giải bài toán theo phương pháp quy nạp

PHẦN I : GIỚI THIỆU CHUNG 1.Lời dẫn Phương pháp quy nạp toán học là một trong những hình thức suy luận,hơn nữa, là một phương pháp chứng minh cổ điển trong toán học một số sử gia cho rằ

PHẦN I : GIỚI THIỆU CHUNG 1.Lời dẫn

Phương pháp quy nạp toán học là một trong những hình thức suy luận,hơn nữa, là một phương pháp chứng minh cổ điển trong toán học (một số sử gia cho rằng phương pháp này đã được sử dụng từ trước công nguyên bởi Plato,Aristotle) Có thể nói đây là một trong những phương pháp chứng minh cơ bản và hiệu quả, do đó việc đưa nó vào chương trình Toán trung học phổ thông là tất yếu Bên cạnh đó, việc thực hiện các bước chứng minh quy nạp còn giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ (tổng hợp, khái quát hóa)

Phép quy nạp được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và lý thuyết số Và phép quy nạp được coi là 1 tuyệt chiêu trong toán học Nó là một trong những phương pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo Quy nạp thường được dùng trong việc chứng minh một khẳng định nào đó Nhìn chung, giải bài toán theo phương pháp quy nạp nghĩa là đưa bài toán này thành 2 bài toán con nhỏ hơn để giải quyết Hai bài toán con nhỏ hơn này thường là : Phần 1: Là bài toán tương tự như bài toán đã cho, có giả thiết là trường hợp đặc biệt của giả thiết của bài toán ban đầu, Phần 1 thường được giải dễ dàng Phần 2: Ta chứng minh sau 1 phép biến đổi (*) giả thiết của bài toán tương tự như bài toán ban đầu thành một giả thiết khác, điều khẳng định vẫn còn đúng (Với điều kiện rằng sau 1 số lần hữu hạn thực hiện phép biến đổi (*) như vậy đối với giả thiết của Phần 1, ta thu được bài toán ban đầu, nhờ vậy bài toán ban đầu được chứng minh).Quy nạp toán học là một trong những nét đặc trưng của suy luận trong toán học Tư duy quy nạp rất cần thiết trong số học, đại số, tổ hợp, hình học và giải tích, nói chung là trong tất cả các lĩnh vực của toán học

2.Vai trò và chỗ đứng

“Tuy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của quy nạp cũng không phải là không quan trọng Vai trò của quy nạp thể hiện trong khi xây dựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng minh một định lí, có thể nói rằng những lúc các nhà toán học dùng phương pháp quy nạp là những lúc quan trọng trong sự phát triển toán học” Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn, suy luận ,chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tư duy độc lập sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh Điều này sẽ được trình bày rõ hơn trong phần sau của khoá luận này Là một sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đề đổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của khoa học kĩ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới phục vụ cho công

tác xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Phương pháp chứng minh quy nạp”

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phép quy nạp toán học và các bài toán liên quan

Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán sử dụng phương pháp quy nạp toán học

4 Phương pháp nghiên cứu

Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của bài tiểu luận) để thu thập thông tin và trình bày lại theo một thể khép kín; tập hợp các dạng toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài, tìm hiểu cách giải và phân loại

PHẦN II: PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP 1.Khái quát chung :

1.1.Khái niệm quy nạp:

- “Quy nạp” theo nghĩa đầu tiên của nó được dùng để chỉ các quy luật nhờ đó mà

thu được các kết luận tổng quát, dựa vào một loạt các khẳng định riêng biệt

- Quy nạp hoàn toàn là một mệnh đề tổng quát được chứng minh theo từng trường

hợp của một số hữu hạn các trường hợp có thể có

Ví dụ 1:: Chúng ta xác lập rằng : “ Mỗi số chẵn n trong khoảng [4;100]

đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố ”

Muốn vậy chúng ta phân tích:

4 = 2+2

6 = 3+3

8 = 5+3

10 = 7+3

12 = 7+5

98 = 93+5

100 = 97+3 Sau khi thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức này chứng tỏ rằng, thực tế mỗi số chẵn trong khoảng xét được biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố

-Quy nạp không hoàn toàn:

Trong trường hợp kết luận tổng quát rút ra không dựa trên sự kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra mà chỉ trên cơ sở một số đủ lớn các trường hợp thì ta có quy nạp không hoàn toàn

Quy nạp không hoàn toàn được vận dụng nhiều trong các khoa học thực nghiệm Chẳng hạn bằng cách đó người ta đã thiết lập nên định luật cơ bản bảo toàn khối lượng: định luật này được Lômônôxôp phát biểu và chỉ được thừa nhận khi Lavoadiê đã kiểm tra sự đúng đắn của nó với độ chính xác đủ lớn và trong các điều kiện đủ khác nhau

Trong toán học, quy nạp không hoàn toàn không được xem là một phương pháp chứng minh chặt chẽ, do đó nó chỉ được áp dụng rất hạn chế Bởi vì một mệnh đề

toán học bao hàm một số vô hạn các trường hợp riêng, nhưng con người ta không thể tiến hành kiểm tra một số vô hạn các trường hợp được.Chẳng hạn sau khi có kết quả đúng với 49 trường hợp như ở ví dụ 1, ta chưa thể đưa ra kết luận rằng, mọi số

tự nhiên chẵn đều có thể phân tích được thành tổng của hai số nguyên tố

Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn là một phương pháp “gợi mở” rất hiệu lực

để tìm ra chân lý mới Chúng ta hãy tham khảo một vài ví dụ

Ví dụ 2 Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên.

Chúng ta hãy xét các trường hợp riêng biệt:

+ với n=1 : 1=1 mà

2

1

1=

+ với n=2 : 1+3=4 mà

2

2

+ với n=3 : 1+3+5=9 mà

2 3

9 =

+ với n=4 : 1+3+5+7=16 mà

2 4

16 =

+ với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà

2 5

25 = Sau khi xét một số trường hợp riêng này, ta nảy ra kết luận tổng quát :

1+3+5+7+9+ +(2n-1) =

2

n

(1) tức là : “ tổng của n số lẻ liên tiếp đầu tiên bằng

2

n

”

Việc chứng minh kết luận này một cách chặt chẽ đã chứng tỏ kết luận này là đúng

Ví dụ 3: Tính tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp đầu tiên:

3 3

3 3

3 2

S n = + + + +

Ta xét các trường hợp riêng biệt:

1

13

1 = =

9 2

36 3 2

1 3 3 3

3 3 3 3

4 =1 +2 +3 +4

Do đó có thể nảy ra kết luận tổng quát :

2 )

3 2 1

S n = + + + +

(2) Tất nhiên, điều nhận xét trên không phải là sự chứng minh sự đúng đắn của các công thức (1) hay (2) ở phần sau, chúng ta sẽ làm quen với một phương pháp giúp chúng ta chứng minh được các công thức (1) và (2) là đúng

1.2.Phương pháp quy nạp toán học được sử dụng như thế nào ?

Phương pháp qui nạp thực sự có hiệu lực với lớp các bài toán chứng minh một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈

N

Nhìn chung, quy nạp hoàn toàn ít sử dụng hơn quy nạp không hoàn toàn ,quy nạp hoàn toàn chỉ dùng để chứng minh các bài toán quy nạp theo từng trường hợp của một số hữu hạn các trường hợp có thể có (theo ví dụ 1 ở trên).Mà như ta đã biết, đa số các bài toán quy nạp đều phải chứng minh trên tập hợp tất cả các số nguyên dương, do đó nếu dùng quy nạp hoàn toàn để chứng minh là một việc hết

sức khó khăn.Như vậy, quy nạp không hoàn toàn là một trong những con đường để

dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu một số hữu hạn các trường hợp riêng để tìm ra quy luật tổng quát Thế nhưng, như ta đã biết, quy nạp không hoàn toàn thường dẫn đến các kết quả sai

Ví dụ : Người ta nói :

