Sáng kiến Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (file có thể chỉnh sửa)

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ C.Đánh giá kết quả đạt được Tài liệu tham khảo, các chuyên đề đã viết gần đây 15 KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY MÔN TOÁN THCS A.Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài Để đảm bảo phù hợp v

MỤC LỤC

ĐỀ TÀI:

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A.Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài

2 2 2 2 4 4 5 5 6 7 7 8 9 9 12

1.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1.1 Dạng tổng quát:

1.2 Nghiệm và số nghiệm của hệ:

1.2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ:

1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ:

1.2.3 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ:

2 GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI P.T BẬC

NHẤT HAI ẨN:

2.1 Dạng 1- Xác định số nghiệm của hệ phương trình

2.2 Dạng 2 - Giải hệ phương trình

2.3 Dạng 3- Rèn kỹ năng giải hệ phương trình bằng

cách đưa về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn

2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

2.4 Dạng 4 -Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương

trình

2.5 Dạng 5 - Một số bài toán về điều kiện nghiệm của

hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

C.Đánh giá kết quả đạt được

Tài liệu tham khảo, các chuyên đề đã viết gần đây 15

KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY MÔN TOÁN THCS

A.Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài

Để đảm bảo phù hợp với điều kiện thực tế của nhà trường, trong việc chỉ đạo hoạt động dạy học, trường THCS Tam Cường đã thực hiện việc dạy các chủ đề tự chọn bám sát cho môn Toán ở tất cả các khối lớp thông qua từng chuyên đề gắn với trọng tâm kiến thức.

Trong chương trình Đại số 9 – Học kỳ II, xác định kiến thức về hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn là một đơn vị kiến thức quan trọng Bởi lẽ:

Thứ nhất trên thực tế giảng dạy nhiều năm tự nhận thấy việc giải quyết các dạng toán liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn đối với học sinh lớp

9 : Thuần thục khi ở mức độ nhận biết song lại gặp những khó khăn ở mức độ vận dụng

Thứ hai, đây cũng là những nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng trong tài liệu của SGD để ôn thi vào lớp 10 THPT hàng năm

Thứ ba, có thể nhận thấy rằng liên thông kiến thức ở các bậc học thường được

xây dựng theo “hình xoắn ốc” Vì vậy cho thấy giải quyết tốt được vấn đề này là

cơ sở để học sinh có nhiều thuận lơi trong việc mở rộng tiếp cận với kiến thức hệ

phương trình trong chương trình Toán lớp 10

Và đây là cơ sở để tôi thực hiện chuyên đề “Hệ hai phương trình bậc nhất hai

ẩn”

B.Giải quyết vấn đề :

1.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1.1 Dạng tổng quát:

(I) { ax+by=c(1) ¿¿¿¿ Phương trình (1), (2) là các phương trình bậc nhất hai

ẩn x,y

1.2 Nghiệm và số nghiệm của hệ: xoay quanh 3 phương pháp sau đây

1.2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ:

* Cách thực hiện:

- Vẽ đường thẳng (1), (2).

- Số nghiệm của hệ (I) là số giao điểm của hai đường thẳng (1) và (2)

- Toạ độ giao điểm của (1) và (2) nếu có là nghiệm của hệ (I)

* Minh họa:

Vị trí tương

đối Đường thẳng (1) và (2)song song Đường thẳng (1) và(2) trùng nhau (2) cắt nhau tại 1 điểmĐường thẳng (1) và

duy nhất

Hình vẽ

Số nghiệm

của hệ Hệ phương trình vô nghiệm Hệ phương trình vô số nghiệm Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

* Xét dưới dạng đồ thị hàm số bậc nhất (tạm hiểu trong trường hợp có

thể đưa về được hay nói khác đi là các phép biến đổi sau đây đều có nghĩa )

thì: (1)<=> y=

−a

b x+

c

b và (2)<=> y =

−a' b' x+

c' b' Khi đó:

Vị trí

tương

đối

Đường thẳng (1) và

(2) cắt nhau tại 1 điểm

duy nhất

Đường thẳng (1) và (2) song song

Đường thẳng (1) và (2) trùng nhau

Số

nghiệm

của hệ

Hệ phương trình có

nghiệm duy nhất

Hệ phương trình vô nghiệm

Hệ phương trình vô số nghiệm

Mối

liên hệ

giữa

−a

b ≠

−a' b' =>

a a'≠

b b'

