Thiết kế mặt đáp ứng 3 mức với tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao

Dưới đây là các thiết kế thông dụng đáp ứng một số tiêu chí trên bao gồm:i Các thiết kế cho các nhân tố với 2-mức giá trị phổ biến là: thiết kế nhân tố Factorial Design hoặc FD2m,thiết k

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Đình Tùng

THIẾT KẾ MẶT ĐÁP ỨNG 3-MỨC VỚI TÍNH CHẤT HIỆU ỨNG BẬC HAI TRỰC GIAO

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phạm Đình Tùng

THIẾT KẾ MẶT ĐÁP ỨNG 3-MỨC VỚI TÍNH CHẤT HIỆU ỨNG BẬC HAI TRỰC GIAO

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 62 46 01 06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN KỲ NAM GS.TS NGUYỄN HỮU DƯ

Hà Nội - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Phạm Đình Tùng

Lời cảm ơn

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

TS Nguyễn Kỳ Nam và GS.TS Nguyễn Hữu Dư, hai người thầy vô cùng mẫumực, đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học Hai thầy đã dìu dắt tôitrên con đường toán học, đưa tôi bước vào một lĩnh vực toán học đầy thú vị,luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những

gì tôi may mắn được tiếp nhận từ hai người thầy đáng kính của mình Tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy

Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tôi đã nhận đượcrất nhiều sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong Bộ môn Xác suất Thống kê

và trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên-ĐHQG

Hà Nội Tôi xin trân trọng sự giúp đỡ của các thầy cô

Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệmKhoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng sau đại học và các phòng ban chức năng củaTrường Đại học Khoa học Tự Nhiên-ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợicho tôi học tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luônkhuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đãchọn

Mục lục

Trang

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Thuật ngữ Anh Việt 7

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 8

Danh mục các bảng 10

Danh mục các hình vẽ 11

Mở đầu 12

Chương 1 Giới thiệu phương pháp bề mặt đáp ứng 17

1.1 Thiết kế thí nghiệm 17

1.2 Phương pháp bề mặt đáp ứng 19

1.2.1 Mô hình bề mặt đáp ứng 20

1.2.2 Tối ưu bề mặt đáp ứng 22

1.2.3 Thiết kế thí nghiệm phù hợp mô hình bề mặt đáp ứng 23

1.3 Thí nghiệm sinh tổng hợp enzym Lipase 26

Chương 2 Thiết kế Box-Behnken nhỏ với nhóm trực giao 32

2.1 Thiết kế Box-Behnken 32

2.2 Thiết kế nhóm không đầy đủ với cỡ nhóm khác nhau 34

2.3 Phương pháp xây dựng thiết kế Box-Behnken nhỏ 36

2.4 Thiết kế Box-Behnken nhỏ mới với các nhóm trực giao 38

2.5 Chia nhóm trực giao của các thiết kế bậc hai dựa trên IBD 40

2.6 Kết luận chương 2 41

Chương 3 Thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT 42

3.1 Thiết kế SPLIT-PLOT 43

3.2 Mô hình bề mặt đáp ứng cho thiết kế SPLIT-PLOT tổng quát 45

3.3 Cấu trúc mong muốn của ma trận thông tin của SPD 46

3.4 Thuật toán SPLIT 47

3.5 Kết quả và đánh giá 50

3.5.1 Các ví dụ minh chứng 51

3.5.2 Kết quả tính toán 54

3.6 Kết luận chương 3 57

Kết luận 60

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 62

Tài liệu tham khảo 63

Phụ lục 73

Thuật ngữ anh việt

Balanced Incomplete Block Design Thiết kế nhóm không đầy đủ và cân bằng

Central Composite Design Thiết kế tổng hợp trung tâm

Coordinate-exchange Algorithm Thuật toán đổi tọa độ

Easy-to-Change Factor Nhân tố dễ thay đổi mức giá trị

Fractional Factorial Design Thiết kế một phần nhân tố

First-order Orthogonal Design Thiết kế bậc một trực giao

Generalized Least Square Method Phương pháp bình phương tối thiểu tổng quát Hard-to-Change Factor Nhân tố khó thay đổi mức giá trị

Incomplete Block Design Thiết kế nhóm không đầy đủ

Main/First-order Effect Hiệu ứng chính hoặc hiệu ứng bậc một

Orthogonal Quadratic Effect Property Tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao

Partial Balanced Incomplete Block Design Thiết kế nhóm không đầy đủ và bán cân bằng

Point-exchange Algorithm Thuật toán hoán đổi điểm

Response Surface Methodology Phương pháp bề mặt đáp ứng

Screening Design Thiết kế sàng lọc

Second-order Design Thiết kế bậc hai

Second-order Split-Plot Design Thiết kế SPLIT-PLOT bậc hai Second-order Model Mô hình đa thức bậc hai Small Composite Design Thiết kế tổng hợp nhỏ

Supplementary Set Design Thiết kế tập phần phụ

Danh mục các ký hiệu và

chữ viết tắt

APD Thiết kế tăng cặp.