Sắt là chất rắn

Đồng là chất rắn

Platin là chất rắn

Vàng là chất rắn

………

Sắt, đồng, Platin, vàng là kim loại

Kết luận quy nạp : “Tất cả cá kim loại đều là chất rắn” Kết luận này không đúng,

vì người ta có thể chỉ ra rằng thủy ngân là kim loại nhưng không phải là chất rắn Vậy làm thế nào để biết được quy luật tổng quát mà ta đưa ra là đúng đắn,chẳng

lẽ ta lại cứ thử tiếp, thử tiếp cho đến khi nào gặp một trường hợp riêng mà kết luận

đó không đúng Và lấy gì để đảm bảo rằng số lần thử là hữu hạn

Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế ta áp dụng một phương pháp suy luận đặc biệt được gọi là “ phương pháp quy nạp toán học”, cho phép thay thế những hình dung tìm tòi theo phương pháp quy nạp không hoàn toàn bằng sự chứng minh chặt chẽ

2 Cơ sở lý thuyết :

2.1 Nguyên lý quy nạp toán học: (Quy nạp cổ điển)

2.1.1.Cơ sở lý thuyết:

Một mệnh đề phụ thuộc vào n (

*

N

n∈

) được coi là đã được chứng minh với mọi

số n nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:

 Mệnh đề đúng với n = 1

 Từ sự đúng đắn của mệnh đề với một số tự nhiên n = k nào đó thì suy ra sự đúng đắn của nó với n = k+1.

2.1.2.Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 : Chứng minh với mọi số nguyên dương n : “Tổng của n số lẻ liên tiếp đầu

tiên bằng

2

n

” (chứng minh dự đoán ở ví dụ 2 trong phần 1.1 )

Bài giải :

Theo yêu cầu bài toán , ta chứng minh : 1+3+5+7+9+ +(2n-1) =

2

n

(1) Với n=1, ta có : 1=12 => (1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n=k, tức là : 1+3+5+7+9+ +(2k-1) = k2

Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n=k+1, tức là ta chứng minh :

1+3+5+7+9+ +(2k+1) = (k+1)2

Thật vậy,theo giả thiết quy nạp , ta có :

1+3+5+7+9+ +(2k+1) = 1+3+5+7+9+ +(2k-1) + (2k+1) = k2 +(2k+1) = (k+1)2

Vậy theo nguyên lí quy nạp thì (1) đúng với mọi số nguyên dương n

Bình luận : Lời giải trên không có gì đặc biệt ngoài kĩ năng nhóm số hạng tinh

tế để thành lập sự xuất hiện của giả thiết qui nạp ở bước n = k+1 dẫn đến giải quyết bài toán.

Ví dụ 2: CMR với mọi số nguyên dương n :

6

1 2 1 1

3

2

12 + 2 + 2 + + − 2 + 2 = n n+ n+

n n

(2)

Bài giải :

Khi n = 1, 12=1 , nên (2) đúng

Giả sử (2) đúng với n = k≥

1 , tức là :

Ta phải chứng minh (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là

Thật vậy :

==+

=

Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n thuộc N*

Bình luận : Lời giải trên không có gì đặc biệt ngoài kĩ năng nhóm số hạng tinh

tế để thành lập sự xuất hiện của giả thiết qui nạp ở bước n = k+1 dẫn đến giải quyết bài toán.

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau : x

y

+

= 1 1

Hướng dẫn :

Ta có : , = , , …,

Bây giờ ta tìm

)

(n

y

bằng quy nạp như sau :

Giả sử

( ) ( ) ( ) 1 1

! 1 + +

−

k k

x

k y

1

) 1 ( 2

, ( ) 1 (

) 1 (

)!

1 ( ) 1 ( )

1 (

) 1 )(

1 )(

1 (

!

+

+

+

−

=











 +

+ +

−

−

=

k

x

k x

x k

k y

y

Vậy =

 Bình luận : Phương pháp giải chung cho dạng toán này có thể phân làm hai bước như sau :

 Bước 1 : Tính đạo hàm cấp một , hai,ba,…,cho tới khi dự đoán được đạo hàm cấp n.