{ − a

− a' b' ¿ ¿¿¿

¿

¿ { − a

− a' b' ¿ ¿¿¿

¿

¿

các hệ

số

* Nhận xét:

+ Ưu điểm: Sử dụng phương pháp đồ thị khi giải quyết vấn đề về nghiệm

của hệ phương trình là thể hiện trực quan sinh động Bên cạnh đó tích hợp được nhiều kỹ năng đó là kỹ năng vẽ đồ thị, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, học sinh có điều kiện tiếp cận với cách giải quyết có tính vận dụng cao và tạo được môi trường để phát huy sáng tạo khi cho học sinh nhìn nhận vấn đề rộng hơn, sâu hơn

+ Hạn chế: Thực hiện phương pháp đồ thị để giải quyết các bài tập về hệ

hai phương trình bậc nhất hai ẩn, bên cạnh việc chỉ ra số nghiệm, biện luận

số nghiệm của hệ phương trình là khá nhanh chóng và thuận tiện thì một trong những vấn đề đặt ra là tìm nghiệm (nếu có) của hệ trên thực tế là phức tạp, thiếu tính chính xác và đặc biệt là khó khăn khi với hệ phương trình có chứa tham số hoặc ngay cả hệ số đơn giản nhưng hệ lại có nghiệm không nguyên

Bên cạnh đó khi nhìn nhận theo góc độ đồ thị hàm số bậc nhất như cách giải quyết trên đây vẫn còn có nhiều vấn đề tồn tại đó là điều kiện xác định các phép chia trong từng phép biến đổi nêu trên

Dù vậy, sau này chương trình Toán 10 sẽ giải quyết trọn vẹn vấn đề trên thông qua việc thiết lập định thức để đưa ra mối liên hệ giữa các hệ số tương ứng với từng trường hợp nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai

ẩn

1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ:

*Cách thực hiện :

+ Từ một phương trình của hệ đã cho, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia

+ Thế vào phương trình còn lại được phương trình mới chỉ có 1 ẩn

+ Giải phương trình 1 ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

(Tr13,15 SGK Toán 9.Tập 2 – NXBGD)

1.2.3 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ:

* Cách thực hiện:

+ Nhân 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần)

(sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.)

+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được phương trình mới một ẩn

+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

(Tr18 SGK Toán 9.Tập 2 – NXBGD)

*Nhận xét: Điểm chung trong hai phương pháp 1.2.2 và 1.2.3 trên là

nguyên tắc quy từ việc giải hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn về việc giải

phương trình 1ẩn dạng : Ax+B = 0 (hoặc Ay+B =0) (3) Ở đây, số nghiệm

phương trình (3) quyết định số nghiệm của hệ (I)

+ Nếu A≠0 – (3) có nghiệm duy nhất - Hệ (I) có nghiệm duy nhất

+ Nếu A=0; B=0 – (3) vô số nghiệm - Hệ (I) vô số nghiệm

+ Nếu A=0; B≠0 – (3) vô nghiệm - Hệ (I) vô nghiệm

Trên cơ sở này, nó sẽ giúp giải quyết tốt các bài tập về hệ phương trình (I)

+ Xác định số nghiệm của hệ

+ Tìm nghiệm của hệ - giải hệ.

+ Giải và biện luận số nghiệm của hệ theo tham số

+ Các bài toán về nghiệm của hệ

Đây chính là ưu điểm hơn hẳn nếu nói về phương pháp vận dụng để

giải quyết các bài tập về nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong 3

phương pháp đã nêu ở trên

2 GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI P.T BẬC NHẤT HAI ẨN:

2.1 Dạng 1- Xác định số nghiệm của hệ phương trình

Bài 1: Mỗi hệ phương trình cho sau đây có bao nhiêu nghiệm?

a) { 2x−y=1(1) ¿¿¿¿ b) { x−y=1(1) ¿¿¿¿ c) { x−y=2(1) ¿¿¿¿

Đồ thị

Hai đường thẳng

(1) và (2) song song

Hai đường thẳng (1) và (2) trùng nhau

Hai đường thẳng (1) và (2) cắt nhau tại 1điểm duy nhất

hệ hệ

sô

a a'=

2

−4=

−1

2 ;

b b'=

−1

2 ;

c c'=

1 2

=>a

a'=

b b'≠

c c'

a a'=

1

−2;

b b'=

−1

2 =

1

−2;

c c'=

1

−2

=>a

a'=

b b'=

c c'

a a'=

1

2;

b b'=

−1 1

=>a

a'≠

b b'

