Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)Bất đẳng thức tích chập suy rộng Kontorovich Lebedev – Fourier và ứng dụng (Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-PHẠM VĂN HOẰNG

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG

KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI CAM ĐOAN 3

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 5

MỞ ĐẦU 8

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 15 1.1 Không gian Lebesgue Lp(Ω) và Lp(Ω; ρ) 15

1.2 Biến đổi tích phân Fourier 17

1.2.1 Định nghĩa và tính chất 17

1.2.2 Bất đẳng thức tích chập Fourier 18

1.3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev 20

1.3.1 Tích chập Kontorovich-Lebedev 24

1.3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev 25

1.4 Trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ với biên hình nón tròn 27 1.4.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm 27

1.4.2 Biểu diễn thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ 32 Chương 2 BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV-FOURIER 34 2.1 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine 34

2.1.1 Định nghĩa 34

2.1.2 Tính chất toán tử 36

2.1.3 Tính không có ước của không 42

2.2 Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 44

2.3 Phương trình vi-tích phân liên quan tích chập suy rộng 49

Chương 3 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICH-LEBEDEV 53 3.1 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 53

1

3.1.1 Bất đẳng thức kiểu Young 53

3.1.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 57

3.2 Bất đẳng thức đối với tích chập Kontorovich-Lebedev 62

3.2.1 Bất đẳng thức kiểu Young 62

3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh 66

3.2.3 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược 68

3.3 Phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel 74

Chương 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 82 4.1 Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng dạng nón 82

4.1.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo tích chập suy rộng 83

4.1.2 Tính bị chặn của trường nhiễu xạ sóng âm trên các không gian Lp(R+), p > 1 84

4.1.3 Ước lượng tại lân cận đỉnh nón 87

4.2 Thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ 88

4.2.1 Xác định hàm phổ của thế Debye trường nhiễu xạ 91

4.2.2 Biểu diễn thế Debye trường nhiễu xạ theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier 91

4.2.3 Ước lượng địa phương 92

4.3 Phương trình dạng parabolic 93

4.3.1 Phương trình parabolic tuyến tính liên quan tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev 94

4.3.2 Phương trình parabolic phi tuyến liên quan tích chập Kontorovich-Lebedev 102

KẾT LUẬN 106

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 107

TÀI LIỆU THAM KHẢO 108

2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫncủa các thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo và PGS TS Trịnh Tuân Tất cảcác kết quả được trình bày trong Luận án là hoàn toàn trung thực và chưatừng được các tác giả khác công bố trong bất kỳ công trình nào

Hà Nội, Ngày 10 tháng 10 năm 2017

3

LỜI CẢM ƠN

Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình củacác thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo và PGS TS Trịnh Tuân Tác giả xinđược bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, những người

đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên cứu,động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thànhviên trong Seminar Giải tích-Đại số trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, SeminarGiải tích Trường ĐHBK Hà Nội, những người luôn gần gũi, giúp đỡ và tạođiều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH VũKim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên và cho tácgiả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả

đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộmôn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học Tácgiả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến TS Nguyễn Thanh Hồng (ĐHSP

Hà Nội), TS Nguyễn Hoàng Thoan (Viện Vật lý kĩ thuật, ĐHBK Hà Nội),

TS Tưởng Duy Hải (Khoa Vật lý, ĐHSP Hà Nội) về những giúp đỡ trongquá trình làm NCS Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo SởGiáo dục và Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp thuộc TổToán-Tin, Trường THPT Kim Liên đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trìnhtác giả được học tập, công tác và hoàn thành Luận án

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình, bố

mẹ, vợ con, các anh chị em Niềm tin yêu và hi vọng của mọi người là nguồnđộng viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốtquá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án

Tác giả

4

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

• F là biến đổi tích phân Fourier (xem trang 17)

• Fc là biến đổi tích phân Fourier cosine (xem trang 17)

• Fs là biến đổi tích phân Fourier sine (xem trang 18)

• ∆ω là toán tử Laplace-Beltrami trên mặt cầu S2 (xem trang 29)

• E là trường sóng điện (xem trang 32)

• H là trường sóng từ (xem trang 32)

• D∞1 là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định bởi công thức (xemtrang 44)

D1∞ = lim

N →∞

NYk=1

• D∞ là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định bởi công thức (xemtrang 44)

D∞ = lim

N →∞

NYk=1

5

• B là toán tử vi phân Bessel (xem trang 75).

