

Nếu đặt y = x − x0 thì ta có thể đưa chuỗi về dạng

+∞

P

n=0

anyn chuỗi cótâm tại y = 0

Các tính chất của chuỗi lũy thừa

Định lý 1.2 Giả sử chuỗi lũy thừa

+∞

P

n=0

anxn có bán kính hội tụ R>0,khi đó tổng S(x) của nó là hàm liên tục trong khoảng hội tụ (−R, R).Định lý 1.3 Giả sử chuỗi lũy thừa

+∞

P

n=0

anxn có bán kính hội tụ R>0,khi đó tổng S(x) của nó là hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] nằm trongkhoảng hội tụ (−R, R) và

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x ∈ [a, b]

và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho với mỗi y cố địnhthuộc Y hàm f (x, y) khả tích trong đoạn [a, b]

Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số

Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật

D = [a, b] × [c, d] = {(x, y), a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Định lý 1.4 Nếu mỗi hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữnhật D thì tích phân phụ thuộc tham số I(y) = Rabf (x, y)dx là một hàmliên tục trong đoạn [c, d]

Định lý 1.5 Giả sử hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữnhật D, liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d] Hơnnữa f (x, y) có đạo hàm riêng ∂f

∂y(x, y) liên tục trên D Khi đó tích phânphụ thuộc tham số

1.2.3 Công thức khai triển Taylor

Giả sử hàm số y = f (x) có tất cả các đạo hàm đến cập n + 1 (kể cảđạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a Khi đócông thức khai triển Taylor của hàm số f (x) tại điểm x = a là:

f (x) = f (a) + f

0(a)1! (x − a) +

f00(a)2! (x − a)

2 + f

000(a)3! (x − a)

Cho hàm f xác định và liên tục trên [a, b] do đó f khả tích trên [a, b]

Ta chia đoạn [a, b] thành n phần

Trong đó Ak, xk tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,

Rn(ϕ) là phần dư của công thức cầu phương

Nếu như chọn công thức hình thang, chúng ta có:

1.4 Định nghĩa phương trình tích phân phi tuyến Volterra

-Fredholm loại hai

Định nghĩa 1.4.1 Toán tử F tuyến tính tác động từ không gian

XT vào không gian XT được gọi là toán tử kiểu Fredholm

Phương trình tích phân Fredholm là phương trình có dạng

Định nghĩa 1.4.2 Toán tử V tuyến tính tác động từ không gian

Xt(0 ≤ t ≤ T ) vào không gian XT được gọi là toán tử kiểu Volterra

Phương trình tích phân Volterra là phương trình có dạng

trong đó K(t, s) là hạch của toán tử tích phân

1.4.4 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra - Fredholm

K2(x, t)F2(u(t))dt là toán tử Fredholm

Từ nay về sau ta giả thiết X = C[a,b]

Chương 2

Một số phương pháp giải xấp xỉ

phương trình tích phân phi tuyến

Volterra - Fredholm loại hai

(Kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [2], [6], [7], [8])

2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dựa trên điều kiện Lipschitz2.1.1 Định lý tồn tại nghiệm

Giả sử X là không gian Banach, M và N là hai toán tử tác động trongX

(f là phần tử bất kì cho trước thuộc X)

Định lý 2.1 Giả sử các toán tử M và N thỏa mãn các điều kiện sau

1 kM (u1) − M (u2)k ≤ αku1 − u2k

2 kN (u1) − N (u2)k ≤ βku1 − u2k

3 0 < α + β < 1

Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u∗, u∗ là giới hạn của dãy

un được xác định theo công thức:

un+1 = M un+N un+f, n = 0, 1, 2, (2.2)Trong đó u0 tùy ý thuộc X và ta có công thức đánh giá sai số:

Vì 0 < q < 1 nên A là ánh xạ co từ X vào X

Theo nguyên lý ánh xạ co, toán tử A có một điểm bất động u∗ thỏa mãn

Au∗ = u∗ hay f + M u∗ + N u∗ = u∗

Áp dụng định lý 2.1 vào giải phương trình Volterra - Fredholm

Xét X = C[a;b], M, N là hai toán tử tác động trong X Xét phương trình

⇒ max |N (u1) − N (u2)| ≤ k3k4(b − a)ku1 − u2k

⇔ kN (u1 − N (u2)k ≤ βku1 − u2k, trong đó β = k3k4(b − a)

⇔ kA(u1) − A(u2)k ≤ (α + β)ku1 − u2kNếu 0 < α + β < 1 khi đó A là ánh xạ co Do vậy phương rình có nghiệmduy nhất u∗ thỏa mãn A(u∗) = M (u∗) + N (u∗) = u∗

Khi đó phương trình có dạng u = Au

Ta có sin(u(t)) là hàm khả vi liên tục trong [0; 1] nên theo định lý grange, tồn tại một hằng số c1 ∈ [0; 1] để

