Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)

Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN XUÂN LAI

VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC

VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-NĂM 2017

Người hướng dẫn khoa học:

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Quốc gia

- Trung tâm học liệu - Đại học Thái nguyên

- Thư viện Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái nguyên

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Vấn đề phân bố giá trị của hàm phân hình là một trong những bài toán trungtâm của giải tích phức Trong lĩnh vực đó, những kết quả về phân bố giá trị củahàm và đạo hàm có vai trò quan trọng Năm 1967, Hayman đưa ra giả thuyếtsau đây:

Giả thuyết Hayman Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn fn(z) f0 (z) 6= 1với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng

Hayman đã đặt ra câu hỏi tương tự cho hàm phân hình Vấn đề trên thu hút sựchú ý của nhiều nhà toán học Năm 2006, Giả thuyết Hayman đã được X.C.Nevo

- Sh.Pang - L.Zalcman giải quyết cho hàm phân hình

Giả thuyết Hayman làm nảy sinh vấn đề nhận giá trị của đạo hàm bậc cao củahàm nguyên, hàm phân hình

Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinnaxây dựng là vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng quađiều kiện ảnh ngược của ít nhất 5 điểm phân biệt (4 điểm) mà được gọi là Định

lý 5 điểm (Định lý 4 điểm) của Nevanlinna

Năm 1977, F.Gross đưa ra một ý tưởng mới là xét ảnh ngược của các tập hợpđiểm trong C∪ {∞} Ông đưa ra hai câu hỏi sau:

i) Tồn tại hay không tập S của C∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phân hìnhkhác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef(S) = Eg(S) ta có f = g?

ii) Tồn tại hay không hai tập Si, i = 1, 2 của C∪ {∞} để với bất kỳ các hàmphân hình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef(Si) = Eg(Si), i = 1, 2 ta có

f = g?

Năm 1982 F Gross và C.C Yang chứng tỏ tập S = {z ∈ C|z + ez = 0} là tập

U RSE Năm 1998, G.Frank và M.Reinders đã chứng minh định lí sau:

Định lí C Với mọi số nguyên n ≥ 11, c 6= 0, c 6= 1 tập hợp

là URS cho các hàm phân hình

Năm 2000, H.Fujimoto đã tổng quát hóa Định lí C cho các hàm nguyên, hàmphân hình trong trường hợp tính bội, không tính bội là tập U RS

Năm 2009, X Bai, Q Han và A Chen đã cải tiến kết quả của H.Fujimoto Năm

1995, P Li và C.C Yang đã đưa ra giả thuyết λM = 6, λE = 4, Hà Huy Khoái

đưa ra giả thuyết rằng λM = 7, ở đó kí hiệu

λM = inf#(S)|S là U RSM , λE = inf#(S)|S là U RSE

Ở đó #(S) là lực lượng của tập S

Cho đến nay số phần tử ít nhất của U RSM đã được thiết lập là 11

Đối với đạo hàm của hàm phân hình, Giả thuyết Hayman và vấn đề nhận giá trịcủa đa thức vi phân đã nảy sinh vấn đề xác định duy nhất M.L Fang và X.H.Hua,C.C Yang và X.H.Hua đã giải quyết đối với hàm nguyên, S.S.Bhoosnurmath –R.S.Dyavanal giải quyết đối với hàm phân hình

Định lí G Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và n, k làcác số nguyên dương với n > 3k + 8 Nếu (fn)(k) và (gn)(k) nhận 1CM

thì hoặc f = c1ecz, g = c2e−cz, ở đó c1, c2 và c là ba hằng số thỏa mãn

(−1)k(c1c2)n(nc)2k = 1 hoặc f = tg, với t là hằng số sao cho tn = 1

Trong những năm gần đây, Giả thuyết Hayman được đặt ra nghiên cứu cho cáchàm phân hình p-adic Năm 2008, J Ojeda đã nhận được kết quả sau:

Định lí H Cho f là hàm phân hình trên K, n > 2 là một số nguyên và a

∈ K− {0} Khi đó nếu fn(z) f0 (z) 6= a với mọi z ∈ K thì f là hằng

Năm 2011, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã tổng quát hóa kết quả của J.Ojedacho đa thức vi phân kiểu fn((f )(k))m Vũ Hoài An- Lê Thị Hoài Thu đã xét vấn