PP

Cộng

đại số

{ 2x−y=1 ¿¿¿¿

(vô nghiệm)

{ x−y=1 ¿¿¿¿

(vô số nghiệm)

{ x−y=2 ¿¿¿¿

=> 3x = -1 (nghiệm duy nhất)

Phươn

g pháp

Thế

{2x−y=1(1) ¿¿¿¿

Từ (1) <=> y=2x-1 thế vào

(2) ta có:

-4x+2(2x-1)=2

<=> 0x=4

(vô nghiệm)

{ x−y=1(1) ¿¿¿¿

Từ (1) <=> y =x-1 thế vào (2) ta có:

-2x+2(x-1)=-2

<=>0x=0 (vô số nghiệm)

{ x−y=2(1) ¿¿¿¿

Từ (1) <=> x=y+2 thế vào (2) ta có:

2(y+2) +y = -3

<=> 3y = -7 (nghiệm duy nhất)

KL Hệ phương trìnhvô nghiệm Hệ phương trìnhcó vô số nghiệm có nghiệm duy nhấtHệ phương trình

2.2 Dạng 2 - Giải hệ phương trình

Bài 2 Giải hệ phương trình

a) { 2x−y=1(1) ¿¿¿¿ b) { x+2y=4(1) ¿¿¿¿ c) { x−y=1(1) ¿¿¿¿

PP thế

Từ (2) <=>y=2-x (2’)

Thay vào (1) ta có:

2x-(2-x)=1 <=>3x = 3 <=>x=1 thay vào (2’) ta có: y=1

Từ (1) <=>x=4-2y(1’)

Thay vào (2) ta có:

2(4-2y)+4y=8 <=>0y = 0

(vô số nghiệm)

Từ (1) <=>x=y+1(1’)

Thay vào (2) ta có:

-2(y+1)+2y=2 <=>0y = 4

(vô nghiệm)

PP cộng

đại số

{ 2x−y=1 ¿¿¿¿

KL Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x=1;y=1)

Vậy hệ phương trình có vô

số nghiệm.

(x=4-2y; yR)

Vậy hệ phương trình

vô nghiệm

Bài 3 Giải hệ phương trình sau

(Gợi ý biến đổi tương đương đưa về hệ phương trình có hệ số nguyên rồi tiến hành

giải)

a) { 3 4 x−2y=1 ¿¿¿¿ b) { 0,5x+0,25y=1 ¿¿¿¿

c) { −2 3 x−

1

2 y=1 ¿¿¿¿

chuyển

về hệ số

nguyên <=>

{ 3x−8y=4(1) ¿¿¿¿ <=> { 2x+y=4(1) ¿¿¿¿ <=> {− 4x−3y=6(1)¿¿¿¿

PP thế

(2)<=> x= 2y-4 (2’) thế (2’) vào (1) ta có:

3(2y-4)-8y=4

<=>-2y=16<=>y=-8 Thay vào (2’) ta có x=-20.

(1) <=> y = 4-2x (1’) Thế (1’) vào (2) ta có:

10x+5(4-2x)=20 <=>0x=0

(vô số nghiệm)

(2) <=> y=

12−4 x

3 (2’). Thay (2’ vào (1) ta có:

-4x-3.

12−4 x

<=>0x =18 (vô nghiệm)

PP cộng

đại số

{ 3x−8y=4 ¿¿¿¿

{ 2x+y=4 ¿¿¿¿

¿ ¿ { ¿ −4x−3y=6 ¿¿¿¿ ¿

KL Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x=-20;y=-8)

Vậy hệ phương trình có vô

số nghiệm.