• Γ(z) là hàm Gamma, Γ(z) =

∞R0

tz−1e−tdt, <(z) > 0

• KL là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (xem trang 8, 22, 23)

• Kν(z) là hàm Macdonald (xem trang 20)

• L là toán tử vi phân bậc hai được xác định bởi công thức

L =



x2 ∂2

∂x2 + 3x ∂

∂x + 1 − x

2



• Lp(R+), 1 6 p < ∞, là không gian các hàm số f xác định trên R+, thoảmãn

kf kLp(R+) =



∞Z0

|f (x)|pρ(x)dx

1p

< ∞,

ở đây ρ(x) là một hàm trọng dương

• L∞(R+) là không gian gồm các hàm bị chặn theo chuẩn ess sup trên R+

kf k∞ = ess sup |f | := inf{M > 0 : µ(x ∈ R+ : |f (x)| > M ) = 0, h.k.n.}

f (z)g(z)

≤ M < ∞ với mọi z thuộcvào một lân cận của a

• f (z) = ◦(g(z)), z → a, có nghĩa là lim

z→a

f (z)g(z) = 0.

• f (z) ∼ g(z), z → a, có nghĩa là lim

z→a

f (z)g(z) = 1.

7

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Bên cạnh những biến đổi tích phân nổi tiếng có vai trò quan trọng tronggiải tích toán học nói riêng và các ngành khoa học nói chung như các biến đổitích phân Fourier, Laplace, Mellin, Hankel , những năm 38-39 của thế kỷtrước, hai nhà toán học Nga là Kontorovich M.I và Lebedev N.N trong khinghiên cứu bài toán về nhiễu xạ sóng điện từ với biên hình nêm đã xây dựngbiến đổi tích phân mà sau này được gọi là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (xem [29, 30, 67]) Các tính chất của biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trong không gian L1, L2, công thức biến đổi ngược và các ứng dụngđược nghiên cứu sau đó bởi Lebedev N.N., Sneddon I.N., Lowndes J.S., JonesD.S (xem [24, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 57])

Ảnh của hàm f qua phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu

là KL[f ], được xác định bởi công thức

KL[f ](y) =

∞Z0

Kiy(x)f (x)dx, y ∈ R+, (0.1)

với Kν(x) là hàm Macdonald có chỉ số thuần ảo ν = iy (xem [29, 30, 67]).Điều đáng chú ý, khác với các biến đổi tích phân kể trên, trong nhân củaphép biến đổi tích phân này là hàm đặc biệt Macdonald, một trong nhữnghàm có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật

Đến nay, những kết quả về biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trêncác không gian hàm với hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu; không gian Lebesgue

Lp với trọng cũng như xem xét trên không gian hàm suy rộng đã khá phongphú và sâu sắc (xem [18, 20, 21, 66, 71, 81]) Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên không gian hai chiều, không gian nhiều chiều; biến đổi rời rạc,biến đổi hữu hạn liên quan đến biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev cũng

đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [72, 78, 82])

Cùng với các biến đổi tích phân kể trên, tích chập đối với các biến đổi tíchphân này đã được xây dựng và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.Năm 1998, Kakichev V.A và Thao N.X đã đưa ra định nghĩa tích chập suyrộng f ∗ h
với hàm trọng γ của hai hàm f và h đối với ba phép biến đổiγ

8

Luận án đầy đủ ở file: Luận án full

Cùng với biến đổi tích phân kể trên, tích chập biến đổi tíchphân xây dựng ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhau.Năm 1998, Kakichev V.A Thao N.X đưa định nghĩa tích chập suyrộng f ∗ h
với hàm trọng... 67]).Điều đáng ý, khác với biến đổi tích phân kể trên, nhân củaphép biến đổi tích phân hàm đặc biệt Macdonald, nhữnghàm có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật

Đến nay, kết biến đổi tích phân Kontorovich- Lebedev. .. Biến đổi tích phân Kontorovich- Lebedev khơng gian hai chiều, không gian nhiều chiều; biến đổi rời rạc,biến đổi hữu hạn liên quan đến biến đổi tích phân Kontorovich- Lebedev

đã nhà toán học