đề này trong trường hợp p-adic nhiều biến A.Escassut và J.Ojeda đã xem xétĐịnh lí H trong trường hợp n = 2

Nhằm góp phần hoàn thiện Giả thuyết Hayman trên trường p−adic và vấn đềnhận giá trị và duy nhất của Lý thuyết Nevanlinna, chúng tôi chọn tên luận án:"Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình"

Luận án đặt ra các vấn đề nghiên cứu sau đây:

Vấn đề 1: Thiết lập một tương tự Giả thuyết Hayman cho các đa thức vi phântrong trường hợp p-adic (đa thức vi phân p−adic.)

Vấn đề 2: Thiết lập định lý duy nhất đối với các đa thức vi phân p− adic.Vấn đề 3: Thiết lập lớp hàm phân hình có tập xác định duy nhất với số phần tử

bé hơn 11

2 Mục tiêu luận án

2.1 Chứng minh một tương tự của Giả thuyết Hayman đối với đa thức vi phân

p-adic dạng (fn)(k) và đa thức vi phân p-adic nhiều biến của các hàm nguyêndạng (Pn(f ))(k), ở đó P (f ) là đa thức kiểu Fecmart-Waring

2.2 Thiết lập định lý về sự xác định duy nhất đối với đa thức vi phân p-adicdạng (fn)(k), và đa thức vi phân p-adic nhiều biến kiểu Fermat-Waring

2.3 Chỉ ra một lớp hàm phân hình mà tập xác định duy nhất có số phần tử béhơn 11; xây dựng tập xác định duy nhất với 9 phần tử cho lớp hàm Weiestrasselliptic; đưa ra công thức hiện cho một đa thức duy nhất mạnh bậc 6

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu Giả thuyết Hayman, Định lí Nevanlinna p-adic và các tương

tự của nó, hàm phân hình, đa thức vi phân p−adic nhiều biến của các hàm

nguyên dạng (Pn(f ))(k).

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

Công cụ để giải quyết ba vấn đề nêu trên là các kiểu định lý chính thứ hai của

lý thuyết Nevanlinna và các tương tự p−adic của nó (Bổ đề 1.2.7) để đưa ra ướclượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm phân hình, các kiểu Bổ đề Borel

p−adic cho đa thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên (Bổ đề 2.2.5)

5 Ý nghĩa khoa học của luận án

Luận án góp phần hoàn thiện và làm sâu sắc, phong phú thêm Lý thuyết phân

bố giá trị của Nevanlinna, Giả thuyết Hayman của đạo hàm bậc cao đối với hàmphân hình, đa thức vi phân nhiều biến và ứng dụng vào bài toán về tập xác địnhduy nhất đối với hàm nguyên, hàm phân hình trên trường không Acsimet

6 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án gồm ba chương :Chương 1: Chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu đối với Vấn đề 1, Vấn đề

2 Kết quả là hai định lí 1.2.9, 1.3.7 Kết quả đã được đăng trong bài báo xuấtbản 2012, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp

Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu Vấn đề 1, Vấn đề 2 cho đa thức vi phân nhiềubiến trên trường không Acsimet Kết quả chính là các Định lý 2.2.12, Định lý2.3.3, Ví dụ 2.3.4, Ví dụ 2.3.5 Đây là các ví dụ về đa thức duy nhất, nó khác với

đa thức duy nhất được xây dựng bởi H.X.Yi, G.Frank-M.Reinder và H.Fujimoto.Các kết quả này đã được đăng trong bài báo đã xuất bản năm 2017, ComplexVariables and Elliptic Equations

Chương 3: Trong chương này chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu Vấn đề

3 Chúng tôi chỉ ra lớp hàm phân hình có tập xác định duy nhất với số phần tử

bé hơn 11, xây dựng tập xác định duy nhất có 9 phần tử cho lớp hàm Weiestrasselliptic, và đưa ra công thức hiện cho đa thức duy nhất mạnh bậc 6

Nội dung của chương được viết trong bài báo(đang chờ nhận đăng) Kết quảchính là Định lý 3.2.9, Định lí 3.3.3, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6 Các kết quảnày góp phần trả lời chưa chọn vẹn giả thuyết của Hà Huy Khoái là: số phần tử