(xR ,y=4-2x;)

Vậy hệ phương trình

vô nghiệm

Bài 4 Giải hệ phương trình sau

a) { 5x √ 3+y=2 √ 2(1) ¿¿¿¿ b) { ( 2− √ 3)x−3y=2+5 √ 3(1) ¿¿¿¿

Phương

pháp

thế

(1)<=> y=2√2−5 x√3 (1’)

Thế (1’) vào (2) có:x√6−√2(2√2−5 x√3) =2

<=> 6x √6 =6 <=> x= 1/ √6 thay vào

(1’)

=> y =-1/ √2

(2)<=> y = 4-2 √3 -4x (2’)

thế (2’) vào (1) ta có:

(2−√3)x−3( 4−2√3−4 x )=2+5√3

<=> (14−√3) x=14−√3<=> x=1

thay vào (2’) => y = -2 √3

Phương

pháp

cộng

đại số

<=>

{ 5x √ 6+y √ 2=4 ¿¿¿¿

{ ( 2− √ 3)x−3y=2+5 √ 3 ¿¿¿¿

KL Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất(x= 1/ √6 ; y = -1/ √2 ) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất(x= 1 ; y = -2 √3 )

2.3 Dạng 3- Rèn kỹ năng giải hệ phương trình bằng cách đưa về hệ hai

phương trình bậc nhất hai ẩn

2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn Bài 5 Giải các hệ phương trình

Bài 4 a) {2(x−2y)+3x−y=0 ¿¿¿¿ b) { 2x+3y+1 x−y =

3

4 ¿¿¿¿

Khai

triển –

thu gọn <=>

{ x−y=0(1) ¿¿¿¿ => { 5x+15y=−4(1)¿¿¿¿ ĐK: x≠y

PP thế (1) <=> y = x (1’) thay (1’) vào (2) có :

6x =6 <=> x = 1 thay vào (1’) => y = 1

(2) <=> y = 5x-2 (2’) Thế (2’)vào (1) có 5x + 15(5x-2)=-4 <=> 80x = 26

<=> x = 13/40 thay vào (2’) => y = -3/8

PP cộng

đại số Cộng từng vế của (1) và (2) => 6x = 6=> x = 1 thay vào (1) => 1-y = 0 => y=1 Trừ từng vế của (1) và (2) => 16y = -6

KL Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x = 1; y = 1)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x = 13/40; y = -3/8)

2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 6 Giải hệ phương trình

Đặt ẩn

3

y =5 ¿¿¿¿

Sơ

lược

giải

Đặt

1

x=u;

1

y=v

ĐK:uv≠0.

Hệ thành: { 2u−3v=5 ¿¿¿¿ .

Giải hệ pt này ta được

Đặt

1

x−2 y=u;

1

x+2 y=v

ĐK:uv≠0.

Hệ thành: { 6u+2v=3 ¿¿¿¿ .

.

ĐK: u,v≥0.

Hệ pt thành: { u−2v=2 ¿¿¿¿ .

(u=1, v=-1) - thoả mãn ĐK

=> (x= 1; y = -1).

Vậy hệ pt có nghiệm duy

nhất (x=1;y=-1)

Giải hệ ta được ( u=

7

9;v=

−5

6 )- thoả ĐK

Suy ra { x−2y= 7

9 ¿¿¿¿

Giải hệ trên ta có ( x=

−1

36 ; y=

−29

72 ) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

( x=

−1

36 ; y=

−29

72 )

Giải hệ pt ta được (u=2;v=0)-thoả mãn ĐK.

Suy ra { √ x+3=2 ¿¿¿¿ .

Giải hệ trên ta có (x=1;y=-1)

Vậy hệ phương trình co nghiệm duy nhất (x=1;y=-1)

2.4 Dạng 4 -Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình

Bài 7 Giải và biện luận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau theo tham

số m

a) {2x+my=1(1) ¿¿¿¿ b) { mx+4y=10-m(1) ¿¿¿¿

Ta có (1)<=> x=

1−my

2 (1’)

Thay (1’) vào (2) ta có:

m 1−my

2 +2 y=1<=> m−m

2y+4 y=2

<=>(4−m2)y=2−m

<=>(2−m )(2+m) y=2−m(3)

*) Nếu m=2,

pt(3) thành 0y = 0 (vô số nghiệm )

=> Hệ phương trình vô số nghiệm

(x=

1−2 y

2 ; y∈R )

*) Nếu m =-2, pt (3) thành 0y = 4(vô nghiệm)

• Hệ phương trình vô nghiệm

*) Nếu m ≠ ±2 thì pt(3) có nghiệm duy nhất

y=

1

2+m thay vào (1’) ta có x =

1

2+m .