BBD Thiết kế Box-Behnken.

BIBD Thiết kế nhóm không đầy đủ và cân bằng.

CCD Thiết kế tổng hợp trung tâm.

EE-SPD Thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT.

ETC Dễ thay đổi mức giá trị.

FD Thiết kế nhân tố đầy đủ.

FFD Thiết kế một phần nhân tố đầy đủ

GLS Bình phương tối thiểu tổng quát

HTC Khó thay đổi mức giá trị.

IBD Thiết kế nhóm không đầy đủ.

OLS Bình phương tối thiểu thông thường

Chương 2.

2.1 Các chỉ số của SBBD 392.2 Số phép thử thí nghiệm của các thiết kế chia nhóm trực giaoa 39

Chương 3.

3.1 Hai EE-SPD cho một nhân tố WP và hai nhân tố SP trong các ô

lớn cỡ năm† 443.2 Các bước thuật toán SPLIT tạo ra EE-SPD cho trường hợp 25†(một

nhân tố WP và hai nhân tố SP trong năm ô lớn cỡ ba) 513.3 Ba SPD cho thí nghiệm độ chịu lực của ống gốm: EE-SPD* dựa

trên CCD, EE-SPD* tạo bởi SPLIT và SPD D-tối ưu† 523.4 Thiết kế EE-SPD của JG và EE-SPD* của SPLIT cho trường

hợp 48 (một nhân tố WP và ba nhân tố SP)† 533.5 Thiết kế EE-SPD của JG và SPLIT cho trường hợp 94 (hai nhân

tố WP và hai nhân tố SP trong 10 ô lớn cỡ ba)† 553.6 Thiết kế EE-SPD của JG và EE-SPD* của SPLIT cho trường

hợp 109 (hai nhân tố WP và ba nhân tố SP trong tám ô lớn cỡ sáu)† 56

3.7 Các chỉ số Deff của các thiết kế EE-SPD của JG và SPLIT cho

25 trường hợp trong đó SPLIT cho kết quả tốt hơn 58

tại điểm dừng 30

Chương 3.

3.1 Đồ thị hộp ria mèo cho tỷ số tương đối giữa mức độD−hiệu quả

của thiết kế từ SPLIT và JG 54

Mở đầu

Thiết kế thí nghiệm (Experimental Design) được sử dụng rộng rãi bởi các nhàphân tích với mục đích kiểm soát các nhân tố quan trọng trong việc mô tả hoặcgiải thích kết quả đầu ra của thí nghiệm Nó ra đời từ năm 1930 bắt nguồn từnhững nghiên cứu của nhà thống kê R A Fisher tại trung tâm thí nghiệm nônghọc Rothamsted, Vương Quốc Anh Những đóng góp quý báu của ông cùng với

F Yates và D J Finney là đã đưa ra nhiều bài toán trong nông nghiệp và sinhhọc Những thập kỷ tiếp theo, gắn liền với sự phát triển của công nghiệp, G E

P Box và đồng nghiệp đã phát triển các kỹ thuật trước đó để phù hợp với các bàitoán trong công nghệ hóa học Trong những năm gần đây chứng kiến sự pháttriển mạnh mẽ việc sử dụng các thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp, nôngnghiệp, kinh tế (marketing, dịch vụ tài chính) và khoa học trong cuộc sống.Chính sự cần thiết của thiết kế thí nghiệm là động lực nghiên cứu cho các nhàkhoa học xây dựng nhiều loại thiết kế với các tiêu chí cụ thể Nhiều gói phầnmềm máy tính được đưa ra cho người làm thí nghiệm chọn lựa theo các tiêu chícủa bài toán thực tế

Phương pháp bề mặt đáp ứng (Response Surface Methodology hoặc RSM)nghiên cứu sự phụ thuộc của biến đầu ra hay biến đáp ứng (response) y vào cácgiá trị x1, · · · , xm của m nhân tố (factor) đầu vào trong thí nghiệm dưới dạng

y = f (x1, · · · , xm) + ε Hàm hồi quy biểu diễn mối quan hệ này là chưa biết vàđược xấp xỉ bởi hàm đa thức trong khai triển Taylor trên miền được giới hạn haycòn gọi làmiền thí nghiệm(experimental region)

Nếu sử dụng hàm đa thức bậc một để xấp xỉ ta nhận đượcmô hình đa thức bậc một(first-order model)

