Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)

Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN XUÂN LAI

VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC

VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

NGUYỄN XUÂN LAI

VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC

VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫncủa GS TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An Các kết quả viết chungvới tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án.Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳcông trình khoa học của ai khác

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2017

Tác giảNguyễn Xuân Lai

Lời cảm ơn

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình củaGS.TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An Tác giả luận án xin bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các thầy

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạoĐại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại họcThái Nguyên và các Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệmkhoa Toán cùng toàn thể giảng viên trong khoa, Bộ môn Giải tích và Toánứng dụng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trìnhhọc tập nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng HảiDương, các giảng viên trong Khoa Giáo dục Tiểu học đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu luận án.Tác giả xin chân thành cám ơn PGS.TSKH Trần Văn Tấn, PGS.TSKH

Tạ Thị Hoài An là hai cán bộ phản biện cùng các nhà khoa học trong Hộiđồng đánh giá luận án cấp cơ sở đã đọc và góp ý, sửa chữa luận án đượchoàn thiện tốt hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminartại Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm -ĐHTN,Trường Đại học Thăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương đã luôn giúp

đỡ, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình bố, mẹ,

vợ cùng hai con trai những người đã chịu nhiều vất vả và dành hết tìnhcảm yêu thương, động viên, chia sẻ, để tác giả hoàn thành được luận án

Tác giảNguyễn Xuân Lai

Mục lục

Mở đầu 1Chương 1 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất với tác động bội củakhông điểm và cực điểm đối với đa thức vi phân dạng (fn)(k) 121.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ 131.2 Giả thuyết Hayman đối với hàm phân hình trên trường khôngAcsimet 151.3 Vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên trường không Acsimet23

Chương 2 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với đa thức viphân nhiều biến trên trường không Acsimet 402.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ 412.2 Vấn đề nhận giá trị và tương tự Giả thuyết Hayman đối với đa thức

vi phân nhiều biến của các hàm nguyên không Acsimet 422.3 Vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân nhiều biến kiểu Fermat-Waring 55

Chương 3 Tác động của bội không điểm, cực điểm lên lực lượngcủa tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình phức 633.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ 643.2 Tác động của bội không điểm, cực điểm lên lực lượng của tập xácđịnh duy nhất đối với hàm phân hình phức 663.3 Tập xác định duy nhất với số phần tử bé hơn 11 của các hàm phânhình có bội của không điểm, cực điểm lớn hơn 1 79

Giả thuyết Hayman[42] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn fn(z) f0 (z)6= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm nguyên siêuviệt và n > 1, đã được J.Clunie[17] kiểm tra đối vớin = 1 Hayman đã đặt

ra câu hỏi tương tự cho hàm phân hình Giả thuyết này có mối liên hệ giữaphân bố giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó Vấn đề trên thuhút sự chú ý của nhiều nhà toán học, và được mở rộng theo nhiều hướngkhác nhau Năm 2006, Giả thuyết Hayman đã được X.C.Nevo - Sh.Pang -L.Zalcman[51] giải quyết cho hàm phân hình

Liên quan đến Giả thuyết Hayman là vấn đề nhận giá trị của đa thức viphân Chú ý rằng, fnf0 = 1

n + 1(f

n+1)0 Khi đó, Giả thuyết Hayman làmnảy sinh vấn đề vấn đề nhận giá trị của đạo hàm bậc cao của hàm nguyên,hàm phân hình ([30], [31])

W.Hennekemper[44], H.H.Chen[16] và Y.F.Wang([65], [66]) đã chứng minhđịnh lí sau:

Định lí A.Cho f là hàm nguyên siêu việt trên C và n, k là các số nguyêndương với n ≥ k + 1 Khi đó (fn)(k) nhận giá trị phức khác 0 bất kì vô hạnlần

Năm 2007, S.S.Bhoosnurmath-R.S.Dyavanal[14] đã đưa ra định lí sau đây:Định lí B [14] Cho f là hàm phân hình siêu việt trên C và n, k là các

số nguyên dương với n ≥ k + 3 Khi đó (fn)(k) nhận giá trị phức khác 0

bất kì vô hạn lần

Vào những thập niên đầu của thế kỷ XX, Nevanlinna đã giải quyết vấn

đề phân bố giá trị của hàm phân hình thông qua lý thuyết phân bố giátrị được ông xây dựng Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý thuyếtphân bố giá trị là vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình kháchằng qua điều kiện ảnh ngược của ít nhất 5 điểm phân biệt (4 điểm) màđược gọi là Định lý 5 điểm (Định lý 4 điểm) của Nevanlinna Và ta nói làvấn đề duy nhất kiểu thứ nhất

Năm 1977, F.Gross đưa ra một ý tưởng mới là xét ảnh ngược của các tậphợp điểm trong C∪ {∞} Ông đưa ra hai câu hỏi sau:

i) Tồn tại hay không tập S của C∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phânhình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef(S) = Eg(S) ta có f = g?

ii) Tồn tại hay không hai tập Si, i = 1, 2 của C∪ {∞} để với bất kỳcác hàm phân hình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef(Si) = Eg(Si),

i = 1, 2 ta có f = g?

Ta nói vấn đề xác định duy nhất theo ý tưởng của F.Gross là vấn đềduy nhất kiểu thứ hai Nhiều tác giả đã nghiên cứu vấn đề này dựa trênhai hướng chính:

Hướng thứ nhất là tìm các tập xác định duy nhất với số phần tử bénhất có thể có

Hướng thứ hai là tìm các đặc trưng của tập xác định duy nhất

Năm 1982 F Gross và C.C Yang chứng tỏ tập S = {z ∈ C|z + ez = 0}

là tập U RSE ; gần đây U RSE và U RSM với hữu hạn phần tử được tìmthấy bởi H.X.Yi[63], P Li và C.C Yang[49], E.Mues và M.Reinders[50],G.Frank và M.Reinders[23], H.Fujimoto[24]

Theo hướng thứ nhất thì H.X.Yi đã dùng các ước lượng hàm Nevanlinna

để chứng minh tập SY = {z ∈ C|zn+ azm + b = 0} với các điều kiệnkhác nhau của n, m, a, b là U RS Năm 1998, G.Frank và M.Reinders[23]

Năm 2000, H.Fujimoto[24] đã tổng quát hóa Định lí C như sau:

Giả PF(z) là đa thức bậc q không có nghiệm bội với tập nghiệm là SF Taviết

PF0 = q(z − d1)q1 (z − dk)qk,

với k là chỉ số đạo hàm của P (z) và q1 + + qk = q − 1

Đa thức khác khôngP (z) được gọi là thỏa mãn điều kiện (H) nếuP (dl) 6=

P (dm), với mọi 1 ≤ l < m ≤ k

Đa thức khác khôngP (z) được gọi là thỏa mãn điều kiện (G) nếu P (d1) + + P (dk) 6= 0

Định lí D Giả sử hoặc k ≥ 3 hoặc k = 2 và min(q1, q2) ≥ 2 và PF(z) là

đa thức duy nhất mạnh bậc q thỏa mãn điều kiện (H) ở trên

(i) Nếu q ≥ 2k + 6 thì SF là tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình.(ii) Nếu q ≥ 2k + 12 thì SF là tập xác định duy nhất cho các hàm phânhình không tính bội

(iii) Nếu q ≥ 2k + 2 thì SF là tập xác định duy nhất cho các hàm nguyên.(iv) Nếu q ≥ 2k + 5 thì SF là tập xác định duy nhất cho các hàm nguyênkhông tính bội

Năm 2009, X Bai, Q Han và A Chen[8] đã cải tiến kết quả của H.Fujimoto[24].Năm 1995, P Li và C.C Yang[49] đã đưa ra ký hiệu

λM = inf #(S)|S là U RSM , λE = inf #(S)|S là U RSE

Ở đó #(S) là lực lượng của tập S

Và hai ông đã đưa ra giả thuyết λM = 6, λE = 4 Hà Huy Khoái[36] đưa

ra giả thuyết rằng λM = 7 Cho đến nay số phần tử ít nhất của U RSM

đã được thiết lập là 11 Các phương pháp được dùng trong các bài báo đóbao gồm các đánh giá của hàm đặc trưng Nevanlinna Cũng trong[23] cáctác giả đã chú ý rằng theo phương pháp của họ không nhận được U RSM

với số phần tử bé hơn 11

Từ đó, vấn đề xác định duy nhất theo hai kiểu nói trên đã được mở rộng,nghiên cứu liên tục và mạnh mẽ với kết quả của H.Fujimoto, M.Shirosaki,M.Ru, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà Huy Khoái, Đỗ Đức Thái, Trần VănTấn, Tạ Thị Hoài An, Sĩ Đức Quang, A.Escassut, Phạm Việt Đức, Hà TrầnPhương, F.Gross và C.C.Yang, H.X.Yi, B.Shiffman, C.C.Yang-X.H.Hua,E.Mues- M.Reinders, P.Li, An.T.T.H, Wang.J.T-Y,Wong.P-M.,

Đối với đạo hàm của hàm phân hình, Giả thuyết Hayman và vấn đề nhậngiá trị của đa thức vi phân đã nảy sinh vấn đề xác định duy nhất Ngườikhởi xướng hướng nghiên cứu này là M.L Fang và X.H.Hua[21], C.C Yang

và X.H.Hua[58] Họ đã chứng minh định lí sau:

Định lí E([21], [58]) Cho f, g là hai hàm nguyên khác hằng trên C và

n ≥ 6 là số nguyên dương Nếu fnf0 và gng0 nhận 1CM thì hoặc f =

c1ecz, g = c2e−cz, ở đó c1, c2 và c là ba hằng số thỏa mãn (c1c2)n+1c2 = −1

hoặc f = tg, với t là hằng số sao cho tn+1 = 1

Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển với những kết quả sâu sắc củaI.Lahiri, Q.Han – H.X.Yi, W.Bergweiler, J.K.Langley, K.Liu, L.Z.Yang,L.C.Hong, M.L.Fang, B.Q.Li, P.C.Hu - C.C.Yang, A.Eremenko, G.Frank

X.Hua – R.Vaillancourt, S.S.Bhoosnurmath – R.S.Dyavanal, C.C.Yang X.H.Hua,

-Chú ý rằng mỗi định lí nhận giá trị của hàm sẽ nhận được một định lí duynhất Chẳng hạn, hai định lí sau đây lần lượt là các định lí tương ứng vớiĐịnh lí A, Định lí B

Định lí F[22] Cho f, g là hai hàm nguyên khác hằng trên C và n, k làcác số nguyên dương với n > 2k + 4 Nếu (fn)(k) và (gn)(k) nhận 1CM

thì hoặc f = c1ecz, g = c2e−cz, ở đó c1, c2 và c là ba hằng số thỏa mãn

(−1)k(c1c2)n(nc)2k = 1 hoặc f = tg, với t là hằng số sao cho tn = 1

Định lí G[14] Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và n, k

là các số nguyên dương với n > 3k + 8 Nếu (fn)(k) và (gn)(k) nhận 1CM

thì hoặc f = c1ecz, g = c2e−cz, ở đó c1, c2 và c là ba hằng số thỏa mãn

(−1)k(c1c2)n(nc)2k = 1 hoặc f = tg, với t là hằng số sao cho tn = 1

Trong những năm gần đây, Giả thuyết Hayman được đặt ra cho các hàmphân hình p-adic Năm 2008, J Ojeda[54] đã nhận được kết quả sau:Định lí H[54] Cho f là hàm phân hình trên K, n > 2 là một số nguyên

và a ∈ K− {0} Khi đó nếu fn(z) f0 (z) 6= a với mọi z ∈ K thì f là hằng.Năm 2011, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An[30] đã tổng quát hóa kết quảcủa J.Ojeda[54] cho đa thức vi phân kiểu fn((f )(k))m Vũ Hoài An- Lê ThịHoài Thu[5] đã xét vấn đề này trong trường hợp p-adic nhiều biến

Năm 2014, A.Escassut và J.Ojeda[19] đã xem xét Định lí H trong trườnghợp n = 2

Gần đây, K Boussaf - A.Ecassut – J.Ojeda[13] đã bắt đầu nghiên cứu Vấn

đề duy nhất của các hàm phân hình p-adic: f0P0(f ), g0P0(g) nhận mộthàm nhỏ.

Quan sát Định lí A, B, E, G ta thấy rằng từ số mũ n của hàm có thểsuy ra rằng: bội của không điểm, bội của cực điểm của f ít nhất là n Córất nhiều lớp hàm được quan tâm nghiên cứu có cực điểm với bội d ≥ 2

Chẳng hạn lớp hàm Weiestrass elliptic(xem[67]) sau đây:

Vấn đề 1: Thiết lập một tương tự Giả thuyết Hayman cho các đa thức viphân trong trường hợp p-adic (đa thức vi phân p−adic.)

Vấn đề 2: Thiết lập định lý duy nhất đối với các đa thức vi phân p− adic.Vấn đề 3: Tìm các lớp hàm phân hình có tập xác định duy nhất với sốphần tử bé hơn 11

2 Mục tiêu luận án

2.1 Chứng minh tương tự Giả thuyết Hayman cho các đa thức vi phân

p-adic dạng (fn)(k) và đa thức vi phân nhiều biến p−adic của các hàmnguyên dạng (Pn(f ))(k), ở đó P (f ) là đa thức kiểu Fecmart-Waring.2.2 Thiết lập được định lí về sự xác định duy nhất đối với đa thức viphân p− adic dạng (fn)(k), với điều kiện được xét gồm n, k và bội củakhông điểm, cực điểm của hàm phân hình f; và đa thức vi phân nhiềubiến p−adic kiểu Fecmart-Waring

2.3 Chỉ ra lớp hàm phân hình có tập xác định duy nhất S với số phần

tử bé hơn 11, có sự tác động bội của không điểm và cực điểm lên lực lượngcủa S; xây dựng tập xác định duy nhất có 9 phần tử cho lớp hàm hàmWeiestrass elliptic, đưa ra công thức hiện cho đa thức duy nhất mạnh bậc

6

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu Giả thuyết Hayman, Định lí Nevanlinna p- adic vàcác tương tự của nó, hàm phân hình, đa thức vi phân nhiều biến p−adiccủa các hàm nguyên dạng (Pn(f ))(k) Trong luận án, ta luôn giả thiết K

là một trường đóng đại số, đặc số 0, đầy đủ với chuẩn không Acsimet

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

Công cụ và phương pháp để giải quyết vấn đề của luận án là các kiểu định

lý chính thứ hai của Nevanlinna và các tương tự p−adic của nó (Bổ đề1.2.7) để đưa ra ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của đạo hàm bậccao với hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm phân hình ban đầu, các kiểu

Bổ đề Borel p−adic cho đa thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên(Bổ đề 2.2.5)

5 Ý nghĩa khoa học của luận án

Luận án góp phần hoàn thiện và làm sâu sắc, phong phú thêm Lý thuyếtphân bố giá trị của Nevanlinna, Giả thuyết Hayman đối với hàm phân hình

p- adic và đa thức vi phân nhiều biến và ứng dụng bài toán về tập xácđịnh duy nhất đối với hàm nguyên, phân hình trên trường không Acsimet

6 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận ánđược viết gồm ba chương :

Chương 1: Chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu đối với Vấn đề 1, Vấn

đề 2 Chúng tôi nghiên cứu để đưa ra ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàmđếm của đạo hàm bậc cao Thiết lập Bổ đề 1.2.7, Bổ đề 1.3.3 từ đó chứngminh Định lí 1.2.9, Định lí 1.3.7

Định lí 1.2.9 Cho f là hàm phân hình trên K thoả mãn điều kiện

(fn(z))(k) 6= 1 với mọi z ∈ K và n là số nguyên dương, k là số nguyênkhông âm Nếu n ≥ k + 2 thì f là hàm hằng

Định lí 1.3.7 sau đây là một kết quả cho Vấn đề nghiên cứu thứ hai Chúngtôi đã sử dụng công cụ là các kiểu Định lí chính thứ hai trong trường hợp

p-adic có xét đến bội của không điểm và cực điểm của hai hàm f, g

Định lí 1.3.7 Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K Giả sửmỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là s (tươngứng, l) và n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm Khi đó

1 f = cg với cn = 1, c ∈ K nếu một trong hai điều kiện sau đây thỏa

n = 1, c ∈ K nếu một trong hai điều kiện

sau đây thỏa mãn

(i) Efn(1) = Egn(1) và n ≥ 4(1s + 1l);

(ii) Ef n(1) = Eg n(1) và n ≥ 7(1s + 1l)

Định lí 1.3.7 chúng tôi tìm được điều kiện giữa n, k đối với các lớp hàm

có bội của không điểm hoặc cực điểm lớn hơn hoặc bằng 2 Khi bội khôngđiểm và cực điểm ít nhất là 2 thì điều kiện n, k là n ≥ 3k + 4

Từ đây ta có tương tự Giả thuyết Hayman trên trường p−adic như sau:Giả thuyết Hayman p-adic Nếu một hàm phân hình f trên K thỏamãn (fn(z))(k) 6= 1, với n ≥ k + 1, và n, k là một số nguyên dương nào đó

và với mọi z ∈ K thì f là hằng

Định lí 1.2.9 là một kết quả cho Vấn đề nghiên cứu thứ nhất, góp phầnkhẳng định Giả thuyết Hayman p-adic là đúng với n ≥ k + 2 Các kết quảnày đã được đăng trong bài báo[32]

Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu Vấn đề 1, Vấn đề 2 cho đa thức vi phânnhiều biến trên trường không Acsimet Chúng tôi thiết lập được định lí vềvấn đề nhận giá trị và duy nhất của đa thức vi phân nhiều biến của cáchàm nguyên, thiết lập bổ đề kiểu Borel cho đa thức vi phân p-adic nhiềubiến (Bổ đề 2.2.5) Kết quả chính của chương được trình bày ở các Định

lý 2.2.12, Định lý 2.3.3, Ví dụ 2.3.4, Ví dụ 2.3.5

Ta đưa ra khái niệm đa thức nhiều biến của các hàm nguyên sau

Bây giờ xét q dạng tuyến tính của n + 1 biến ở vị trí tổng quát:

Li = Li(z1, , zn+1) = αi,1z1 + αi,2z2 + · · · + αi,n+1zn+1, i = 1, 2, · · · , q

Giả sử d, k, m, s ∈ N, m < s và giả sử ai, bi ∈ K, ai, bi 6= 0 Định nghĩa

q − 1 đa thức thuần nhất bậc s:

Pi(z1, , zn+1) = Lsi+1 − aiLs−mi+1 Lm1 + biLs1, i = 1, , q − 1

Cho các hàm nguyên f1, , fn+1 đặt

P (f1, , fn+1) = P1d(f1, , fn+1) + · · · + Pq−1d (f1, , fn+1) (2.1)

Kết quả thu được về vấn đề nhận giá trị và duy nhất cho đa thức vi phân

p-adic nhiều biến là hai định lí sau:

Định lí 2.2.12 Cho P (f1, , fn+1) được xác định như trong (2.1), ở đó

f1, , fn+1 là độc lập tuyến tính trên K Giả sử rằng s ≥ 2m + 8 và m ≥ 3

hoặc m = 2 và s là số lẻ Khi đó P(k)(f1, , fn+1) nhận mọi giá trị a ∈ K

nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn

1 k > 0 và d ≥ q2 − 3q + k + 2;

2 k = 0 và d ≥ q2 − 2q

Định lí 2.3.3 Cho P (f1, , fn+1) và P (g1, , gn+1) được xác định nhưtrong (2.1), ở đó (f1, , fn+1), (g1, , gn+1) là hai hệ (n+1) các hàmnguyên độc lập tuyến tính Giả sử rằng k là số nguyên không âm, s ≥2m + 8, b2di 6= bd

Đây cũng là kết quả mới đầu tiên cho vấn đề nhận giá trị, vấn đề xác địnhduy nhất đối với đa thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên p-adic.Các kết quả này đã được đăng trong bài báo[33]

Chương 3: Trong chương này chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu Vấn

đề 3 Chúng tôi thiết lập tập xác định duy nhất với số phần tử bé hơn 11của các hàm phân hình có bội của không điểm, cực điểm lớn hơn 1 Chỉ

ra một ví dụ cho lớp hàm Weiestrass elliptic có tập xác định duy nhất với

phần tử ít nhất của tập xác định duy nhất thiết lập được là 7.

Cho một tập con S = {a1, a2, · · · , aq} ⊂ C với các giá trị phân biệt, ta

xét đa thức tổng quát ở dạng dưới đây

R(z) = (z − a1)(z − a2) (z − aq) (3.1)

Giả sử đạo hàm củaR(z) có k không điểm phân biệt d1, d2, · · · , dk với bội

q1, q2, · · · , qk tương ứng Giả sử rằng

R(di) 6= R(dj), 1 ≤ i < j ≤ q (3.2)

Các kết quả chính của chương 3 là các định lí sau

Định lí 3.2.9 Giả sử f và g là hai hàm phân hình (tương ứng, hàmnguyên) và m là số nguyên dương, hoặc ∞ Giả sử R(z) là đa thức duynhất mạnh ở dạng (3.1) thỏa mãn điều kiện (3.2) với R0(z) = qzm1(z −

d2)m2 (z−dk)mk Giả sử rằngq ≥ 5, k ≥ 3, hoặck = 2và min{m1, m2} ≥

2, và Ef,m)(S) = Eg,m)(S), và mọi không điểm (tương ứng, cực điểm) của

f và g có bội ít nhất là s (tương ứng, l) Khi đó f = g nếu một trong cácđiều kiện dưới đây là thỏa mãn:

Cho n, p là số nguyên dương và giả sử a, b ∈ C là các hằng số khác không.

Eg,m)(S), và mọi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f và g có bội ítnhất là s ( tương ứng, l) và p > 1 +1l, np > p + n Khi đó f = g nếu mộtđiều kiện của hệ (I)và một điều kiện của hệ (II) dưới đây thỏa mãn

Định lí 3.3.5 chỉ ra sự tác động của bội không điểm, cực điểm lên số phần

tử của tập xác định duy nhất đã được xây dựng từ đa thức duy nhất mạnh

đã được thiết lập Định lí 3.3.6 cho ta tập xác định duy nhất với 7 phần

tử, 8 phần tử, 9 phần tử, 11 phần tử đối với các hàm phân hình có bộicủa không điểm, cực điểm được chọn một cách phù hợp Chẳng hạn với,

k = 2 và có cực điểm bội ít nhất là 2 (lớp hàm Weiestrass elliptic là một

ví dụ) thì từ Định lí 3.3.5 ta thiết lập được tập xác định duy nhất của lớphàm này

Kí hiệu Fs,l là lớp các hàm phân hình có các không điểm và cực điểm bội

ít nhất s, l tương ứng, ta nhận được định lý sau

Định lí 3.3.6 Cho P(z) là đa thức thỏa mãn điều kiện (3.21) với tậpnghiệm là S Khi đó S là tập xác định duy nhất cho Fs,l, nếu một trongcác điều kiện sau đây được thỏa mãn:

Bộ môn Giải tích, khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên; Tại các Seminar định kì của nhóm nghiên cứu tại Trường Đại họcThăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương.

Chương 1

Vấn đề nhận giá trị và duy nhất với tác động bội của không điểm và cực điểm đối với đa thức vi phân dạng

Năm 1967, Hayman[42] đã đưa ra giả thuyết: nếuf (z) là hàm nguyên trên

C thoả mãn fn(z)f0(z) 6= 1, thì f (z) là hàm hằng Năm 1997, C.C.Yang

- X.H.Hua[58] đã nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên

C ở dạng fnf0 Trong chương này chúng tôi nghiên cứu vấn đề duy nhất

và Giả thuyết Hayman cho hàm phân hình p−adic

Nội dung của chương này được viết trong bài báo [32], [1] Cụ thể là:

1 Nghiên cứu vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình trên trườngkhông Acsimet

2 Nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên trường khôngAcsimet

Kết quả của chương này là đưa ra một số định lý về nhận giá trị và duynhất của hàm phân hình p−adic dạng (fn)(k), (gn)(k) Chúng tôi thu đượcĐịnh lý 1.2.9, Hệ quả 1.2.10 và Định lý 1.3.7

1.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Trong chương này, ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, có đặc số 0,đầy đủ với giá trị tuyệt đối không tầm thường không Acsimet ký hiệu bởi

| |, và log là hàm logarit cơ sốρ > 1, với ρ là số thực và lnlà hàm logarit

có cơ số e

Định nghĩa 1.1.1 Hàm chỉnh hìnhf trên K được gọi là một hàm nguyên.Hàm f trên K, được gọi là hàm phân hình nếu f = f1

f 2 , với f1 và f2 là cáchàm nguyên trên K không có không điểm chung

Hàm đặc trưng của hàm phân hình ([45], pp.33-46)

Cho hàm nguyên khác hằng f (z) trên K, biểu diễn dưới dạng chuỗi luỹthừa

Với mỗi r > 0, ta ký hiệu |f |r = max{|an|rn, 0 ≤ n < ∞}

Bây giờ giả sử f = f1

Tương tự đối với các hàm phân hình khác hằng trên K ta định nghĩa

Trong phần này chúng tôi nghiên cứu vấn đề nhận giá trị của các hàmphân hình p−adic dạng (fn)(k) Trước hết ta cần một số khái niệm và bổ

Với hai hàm phân hình f, g trên K, ký hiệu N (r, f1; g 6= 0) là hàm đếmkhông điểm của f, nhưng không là không điểm của g, ở đó không điểmcủa f được tính cả bội.

Bổ đề 1.2.2 ([45], pp.21 ) Cho f là hàm nguyên khác hằng trên K Khiđó

Bổ đề 1.2.5 Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên K và n, k là các

số nguyên dương, n > k và a, b là cực điểm và không điểm của f, tươngứng Khi đó

1 (fn)(k)(z)

fn−k(z) =

hk(z)(z − a)pk+k, ở đó p = µ∞f (a), hk(a) 6= 0;

Do đó

(fn)(k)(z)

fn−k(z) =

hk(z)(z − a)pk+k, hk(z) = ϕk(z)

Bổ đề 1.2.5 được chứng minh.

Bổ đề 1.2.6 Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên K và n, k là các

số nguyên dương, n ≥ k + 1 Khi đó

T (r, f ) ≤ T (r, (fn)(k)) + O(1),

trong trường hợp đặc biệt (fn)(k) là khác hằng

Chứng minh Đặt A = (fn)(k) − 1 Viết (fn)(k) = fn−kP, với P là hàmchứa f, f(k) Khi đó, ta có

Chứng minh Từ n ≥ k + 2 ta có n−k−2n+k ≥ 0 Vì n ≥ k + 2, từ Bổ đề1.2.6 chỉ ra rằng (fn)(k) khác hằng

Áp dụng Bổ đề 1.2.3 cho (fn)(k) với giá trị ∞, 0 và a ta có

T (r, (fn)(k)) ≤ N1(r, (fn)(k))+N1(r,(fn1) (k))+N1(r,(fn )1(k) −a)−log r+O(1).

Ký hiệu bởi N (r, f(k)1 ; f 6= 0) là hàm đếm các không điểm của f(k) nhưngkhông là không điểm của f, ở đó mỗi không điểm của f(k) được tính cảbội Viết (fn)(k) = fn−kP Khi đó

P

fk = (f

n)(k)

fn

Ta thấy rằng bất kỳ cực điểm nào của fPk đều là cực điểm của (ffn)n(k), và nếu

z0 là một cực điểm của (ffn)n(k), thì z0 cũng là cực điểm của f hoặc là khôngđiểm của f Theo Bổ đề 1.2.4 và Bổ đề 1.2.5 ta thấy rằng nếu a, b là cựcđiểm và không điểm của f, tương ứng thì (fn)(k)

n − k − 1 N (r,

1(fn)(k))

n − k − 1N (r,

1(fn)(k)) + kN1(r, f )+ k + 1 − (k + 1)

n N1(r, f ) + O(1).

Hơn nữa, nếu a là một cực điểm của f với bội p thì a là cực điểm của

Bổ đề 1.2.7 được chứng minh

Bổ đề 1.2.8 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên K và a ∈ K, a 6= 0

Giả sử mỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f có bội ít nhất là s(tương ứng, l) Khi đó

Chứng minh Từ f là khác hằng, suy ra fn khác hằng Áp dụng Bổ đề1.2.3 cho fn với các giá trị ∞, 0, a ta có

Định lý 1.2.9 Cho f là hàm phân hình trên K, thoả mãn điều kiện

(fn)(k)(z) 6= 1, với mọi z ∈ K và n là các số nguyên dương, k là số nguyênkhông âm Nếu n ≥ k + 2, thì f là hàm hằng

Từ f là hàm khác hằng, ta thấy T (r, f ) → ∞ khi r → ∞ Từ điều này

và n ≥ k + 2, ta có n − k − 2

n + k T (r, f ) + log r → ∞ khi r → ∞. Suy ra

N1(r,(fn)1(k)−1) → ∞ khi r → ∞ Vậy thì (fn)(k) − 1 có không điểm, tráigiả thiết Do đó f là hàm hằng

Trường hợp 2 Với k = 0 Áp dụng Bổ đề 1.2.8 ta có điều chứng minh

Từ Định lý 1.2.9, áp dụng k = 1 ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.2.10 Cho f là hàm phân hình trên K, thoả mãn điều kiện

(fn)0(z) 6= 1 với mọi z ∈ K và với số nguyên dương n Khi đó f là hàmhàm hằng, nếu n ≥ 3

Chú ý Thật vậy, trong [53], Định lý 3 chỉ ra rằng f0+ f4 có ít nhất mộtkhông điểm mà không là không điểm của f, ở đó f là hàm khác hằng Do

đó đặt g(x) = f (x)1 , ta kiểm tra rằng g2g0 lấy giá trị 1 ít nhất một lần Do

g2g0 = 13(g3)0, ta nhận được (g3)0 lấy giá trị 1 ít nhất một lần Như vậytrường hợp n = 3, k = 1 của Định lý 1.2.9 ta có tương tự trong [53]