Ta có (2) <=> x = 4-my (2’) Thay (2’) vào (1) ta có:

m(4-my)+4y=10-m

<=>(4-m 2 )y=10-5m (3)

*) Nếu m =2,

pt (3) thành : 0y = 0 (vô số nghiệm) => Hệ pt vô số nghiệm: (x=4-my;

yR)

*) Nếu m = -2, pt(3) thành: 0y = 20 (vô nghiệm) => Hệ pt vô nghiệm

*) Nếu m ≠ ±2 thì pt(3) có nghiệm duy nhất y =

5

2+m Thay vào

(2’) có x=

8−m 2+m

Vậy

*)Nếu m=2, thì hệ phương trình có vô số

nghiệm Nghiệm TQ: (x=

1−2 y

2 ; y∈R )

*) Nếu m =-2, hệ phương trình vô nghiệm

*) Nếu m ≠ ±2 thì hệ phương trình có nghiệm

duy nhất (x=

1

2+m , y =

1

2+m .)

Vậy

*)Nếu m=2, thì hệ phương trình có

vô số nghiệm Nghiệm TQ: (x=4-my; yR)

*) Nếu m =-2, hệ phương trình vô nghiệm

*) Nếu m ≠ ±2, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

(x=

8−m 2+m ,y =

5

2+m )

(Cần lưu ý, sử dụng phương pháp cộng đại số để giải quyết bài toán trên,bắt buộc phải nhân hai vế của một trong hai phương trình với m nên vẫn có thể mắc thiếu sót nếu như không phân trường hợp m=0 hay m≠0.)

2.5 Dạng 5 - Một số bài toán về điều kiện nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Thường là gặp những bài toán này, học sinh phải thực hiện được 3 bước cơ bản sau đây:

• Hệ phương trình có nghiệm khi nào?

• Khi ấy nghiệm là gì?

• Điều kiện nghiệm cần thoả mãn mà bài toán đặt ra?

Bài 8 Cho hệ phương trình: { x+my=2 ¿¿¿¿ Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) duy nhất

thoả mãn (x>0;y<0).

Hướng dẫn giải:

Xét hệ phương trình { x+my=2(1) ¿¿¿¿

*) Từ (1) <=> x = 2-my (1’), thay vào (2) ta có: m(2-my)-2y=1 => (m 2 +2)y =

2m-1 (3)

Do m 2 +2> 0 m => (3) luôn có nghiệm duy nhất

• hệ luôn có nghiệm (x,y) duy nhất.

*) Khi đó y =

2 m−1

m2+2 , thay vào (1’) ta có −4 <m<

1

2 x =

m+4

m2+ 2

*) Để (x>0;y<0) thì : { m+ 4 m 2 + 2 > 0 ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy với −4 <m<

1

2 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn (x>0;y<0).

Bài 9: Cho hệ phương trình: { mx+2my=m+1 ¿¿¿¿ Tìm m để hệ có nghiệm (x,y)

duy nhất thoả mãn điểm M(x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Hướng dẫn giải:

Xét hệ phương trình { mx+2my=m+1(1) ¿¿¿¿

*) Từ (2) <=> x = 2 –(m+1)y (2’)

Thay (2’) vào (1) ta có m[2-(m+1)y]+2my=m+1 <=> m(m-1)y=m-1(3)

Hệ có nghiệm duy nhất <=> pt(3) có nghiệm duy nhất <=> m≠0 và m≠1.(*)

*) Khi đó, (3) => y =

1

m thay vào (2’) ta có x =

m−1 m

*) Điểm M(x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất khi và chỉ khi (x>0,y>0)

<=> { m−1 m > 0 ¿ ¿ ¿¿

Vậy với m>1 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn điều kiện điểm M (x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Bài 10 Tìm giá trị của tham số m để cho hệ phương trình { mx−y=2 ¿¿¿¿ có

nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn hệ thức

x+y=1-m2

m2+ 3

Hướng dẫn giải:

Xét hệ phương trình { mx−y=2(1) ¿¿¿¿

*) Từ (1) <=> y = mx-2 (1’) Thay (1’) vào (2) ta có:

3x+m(mx-2)=5 <=> (m 2 +3)x=2m+5 (3) – Luôn có nghiệm duy nhất (do m 2 +3>0) nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất m