 Bước 2: Chứng minh đạo hàm cấp n đúng bằng qui nạp toán học

 Chú ý : Dạng này khi làm cần phải tính ít nhất đến đạo hàm cấp ba để việc dự đoán của chúng ta chính xác hơn.

 Qua các ví dụ trên ta thấy bài toán chứng minh đẳng thức bằng cách dùng phương pháp qui nạp toán học chỉ khó khăn và phức tạp ở phần cuối bước

2 , tức là chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1.Khi đó, từ đẳng thức cần chứng minh ứng với n=k+1,ta biến đổi khéo léo,(dùng kĩ thuật thêm bớt ,hoặc tách số hạng… ), để sử dụng được giả thiết đẳng thức đúng với n=k, tiếp tục thực hiện tính toán một số bước nữa ta sẽ có điều phải chứng minh.

2.1.3.Bài tập tự luyện :

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

a

c

d

Bài 2 : a) Chứng minh rằng số chia hết cho 9 với mọi số nguyên n

b) Chứng minh rằng s ố chia hết cho 23

Bài 3 :Tính đạo hàm cấp n của hàm số :

2.2.Quy nạp mạnh:

2.2.1.Cơ sở lý thuyết :

Nguyên lí quy nạp mạnh được mô phỏng theo sơ đồ sau :

Với mọi <=>

Sơ đồ quy nạp mạnh được minh họa bằng định lý (Thuật chia Euclide)

Nếu P(x), Q(x), Q(x) không đồng nhất 0, là các đa thức với hệ số thực thì tồn tại duy nhất cặp đa thức S(x), R(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

i) P(x) = Q(x).S(x) + R(x);

ii) deg R < deg Q

2.3.Quy nạp nhảy cách :

2.3.1.Cơ sở lý thuyết :

Nguyên lí quy nạp nhảy cách được mô phỏng theo sơ đồ sau :

Với mọi , A(n) <=>

2.3.2.Ví dụ minh họa :

Chúng ta đều đã đọc truyện hoặc xem phim Tây Du Ký Câu chuyện sau đây rút

từ chuyến đi kỳ vĩ của thầy trò Đường Tăng đến Tây Trúc

Vừa thoát khỏi kiếp nạn Bạch cốt tinh, thầy trò Đường tăng lại đi vào một vương quốc mới, gọi là vương quốc Ngũ Bát Sở dĩ có cái tên này là bởi vì Ngân hàng trung ương của Vương quốc này chỉ phát hành 2 loại tiền 5 quan (Ngũ) và 8 quan (Bát) Vương quốc này cũng chưa được phát triển lắm nên người dân ở đây chỉ biết phép tính cộng, không biết phép tính trừ Vì thế, khi bán hàng, nếu mình đưa thừa người ta sẽ không trả lại (còn đưa thiếu thì người ta không chịu - khôn lắm) Thầy trò Đường tăng đang đi tung tăng trong thành thì thấy một siêu thị có tên là

"Over 28" Thấy tên lạ lạ, họ bèn bước vào Nhân viên bảo vệ ra chặn lại, xem chừng không muốn cho vào Trư bát giới xông ra nói

- Sao không cho chúng ta vào?

Tay bảo vệ chỉ tay vào số 28 (nhị thập bát) nói: Ông có thấy số gì đây không?