La-| sin(u1(t)) − sin(u2(t))| = |(cos c1)(u1(t) − u2(t))| ≤ |u1(t) − u2(t)|

Tương tự cos(u(t)) là hàm khả vi liên tục trong [0; 1] nên theo định lýLargrange, tồn tại một hằng số c2 ∈ [0; 1] để

| cos(u1(t)) − cos(u2(t))| = |(cos c2)(u1(t) − u2(t))| ≤ |u1(t) − u2(t)|

10 < 1kAu1 − Au2k ≤ kM u1 − M u2k + kN u1 − N u2k

≤ αku1 − u2k + βku1 − u2k

= (α + β)ku1 − u2khay kAu1 − Au2k ≤ qku1 − u2k

1 0

3

6 , cos y ≈ 1 −

y22

Ví dụ 2.2 Giải phương trình Volterra - Fredholm bằng phương phápchuỗi

a0 = 1, a1 = 2

3, a2 = 0, a3 = a4 = = 0Vậy phương trình có nghiệm u(x) = 1 + 2

2.2.2 Phương pháp phân tích Adomian

Phương pháp phân tích Adomian sử dụng việc phân tích hàm chưabiết u(x) thành tổng vô hạn các số hạng:

đến nghiệm chính xác nếu nghiệm của phương trình Volterra - Fredholmtồn tại Tổng riêng u(x) =

Một phần của f (x) được gán cho u0(x), phần còn lại của f (x) được cộngvào u1(x) của phương pháp Adomian

- Fredholm tồn tại Tổng riêng u(x) =

N

P

n=0

un(x) cho ta nghiệm xấp xỉcủa phương trình nên u(x) ≈

N

P

n=0

un(x)

(Nguồn từ tài liệu [6].)

Ví dụ 2.4 Giải phương trình tích phân Volterra - Fredholm bằng phápAdomian:

Nhập vế phải của phương trình trên vào phần mềm Maple ta nhận được

2.3 Phương pháp hội tụ đơn điệu

(Kiến thức trong mục này được tham khảo từ tài liệu [8])

2.3.1 Các định lý về bất đẳng thức tích phân

Bổ đề 2.1 : Giả sử hàm ϕ(t, s; u)(0 ≤ t, s ≤ T ; |u| < γ ≤ ∞; hơnnữa nếu γ hữu hạn thì dấu < có thể thay bởi ≤ ) liên tục và không giảmtheo u, u0(t) liên tục trên [0; T ] Hàm v(t)(0 ≤ t ≤ T ) liên tục và thỏamãn bất đẳng thức tích phân

Định nghĩa 2.1 Ta nói hàm ϕ(t, s; u)(0 ≤ t, s ≤ T ; |u| < γ)

thỏa mãn điều kiện (µ), nếu phương trình

có nghiệm xác định trên [0; T ] với mỗi giá trị cho trước δ ∈ [0; µ]

Định nghĩa 2.2 : Nghiệm lớn nhất của phương trình (2.19) được gọi

là nghiệm trên của phương trình đó

Định lý 2.2 Giả sử ϕ(t, s; u)(0 ≤ t, s ≤ T ; |u| ≤ γ < ∞) liên tục

và không giảm theo u và thỏa mãn điều kiện (µ) với µ đủ nhỏ, giả sử

Chứng minh: với mỗi n cố định ta kí hiệu Wn(t) là nghiệm trên củaphương trình tích phân

Giả sử v(t)(0 ≤ t ≤ T ) thỏa mãn bất đẳng thức tích phân (2.21).Khi đó v(t) ≤ u(t), trong đó u(t) là nghiệm trên của phương trình (2.19)xác định trên [0; T ]

Nhận xét: Điều giả thiết của định lý vẫn còn đúng trong trường hợpnếu giả thiết rằng ϕ(t, s; u) khả tích s, liên tục theo t và u.

Từ định lý 2.3 suy ra định lý 2.4 như một rường hợp riêng

Định lý 2.4 Giả sử hàm liên tục v(t)(0 ≤ t ≤ T ) thỏa mãn bất đẳngthức tích phân

mà không phải là hệ quả của định lý 2.3

Định lý 2.5 Giả sử hàm v(t) liên tục không âm và thỏa mãn bấtđẳng thức tích phân

ε≤s≤t≤T t−s≥ε,0<t≤T

w(t, s) = β(ε), β(ε) < ∞Khi đó v(t) ≤ C.C∗(0 ≤ t ≤ T ) trong đó C∗ là một hằng số không phụthuộc C

-V (t) = max

0≤τ ≤tv(τ ) ≤ C.C∗,

ta có điều phải chứng minh.

Bây giờ ta sẽ chứng minh một số định lý về Bất đẳng thức tích phânVolterra-Fredholm

Định lý 2.6: Giả sử các hàm

ϕi(t, s; u)(0 ≤ t, s ≤ T ; |u| ≤ γ < ∞, i = 1, 2)liên tục và không giảm theo u và thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Với mỗi hàm liên tục cố định w0(t)(0 ≤ t ≤ T ; |w0(t)| ≤ γ) và với mỗi

ε1(t) là nghiệm trên của phương trình tích phân Volterra

Như vậy dãy {εn(t)} không bị chặn dưới bởi v(t) nên tồn tại giới hạn

lim

n→∞εn(t) = ε(t)Chuyển qua giới hạn trong (2.25) ta được ε(t) là nghiệm của phươngtrình (2.24) Dễ chứng minh được ε(t) là nghiệm trên Cuối cùng cho

n → ∞ trong (2.26) ta được điều phải chứng minh.

Định lý 2.7 Giả sử các điều kiện của định lý 2.6 được thỏa mãn, trong

đó chỉ riêng điều kiện 1 được thay bởi điều kiện

Chứng minh: Xây dựng dãy hàm {εn(t)} bởi các đẳng thức: