Nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu và bài toán cân bằng véc tơ

Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM NGỌC SƠN NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Trang 1

Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM NGỌC SƠN

NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU

VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM NGỌC SƠN

NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU

VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ

Chyên nghành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2015

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới

sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS.TS Đỗ Văn Lưu

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả

Phạm Ngọc Sơn

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm

- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu Qua

đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn của

mình, PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đã đưa ra đề tài và tận tình hướng

dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu Đồng thời tôi xin trân trọng

bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học, Ban chủ

nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà

Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành luận

văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Văn hóa Thể thao và Du lịch, Sở Giáo dục

và đào tạo tỉnh Hòa Bình, trường Phổ thông Năng khiếu Thể dục Thể thao tỉnh

Hòa Bình, gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học

Toán K21b đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và

quá trình làm luận văn

Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn

không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận

tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tôi xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả

Phạm Ngọc Sơn

Trang 5

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Bố cục luận văn 2

Chương 1 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU CỦA MỘT TẬP ĐÓNG 3

1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Định lí 3

1.1.4 Định lí 6

1.1.5 Ví dụ 7

1.1.8 Định lí 8

1.1.9 Định lí 8

1.1.10 Định lí 9

1.2 Điểm siêu hữu hiệu của một đóng 9

1.2.1.Định nghĩa 9

Trang 6

1.3 Các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng 15

1.3.1 Định lý 15

1.3.2 Nhận xét 19

1.3.3 Ví dụ 19

1.3.4 Định lý 21

1.3.6 Định lý 22

Chương 2 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA NGHIỆM SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ 24

2.1 Kiến thức chuẩn bị 24

2.2 Các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ 26

2.2.1 Bổ đề 26

2.2.2 Định lý 26

2.2.3 Hệ quả 28

2.2.5 Mệnh đề 28

2.2.6 Định lý 30

2.2.7 Hệ quả 31

2.2.8 Định lý 32

2.2.9 Định lý 32

2.2.10 Hệ quả 32

2.2.11 Hệ quả 32

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

Trang 7

Trong lý thuyết của bài toán cân bằng vectơ cũng như trong lý thuyết tối ưu vectơ người ta thường xét các nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Pareto, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú và được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Zheng – Yang – Teo (2007) đã thiết lập các tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu trong tối ưu vectơ Gong (2011) đã chứng minh điều kiện đủ và các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Chính vì thế mà tôi chọn đề tài: “ Nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán tối ưu và bài toán cân bằng vectơ ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn trình bày các kết quả về các tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng của Zheng – Yang – Teo (2007) và các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ của Gong (2001)

Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lí thuyết tối ưu

Trang 8

Trình bày các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập

đóng trong không gian Banach của Zheng – Yang – Teo ([10], 2007) dưới ngôn ngữ nón pháp tuyến Clarke, trong đó nón thứ tự không phải giả thiết có

cơ sở bị chặn Chú ý rằng bài toán tối ưu hóa một tập là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng vectơ

Chương 2 Tính chất đặc trưng của nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ

Trình bày điều kiện đủ và tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ trong không gian Banach của Gong ([7], 2001) bằng cách sử dụng định lí phạm trù Baire

Trang 9

Chương 1 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA ĐIỂM SIÊU HỮU HIỆU

CỦA MỘT TẬP ĐÓNG

Trình bày các tính chất đặc trưng của điểm siêu hữu hiệu của một tập

đóng trong không gian Banach dưới ngôn ngữ nón pháp tuyến Clarke, trong

đó nón thứ tự không phải giả thiết có cơ sở bị chặn Các kết quả trình bày trong chương này là của Zheng – Yang – Teo ([10], 2007)

1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz

Giả sử X là một không gian Banach và X* là không gian đối ngẫu của X và f là hàm Lipschitz địa phương tại xX

Trang 10

Trang 11

f y t v f y t v

K v v t

Trang 12

(i) f x( ) lồi compact yếu* trong X và *  * K (  f x( ))

f x là hàm cộng tính, thuần nhất dương trên X

Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại hàm tuyến tính : X R sao cho

Trang 13

Bây giờ ta chứng minh f x( )compact yếu* , với

B K là compact yếu * (định lí Alaoglu),  f x( ) là đóng yếu*

(ii) Theo định nghĩa 1.1.3

Một cách tương tự, nếu x 0, f x    1

Xét trường hợp x0

Trang 14

(iv) Nếu X hữu hạn chiều thì f là nửa liên tục trên tại x

Nhắc lại: Cho hàm lồi f trên tập lồi mở U, ( :f U ), dưới vi phân của hàm lồi f tại x U được định nghĩa như sau:

Trang 15

1.2 Điểm siêu hữu hiệu của một đóng

Giả sử X là một không gian Banach và X* là không gian đối ngẫu của X Giả sử C là nón nhọn lồi đóng trong X xác định thứ tự bộ phận

Trang 16

trong đó B X là hình cầu đơn vị của X

Nghiệm siêu hữu hiệu có nhiều tính chất phong phú và được nghiên cứu rộng rãi

Ký hiệu SE(,C) là tập tất cả các điểm siêu hữu hiệu của  Ta biết rằng aSE,C nếu và chỉ nếu tồn tại M > 0 sao cho

trong đó B a , là hình cầu mở tâm a, bán kính 

Như vậy, aSE L,C nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số M,  0 sao cho

Trang 17

thiết  là lồi và C có một cơ sở bị chặn, Borwein và Zhuang  5 chứng minh rằng

(trong đó N c( , ) ký hiệu nón pháp tuyến Clarke), kết quả Borwein

và Zhuang có thể viết lại như sau:

Trang 18

Ta biết rằng C là cơ sở bị chặn nếu và chỉ nếu int  C Ø Khi bỏ giả thiết nón thứ tự có một cơ sở bị chặn, ta mở rộng được kết quả của Borwein

và Zhuang cho trường hợp  bán dưới trơn (semi-subsmooth) tại a (khái niệm này được định nghĩa ở dưới) Giả sử  là bán dưới trơn tại a Chúng ta

sẽ chứng minh rằng các mệnh đề sau tương đương:

Giả sử X là không gian Banach được trang bị thứ tự bộ phận bởi một nón lồi đóng C Với một tập con đóng A của X và a  A, giả sử T A a và  , 

là nón tiếp liên của A tại a:

 , : {h X : t n 0, n

T A a     h h với at h n nA

ta biết rằng T A a là một nón lồi đóng trong X còn c ,  T A a là một  , 

nón đóng có thể không lồi Giả sử N cA,a là nón pháp tuyến Clarke của A 

tại a

Trang 19

trong đó epi f   : u t,  X R: f u t (xem  1 )

Nếu f là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X ( f X: R), dưới vi phân Clarke của f tại x được xác định bởi

khác rỗng, lồi, compact yếu * và

Trang 20

Trang 21

Tập A được gọi là chính quy tại a (theo nghĩa Clarke) nếu

1.3 Các tính chất đặc trƣng của điểm siêu hữu hiệu của một tập đóng

Trong phần này ta giả sử  là tập con đóng của X và a chúng ta

sẽ trình bày các tính chất đặc trưng cho điểm siêu hữu hiệu

1.3.1 Định lý

Giả thiết rằng  là bán dưới trơn tại a Khi đó, các phát biểu sau là

tương đương:

(i) aSE L,C

Trang 22

(ii) Tồn tại M, (0,) sao cho

B là compact yếu *, cho

nên mỗi tập CnB X* N c,anB X* là compact yếu *, và do đó, đóng yếu *

C nB N  a nB là đóng theo chuẩn

Định lý phạm trù Baire khẳng định rằng một không gian Metric đầy

đủ thì thuộc phạm trù 2 Từ (1.13) và định lý phạm trù Baire ta suy ra

Trang 23

Trang 24

(i)  (iii): Giả sử rằng (i) đóng Khi đó, M, 0, sao cho

Trang 25

Từ chứng minh định lý 1.3.1 ta thấy rằng các suy luận (ii)  (i) và

(i)  (iii) không đòi hỏi giả thiết  là bán dưới trơn tại a Nhưng khi bỏ đi giả thiết  là bán dưới trơn tại a suy luận (iii)  (i) có thể không đúng

thậm chí trong không gian hữu hạn chiều Ví dụ sau đây minh họa điều đó

Trang 26

Do đó, T c, 0,0    0,0  Từ điều này và (1.9) ta suy ra

Trang 27

1

1 11

Chứng minh:

(i)  (iii) (v) suy ra từ định lý 1.3.1

(ii)  (i) và (iv)  (iii) là tầm thường

Ta chỉ còn phải chỉ ra (i)  (ii) và (iii) (iv)

Giả sử rằng (i) đúng Lấy M, O sao cho (1.7) đúng Giả sử x

Trang 28

Vì vậy, (i)  (ii) đúng

Tương tự ta có (iii)  (iv) đúng

Định lý được chứng minh

1.3.5 Nhận xét

Lấy X l C2,  x l2: mỗi tọa độ của x là không âm} và  C Như vậy, với kết quả của Borwein và Zhuang, ta không thể kiểm tra được rằng liệu 0 có là một điểm siêu hữu hiệu của  theo C hay không

Mặt khác, chú ý rằng 0intC N c,0 , bởi vì

 ,0

c

N   C  C và l2  C C Từ Định lý 1.3.4 suy ra 0SE,C Cuối cùng, ta xét trường hợp  là compact địa phương tại a (tức là tồn tại  0, sao cho   a B X là compact)

Ta biết rằng  là compact địa phương tại mỗi điểm của  nếu X là

Từ Định lý 1.3.4 suy ra (ii)  (iv)

Bởi vì (ii) (iii) là tầm thường, ta chỉ cần chỉ ra rằng (iii) (i)

Trang 29

Giả sử aSE L,C Khi đó, tồn tại dãy  x y n, n  trong   X

sao cho

,

n

x a x n  a C y nvà x n  a n y n , n (1.18) Bởi vì  là compact địa phương tại a, không mất tính chất tổng quát

Trang 30

Chương 2 TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA NGHIỆM

SIÊU HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ

Chương 2 trình bày điều kiện đủ và tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ trong không gian Banach bằng cách sử dụng định lý phạm trù Baire, trong đó nón thứ tự không phải giả thiết có cơ sở bị chặn Các kết quả trình bày trong chương này là cơ sở của Gong ([7], 2011)

2.1 Kiến thức chuẩn bị

Giả sử X là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y là không gian vectơ tôpô lồi địa phương thực, A là tập con của X và F: A A Y là song hàm

Xét bài toán cân bằng vectơ (viết tắt là VEP): tìm x A sao cho

 , \ 0 , 

F x y K  y A,

trong đó K là một nón lồi trong Y

Trong chương này, khi sử dụng định lý phạm trù Baire chúng tôi trình bày các tính chất đặc trưng cho nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ trong không gian Banach trong đó không phải giả thiết nón thứ tự có

cơ sở bị chặn

Giả sử X là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực và Y là không gian Banach thực, C là nón nhọn lồi đóng trong Y và giả sử Y* là không gian đối ngẫu tôpô trongY và nón C sinh ra thứ tự bộ phận trong Y được định nghĩa bởi

1 2 2 1

C được gọi là chuẩn tắc nếu U C  U C bị chặn, trong đó U

là hình cầu đơn vị đóng trong Y

Trang 31

là nón đối ngẫu của C

Với mỗi x A , ta ký hiệu

Ký hiệu là V SA F là tập các nghiệm siêu hữu hiệu (superefficient , 

solution) của bài toán (VEP)

Trang 32

Bài toán (VEP) bao gồm bài toán tối ưu vectơ như trường hợp đặc biệt nếu

Giả sửX là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực và Y là không gian

Banach thực Giả sử C là một nón nhọn lồi đóng trong Y

Từ định nghĩa của nghiệm siêu hữu hiệu, ta dễ dàng nhận được bổ

Trang 33

Y Từ (2.2) và định lý phạm trù Baire ta suy ra tồn tại

Trang 34

r

 Theo Bổ đề 2.2.1, ta có x0V SA F,  Điều này kết thúc chứng minh

Từ Định lý 2.2.2, ta nhận được hệ quả sau đây

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	0,92 MB