ít nhất của tập xác định duy nhất thiết lập được là 7

Chương 1

Vấn đề nhận giá trị và duy nhất với tác động bội của không điểm và cực điểm đối với đa thức vi phân dạng (f n ) (k)

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu vấn đề duy nhất và Giả thuyết Haymancho hàm phân hình p−adic Nội dung của chương này được viết trong bài báo:Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp, xuất bản 2012, và Tạp chí Khoa học

và Công nghệ Việt Nam, xuất bản 2017

1.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Định nghĩa 1.1.1 Hàm chỉnh hình f trên K được gọi là một hàm nguyên.Hàm f trên K, được gọi là hàm phân hình nếu f = f1

f 2 , với f1 và f2 là các hàmnguyên trên K không có không điểm chung

Định nghĩa 1.1.2 Cho f là hàm nguyên trên K và a ∈ K, ta gọi hàm đếmkhông điểm của f − a (hay hàm đếm không điểm của hàm f tại a) tính cả bộitrên đĩa Dr = {z ∈ K : |z| ≤ r} là hàm, xác định

Giả sử k là số nguyên dương Định nghĩa hàm µf,k) từ K vào N xác định bởi

1.2 Giả thuyết Hayman đối với hàm phân hình trên trường khôngAcsimet

Trong phần này chúng tôi nghiên cứu vấn đề nhận giá trị của các hàm phân hình

p−adic dạng (fn)(k) Trong mục này chúng tôi đã thiết lập được các bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.4 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên K và n, k là các sốnguyên dương, n > k và giả sử a là cực điểm của f Khi đó

1 (f

n)(k)(z)

fn−k(z) =

hk(z)(z − a)pk+k, ở đó p = µ∞f (a), hk(a) 6= 0;

trong trường hợp đặc biệt (fn)(k) là khác hằng

Bổ đề 1.2.7 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên K và n, k là các sốnguyên dương, n ≥ k + 2, a ∈ K, a 6= 0 Khi đó

n − k − 2

n + k T (r, f ) ≤ N1(r,

1(fn)(k) − a) − log r + O(1).

Bổ đề 1.2.8 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên K và a ∈ K, a 6= 0 Giả

sử mỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f có bội ít nhất là s (tươngứng, l) Khi đó

Định lý 1.2.9 Cho f là hàm phân hình trên K, thoả mãn điều kiện

(fn)(k)(z) 6= 1, với mọi z ∈ K và n là các số nguyên dương, k là số nguyênkhông âm Nếu n ≥ k + 2, thì f là hàm hằng

Hệ quả 1.2.10 Cho f là hàm phân hình trên K, thoả mãn điều kiện

(fn)0(z) 6= 1 với mọi z ∈ K và với số nguyên dương n Khi đó f là hàmhàm hằng, nếu n ≥ 3

1.3 Vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên trường không simet

Ac-Trong phần này nghiên cứu vấn đề duy nhất cho hàm phân hình p−adic dạng

(fn)(k) Kết quả thu được là Định lý 1.3.7 Trước hết ta cần các bổ đề sau

Bổ đề 1.3.1 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng K Nếu Ef(1) =

Eg(1), thì có một trong ba hệ thức sau đây xảy ra:

1 T (r, f ) ≤N1(r, f ) + N1,(2(r, f ) + N1(r, 1

f) + N1,(2(r,

1

f) + N1(r, g) + N1,(2(r, g)+ N1(r, 1

Bổ đề 1.3.2 Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên K Nếu

Ef(1) = Eg(1) thì một trong ba trường hợp sau đây là đúng

Từ các bổ đề trên, ta có tương tự Định lý Yang C.C- Hua X.H

Định lý 1.3.4 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên K Giả

sử mỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là l (tươngứng, s) và n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm thỏa mãn n ≥3k + 4(1s + 1l) và E(fn ) (k)(1) = E(gn ) (k)(1) Khi đó f = αg với αn = 1, α ∈ K

Định lý sau đây là mở rộng Định lý 2.6 của Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An(trong

"Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their tives", Ann Fac Sc Toulouse, Vol XX, Special Issue, pp 135-149, (2011) )cho đạo hàm cấp cao của hàm phân hình p−adic

deriva-Định lý 1.3.5 Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K Giả sửmỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là s(tương ứng,l), n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm, n ≥ 9k + 7(1s + 1l) và

E(fn ) (k)(1) = E(gn ) (k)(1) Khi đó f = αg với αn = 1, α ∈ K.