- 28 à 28 tuổi mới được vào à Yên tâm đi nhé chú em Anh đây 360 tuổi rồi nhé

Còn ông anh đang gãi mông kia 720 tuổi Cái chú đang gánh hàng 240 Ngay cả con ngựa này cũng 130 tuổi rồi Trẻ nhất ở đây có lẽ là sư phụ của bọn anh, ôngấy vừa làm sinh nhật lần thứ 30 Các chú có cần xem chứng minh nhân dân không, loại mới

nhé, có cả tên bố mẹ

- Không, không, đây không phải tuổi, đây là

- Đây là gì (Trư bát giới kín đáo nhìn xa xôi)

- Đây là siêu thị mà mọi món hàng đều từ 28 quan trở lên Tôi thấy mấy ông nhà quê quá, sợ không đủ tiền nên không muốn cho vào

- Ấy, chú đừng nghĩ thế Bọn anh đây đều là con nhà có điều kiện nhé, tiền 5 quan,

8 quan bọn anh mới đổi ở cửa khẩu ních túi nhé

- Vậy xin mời các anh vào ạ

Bài toán: Chứng minh rằng thầy trò Đường tăng có thể mua đúng (tức là trả đúng

giá tiền) mọi món hàng ở trong siêu thị "Over 28"

Hướng dẫn:

Theo bài toán , ta xét 5 trường hợp đầu tiên:

 Mặt hàng giá 28 quan : 28=5*4+8*1 , bao gồm 4 đồng 5 quan và 1 đồng 8 quan

 Mặt hàng giá 29 quan : 29=5*1+8*3 , bao gồm 1 đồng 5 quan và 3 đồng 8 quan

 Mặt hàng giá 30 quan : 30=5*6 , bao gồm 6 đồng 5 quan

 Mặt hàng giá 31 quan : 31=5*3+8*2 , bao gồm 3 đồng 5 quan và 2 đồng 8 quan

 Mặt hàng giá 32 quan : 32=8*4 , bao gồm 4 đồng 8 quan

Ta chỉ xét 5 trường hợp đầu là đủ, ứng với N mua được thì N+5 cũng mua được Ngoài ra ,bài toán trên cũng có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp cổ điển Khi N mua đúng thì N+1 cũng mua đúng, nghĩa là cứ sau mỗi lần tăng lên 1 đồng , bằng một cách nào đó mà ta vẫn mua được mặt hàng, thật vậy :

 Nếu trong đó có 3 đồng 5 quan thì thay bằng hai đồng 8 quan

 Nếu trong đó có 3 đồng 8 quan thì thay bằng năm đồng 5 quan

 Nhận xét ,bình luận :

 Bài toán tuy dài nhưng ta cần để ý đến điểm mấu chốt của bài toán.

 Khi xét các trường hợp đầu tiên, cần để ý rằng khi xét đến trường hợp thứ 6, ứng với mức 33 quan, thì khi đó cách chi tiền có chút liên quan đến cách chi tiền ứng với mức 28 quan.

 Khi đó ta có thể vận dụng phép chứng minh quy nạp nhảy cách để giải bài toán.

2.4.Quy nạp lùi :

2.4.1.Lịch sử phép quy nạp lùi :

Quy nạp lùi là một dạng của phép chứng minh quy nạp (nó còn được gọi là “Quy nạp ki Cauchy”) ,do chính Cauchy sử dụng lần đầu khi chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân:

với mọi số nguyên dương n và với mọi bộ n số thực không âm

2.4.2.Cơ sở lý thuyết :

Cho là một dãy vô hạn các số nguyên dương mà Giả sử P(n) là một hàm mệnh đề

của biến n biến thiên trên tập hợp tất cả các số nguyên dương sao cho

đúng , với mọi

hơn nữa với mọi số nguyên dương ,nếu P(n) đúng thì P(n-1) cũng đúng Khi đó

P(n) đúng với mọi số nguyên dương n.

2.4.3.Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 : Chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân của Cauchy:

Với mọi số nguyên dương n và với mọi bộ n số thực không âm , ta có :

(1) Với n=1 , (1) hiển nhiên đúng

Với n=2 , <=> đ úng

Với n=4 , hay

Thật vậy, 4 =

Như vậy, đúng với mọi k, và đây chỉ mới là cơ sở quy nạp

Ta thực hiện bước lùi, tức là ta sẽ chứng minh P(n) đúng thì P(n-1) đúng.

Ta xét n-1 số thực không âm với n nguyên dương, có :

(*)

Ta áp dụng P(n) cho n số :

(**)

Chọn ,ta được :