*) Khi đó (3) => x=

2 m+5

m2+3 thay vào (1’) ta có y =

5m−6

m2+3

*) Để

x+y=1-m2

m2+3 thì

2 m+5

m2+3 +

5m−6

m2+3 = 1 -

m2

m2+ 3 <=> m =

4

7 Vậy với m =

4

7 thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn hệ thức

x+y=1-m2

m2+ 3

Bài 11 Cho hệ phương trình { ( a+1)x−y=a+1 ¿¿¿¿

a) Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m.

b) Khi hệ có nghiệm (x;y) duy nhất, lạp hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với M Từ đó chứng tỏ M(x;y) nằm trên đường thẳng cố định.

c) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x,y

nguyên.

d) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình {( a+1)x−y=a+1(1) ¿¿¿¿

a) Từ (1) => y= (a+1)x-(a +1) (1’) Thay vào (2) ta có: a 2 x =a 2 +1(3)

KL +) a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=

a2+1

a2+1

a2 ).

+)a = 0 hệ phương trình vô nghiệm.

b) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=

a2+1

a2+1

a2 )

=> x- y = 0 hay y =x (hệ thức độc lập với m)

=> Khi hệ có nghiệm (x;y) duy nhất thì điểm M(x;y) nằm trên đường thẳng y =x

(cố định) ĐPCM

c) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=

a2+1

a2+1

a2 ).

Khi đó nếu a nguyên, để x, y nguyên thì a 2 +1 chia hết cho a 2

=> 1 chia hết cho a 2

=> a 2 = 1.

=> a = ±1 (thoả mãn a≠0).

Vậy :

d) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=

a2+1

a2+1

a2 ).

Khi đó x+ y=

a2+a+2

1

a+

2

a2=2(

1

a+

1

4)

2 + 7

8≥

7 8

Dấ u “=” xảy ra khi a= -4 (thoả mãn a ≠ 0)

=> Min(x+y)- =

7

8 khi a = -4

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

DẠNG 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và cộng đại số Bài 1

a) b) c)

Bài 2

Bài 3

Bài 4

2 DẠNG 2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 5

Bài 6

3.Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình Một số bài tập về

nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 7:

a) Tìm m để hệ phương trình {( m−1)x+(m+2)y=m−3 ¿¿¿¿ vô nghiệm

b) Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình{( m−1)x+2my+2=0 ¿¿¿¿ theo tham số m.

Bài 8

Cho hệ phương trình {( m−1)x+y=3m−4 ¿¿¿¿ với tham số m.

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất?

b) Khi phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất

1)Chứng tỏ rằng M(x;y) nằm trên đường thẳng cố định

2) Tìm m để M(x;y) nằm trong góc vuông III

3) Tìm giá trị nguyên của m để x,y nguyên

4) Tìm giá trị của m để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất

C.Đánh giá kết quả đạt được

Tiến hành đánh giá kết quả đạt được bằng cách thực hiện kiểm tra khảo sát với nội dung bám sát các vấn đề mang tính trọng tâm đã đặt ra, thời lượng

30 phút

Kết quả chung: Sau khi được tham gia thực hiện chuyên đề trên, từng

học sinh đã có bước tiến bộ trong việc tiếp cận với giải các bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Những điểm hạn chế đã phát hiện theo đánh giá sơ bộ đã cơ bản được khắc phục

Điểm

Bài khảo

sát

thu

D.Kết luận và khuyến nghị :

Qua thực tế giảng dạy, bản thân có chủ quan suy nghĩ: Hệ phương trình nói chung và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nói riêng là một trong những đơn vị kiến thức cơ bản của phân môn Đại số Việc tiếp cận tốt với những vấn đề có tính chất mở đầu như trình bày trên đây sẽ không chỉ củng cố, trang bị cho học sinh một vốn kiến thức nhất định mà còn tạo cơ sở quan trọng để học sinh tiếp tục có một phương pháp tiếp cận tốt hơn trong giai đoạn tiếp theo khi mở rộng học tập, nghiên cứu về nội dung này

Bên cạnh đó, cũng nhận thấy việc ôn tập và hệ thống kiến thức theo nội dung bám sát là vấn đề thiết thực đối với học sinh đại trà Với môn Toán, qua kinh nghiệm bản thân thấy rằng, muốn có một chất lượng dạy – học hiệu quả thì giáo viên phải cần lựa chọn những vấn đề cơ bản của chương trình, của đơn vị kiến thức để tập trung giải quyết Ở đó nên thực hiện những khảo