Định lý 1.3.6 Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K Giả sửmỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là s (tươngứng, l)

1 f = cg, với cn = 1, c ∈ K nếu một trong hai điều kiện sau đây thỏa mãn

1 Chứng minh được Vấn đề nhận giá trị của hàm phân hình siêu việt trêntrường p− adic dạng (fn)(k)

2 Chứng minh được Vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức vi phân dạng

(fn)(k) theo bội của không điểm và cực điểm của f để tìm được điều kiện giữa

n và k

Chương 2

Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với

đa thức vi phân nhiều biến trên trường không Acsimet

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu vấn đề 1, vấn đề 2 Nội dung của chươngđược viết trong bài báo: Complex Variables and Elliptic Equations, xuất bảnnăm 2017

Kết quả chính của chương này là Định lí 2.2.12, Định lí 2.3.3, Bổ đề 2.2.5 Định

lí 2.2.12 cho ta một tương tự của Giả thuyết Hayman đối với đa thức vi phânnhiều biến Định lí 2.3.3 là kết quả của Vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phânnhiều biến

2.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Trong chương này, ta ký hiệu K là trường đóng đại số đặc số 0, đầy đủ với chuẩnkhông tầm thường, không Acsimet ký hiệu bởi | | và Pn(K) là không gian xạảnh n chiều trên K

Định nghĩa 2.1.1 Đường cong chỉnh hình từ K vào Pn(K) là ánh xạ

là một biểu diễn rút gọn của f, và được ký hiệu là f = (f˜ 1, , fn+1)

Định nghĩa 2.1.2 Cho đường cong chỉnh hình f từ K đến Pn(K) với biểudiễn rút gọn f = (f˜ 1, , fn+1) Ta gọi f là không suy biến tuyến tính nếu ảnhcủa f không chứa trong mọi siêu phẳng của Pn(K), nghĩa là không tồn tại dạngtuyến tính L của biến z1, , zn+1 sao cho L( ˜f ) = 0

Định nghĩa 2.1.3 Cho q, n là các số nguyên dương với q ≥ n + 1.Ta nói rằng

các siêu mặt H1, , Hq của Pn(K) nằm ở vị trí tổng quát nếu Tn+1

i=1 Hji = ∅,

với mỗi tập con {j1, , jn+1} ⊂ {1, , q}

Định nghĩa 2.1.4 Ta gọi q đa thức của n + 1 biến (q ≥ 1) là các đa thức ở

vị trí tổng quát nếu n + 1 đa thức bất kì trong đó không có không điểm chung

trong Kn+1− {0}

Bây giờ xét q dạng tuyến tính của n + 1 biến ở vị trí tổng quát:

Li = Li(z1, , zn+1) = αi,1z1 + αi,2z2+ · · · + αi,n+1zn+1, i = 1, 2, , q

Giả sử d, k, m, s ∈ N, m < s, giả sử ai, bi ∈ K, ai, bi 6= 0 Định nghĩa q − 1 đa

Cho H là siêu mặt của Pn(K), xác định bởi phương trình F = 0 Giả sử rằng

ảnh của f không chứa trong H Ta định nghĩa hàm đặc trưng của f xác định

Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên K và nếu a ∈ K∪ ∞, ta nói

rằng f và g nhận giá trị a IM (không tính bội) nếu f và g nhận giá trị a tại

cùng một điểm Nếu f và g nhận giá trị a tại cùng một điểm và có cùng bội, thì

ta nói rằng f và g nhận a CM (tính bội)

2.2 Vấn đề nhận giá trị và tương tự Giả thuyết Hayman đối với đa

thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên không Acsimet

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu vấn đề nhận giá trị đối với đa thức vi phân

của các hàm nguyên trên trường không Acsimet Kết quả thu được Định lí 2.2.12

Chúng tôi đã thiết lập được bổ đề kiểu Borel dưới đây:

Bổ đề 2.2.5 Cho d, n, k ∈ N∗, qi ∈ N và cho zd−qi

i Di(z1, z2, , zn+1) là đathức thuần nhất bậc dở vị trí tổng quát, 1 ≤ i ≤ n+1sao cho fd−qi