1.3 Vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên trường khôngAcsimet

Trong phần này nghiên cứu vấn đề duy nhất cho hàm phân hình p−adicdạng (fn)(k), và chứng minh được kết quả tương tự Định lý của C.C.Yang

- X.H.Hua Kết quả thu được là Định lý 1.3.7 Trước hết ta cần các bổ đềsau

Bổ đề 1.3.1 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng K Nếu

Ef(1) = Eg(1), thì có một trong ba hệ thức sau đây xảy ra:

1 T (r, f ) ≤N1(r, f ) + N1,(2(r, f ) + N1(r, 1

f) + N1,(2(r,

1

f)+ N1(r, g) + N1,(2(r, g) + N1(r,1

Tiếp theo ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 L 6≡ 0 Do (1.4) nên tất cả các cực điểm của L đều cóbậc 1 Viết f = f1

Từ (1.7) ta suy ra F ”F0(a) 6= ∞ Do đó nếu a là một cực điểm nào đó của

f hoặc g với µ∞f (a) = µ∞g (a) = 1, thì

L(a) = [F ”

F0(a) −

G”

Bây giờ xétalà một không điểm củaf −1vớiµ1f(a) = l DoEf(1) = Eg(1)

nên g(a) = 1 và µ1g(a) = l Viết

F = F1(z − a)l, F1(a) 6= 0, F1(a) 6= ∞; G = G1

z − a

F2(z − a)2(F10(z − a) − F1)(G01(z − a) − G1)

Từ các đẳng thức trên và L không đồng nhất 0, ta nhận được nếu l = 1

thì L(a) = 0 và nếu l ≥ 2 thì L(a) 6= ∞

TừEf(1) = Eg(1), nếu f (a) = 1, g(a) = 1vàµ1f(a) = µ1g(a), thìL(a) = 0.Bây giờ ta xét các cực điểm của L Điều đó rõ ràng mọi cực điểm của L làbậc 1 Chúng ta dễ dàng nhìn từ (1.3) mỗi cực điểm đơn của f và g không

là cực điểm của L và cực điểm của L là một không điểm của f0 và g0 vàcực điểm tính cả bội của f và g

Trường hợp a ac 6= 0 Khi đó ta có

f − a

c ≡

b − adc

Bổ đề 1.3.2 Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên K Nếu

Ef(1) = Eg(1) thì một trong ba trường hợp sau đây là đúng

1 T (r, f ) ≤ N2(r, f ) + N2(r, 1

f) + N2(r, g) + N2(r,

1

g) + 2(N1(r, f )+ N1(r, 1

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Bổ đề 3.2([6])

Bổ đề 1.3.3 Cho f là hàm phân hình khác hằng K và n, k là các số nguyêndương, n > 2k Khi đó

Định lý 1.3.4 Cho f vàg là hai hàm phân hình khác hằng trên K Giả sửmỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là l (tươngứng, s) và n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm thỏa mãn

A)

Giả sử f có không điểm Giả sử a là không điểm của f với µ0f(a) = m,

m ≥ 1 Khi đó a là cực điểm của g với µ∞g (a) = q, q ≥ 1 sao cho

nm − k = nq + k và n(m − q) = 2k Từ điều này và do n ≥ 3k + 4(1s +1l)

ta có mâu thuẫn Bằng lập luận tương tự, ta có g 6= 0, f 6= ∞, g 6= ∞

Do f, g là khác hằng ta nhận được mâu thuẫn

Trường hợp 3 (fn)(k) = (gn)(k) Khi đó fn = gn+ S, ở đó S là đa thứcbậc < k Ta chứng minh S ≡ 0

2log r − 2(k − 1) log r ≤ O(1).

Mặt khác, f là khác hằng nên ta nhận được T (r, f ) ≥ log r + O(1) Do đó

Định lý sau đây là mở rộng Định lý 2.6 của Hà Huy Khoái và Vũ HoàiAn[30] cho đạo hàm cấp cao của hàm phân hình p−adic.

Định lý 1.3.5 Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K Giả sửmỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là s(tươngứng, l), n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm, n ≥ 9k + 7(1s+1l)

f) + kT (r, f ) + kN1(r, f )) + N1(r, g) + N1(r, g) +

kT (r, g) + kN1(r, g) − log r + O(1)