Khi đó có khẳng định dưới đây:

là phụ thuộc tuyến tính trên K

Tiếp theo chúng tôi đưa ra các bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.6 Cho d, n, k ∈ N∗ thoả mãn d ≥ n2+ n + k − 1 Giả sử ai ∈ K, i =

1, , n + 1 là các hằng số khác không và f1, , fn+1 là các hàm nguyên kháchằng trên K thoả mãn [a1f1d + a2f2d + · · · + an+1fn+1d ](k) = 0 Khi đó có sựphân tích chỉ số {1, , n + 1} = ∪Iv sao cho

i Mỗi Iv chứa ít nhất trong 2 chỉ số;

ii Với mỗi j, i ∈ Iv; fi = cijfj, ở đó cij là các hằng số khác không

Bổ đề 2.2.7 Cho n, n1, n2, , nq, q ∈ N∗, a1, , aq, c ∈ K, c 6= 0 và q ≥2+Pqi=1 ni

n Khi đó có phương trình hàm (f −a1)n1(f −a2)n2 (f −aq)nq = cgn

vô nghiệm đối với các hàm phân hình khác hằng (f, g)

Bổ đề 2.2.8 Cho s, m ∈ N∗, và s ≥ 2m + 8 Giả sử f1, f2, g1, g2 là các hàmnguyên trên K, không đồng nhất không, và thoả mãn điều kiện

f1s− af1s−mf2m + bf2s = c

ở đó a, b, c ∈ K là các hằng số khác không Khi đó f1

f2 là hằng số khác không

Bổ đề 2.2.9 Cho s, m ∈ N∗, thoả mãn s ≥ 2m + 8 và giả sử a1, b1, a2, b2, c ∈

K, là các hằng số khác không Giả sử f1, f2, g1, g2 là các hàm nguyên trên K,

Định lý 2.2.10 Cho P (f1, , fn+1) được xác định như trong (2.1), ở đó

f1, , fn+1 là độc lập tuyến tính trên K Giả sử rằng d ≥ q2 − 3q + k + 2,

s ≥ 2m + 8, và m ≥ 3, hoặc m = 2 và s là số lẻ Khi đó P(k)(f1, , fn+1)

nhận mọi giá trị a ∈ K

Định lý 2.2.11 Cho P (f1, , fn+1) được xác định như trong (2.1), ở đó

f1, , fn+1 là độc lập tuyến tính trên K Giả sử rằng d ≥ q2− 2q, s ≥ 2m + 8,

và m ≥ 3, hoặc m = 2 và s là số lẻ Khi đó P (f1, , fn+1) nhận mọi giá trị

a ∈ K

Định lý 2.2.12 Cho P (f1, , fn+1) được xác định như trong (2.1) , ở đó

f1, , fn+1 là độc lập tuyến tính trên K Giả sử rằng s ≥ 2m + 8 và m ≥ 3,hoặc m = 2, s là số lẻ Khi đó P(k)(f1, , fn+1) nhận mọi giá trị a ∈ K nếu

một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

1 k > 0 và d ≥ q2− 3q + k + 2;

2 k = 0 và d ≥ q2− 2q

Sau đây chúng tôi đưa ra một tương tự Giả thuyết Hayman cho họ các hàmnguyên trên K

Hệ quả 2.2.13 Cho P (f1, , fn+1) được xác định như trong (2.1), ở đó

f1, , fn+1 là các hàm nguyên trên K Giả sử rằng s ≥ 2m + 8 và m ≥ 3,hoặc m = 2 và s là số lẻ, k là số nguyên không âm và một trong hai điềukiện sau đây thỏa mãn:

Định lý 2.3.1 Cho P (f1, , fn+1) và P (g1, , gn+1) được xác định như trong(2.1), ở đó (f1, , fn+1), (g1, , gn+1) là hai hệ (n+1) các hàm nguyên là độclập tuyến tính Giả sử rằng k là số nguyên dương, s ≥ 2m + 8, b2di 6= bdjbdl với

Định lý 2.3.2 Cho P (f1, , fn+1) và P (g1, , gn+1) được xác định như trong(2.1), ở đó (f1, , fn+1), (g1, , gn+1) là hai hệ (n+1) các hàm nguyên là độc