(second-order model) được biểu diễn dưới dạng

hiệu ứng tương tác(interaction effect) chỉ ra ảnh hưởng giữa nhân tố thứi và thứ

kế(design matrix) D cỡn × mgồm các hàng (xu1, xu2, · · · , x um ), u = 1, , n Ma trận thiết kế mở rộng(expanded design matrix)Xcủa mô hình đa thức bậc hai với

nhàng và p = 12(m + 1)(m + 2) cột (1, x21, · · · , x2m, x1, · · · , xm, x1x2, · · · , xm−1x m )nhận được từD dùng để ước lượng phệ số của mô hình bằng phương phápbình phương tối thiểu thông thường(ordinary least square hoặc OLS) hoặc phương pháp

bình phương tối thiểu tổng quát(generalized least square hoặc GLS)

Các thiết kế cho mô hình bề mặt đáp ứng hay còn gọi là thiết kế bề mặt đáp ứng (response surface design hoặc RSD) phải thỏa mãn một trong các tiêu chísau (xem mục 7.1 Meyer & Montgomery [32]):

1 Đưa ra phân bố hợp lý về các biến đáp ứng trong miền quan tâm (region ofinterest) và phù hợp với mô hình

2 Các phép thử thí nghiệm có thể chia nhóm được

3 Đưa ra ước lượng sai số, ước lượng chính xác hệ số của mô hình và mô tảtốt sự thay đổi của phương sai dự báovar( ˆ y( x ))trong miền thí nghiệm

4 Thiết kế có tính vững (robust) đối với các giá trị ngoại biên hoặc giá trị bị

5 Thiết kế không yêu cầu quá nhiều phép thử thí nghiệm và nhiều mức giá trịcho các nhân tố

6 Đảm bảo tính toán đơn giản, dễ giải thích mô hình

Tuy nhiên, để tìm ra thiết kế thỏa mãn đồng thời tất các tiêu chí trên là khôngthể, ví dụ tiêu chí 1 và 5 không thể cùng đạt được do 1 cần thêm càng nhiều phépthử càng tốt Vì vậy, mỗi bài toán tìm thiết kế thí nghiệm chỉ tập trung vào một

số tiêu chí nhất định Ví dụ ở tiêu chí 3, người ta thường xem xét các thiết kếdựa trên các tiêu chuẩnD−tối ưu (cực đại định thức của ma trận thông tin trongvar( ˆ y( x ))),G−tối ưu (cực tiểu giá trị lớn nhất của phương sai dự báo),A−tối ưu(cực tiểu vết của ma trận nghịch đảo của ma trận thông tin) vàI−tối ưu (cực tiểutrung bình phương sai dự báo)

Dưới đây là các thiết kế thông dụng đáp ứng một số tiêu chí trên bao gồm:(i) Các thiết kế cho các nhân tố với 2-mức giá trị phổ biến là: thiết kế nhân tố

(Factorial Design hoặc FD)2m,thiết kế một phần nhân tố(Fractional FactorialDesign hoặc FFD)2m−k vàthiết kế Placket-Burman (Placket-Burman Designhoặc PBD)

(ii) Các thiết kế cho các nhân tố với 3-mức giá trị phổ biến là: Thiết kế tổng hợp trung tâm (Central Composite Design hoặc CCD), thiết kế tổng hợp nhỏ

(Small Composite Design hoặc SCD), thiết kế Box-Behnken (Box-BehnkenDesign hoặc BBD),thiết kế tăng cặp (Augmented-Pair Design hoặc APD).(iii) Thiết kế SPLIT-PLOT (Split-Plot Design hoặc SPD) là thiết kế khi xuất hiệncácnhân tố khó thay đổi giá trị(Hard-to-Change hoặc HTC factor) vànhân tố

dễ dàng thay đổi giá trị(Easy-to-Change hoặc ETC factor) do điều kiện kinh

& Lin [37], Dey [13] và Nguyen & Dey [35]

(ii) Phát triển, tìm kiếm các thiết kế SPLIT-PLOT D−hiệu quả cho các thínghiệm có nhân tố HTC và ETC Các kết quả này được công bố trongVinning et al [49], Parker et al [43, 44], Macharia & Goos [31], Jones &Goos [25] và Mylonal et al [34].

(iii) Phát triển các thiết kế sàng lọc xác định (definitive screening design) cho

mô hình bề mặt đáp ứng chỉ gồm các hiệu ứng chính và hiệu ứng bậc hai.Các kết quả mới được công bố trong Jones & Nachtsheim [27], Stylianou[46], Xiao et al [51] và Nguyen & Stylianou [40]

Theo hai hướng nghiên cứu đầu tiên, nội dung chính của luận án là nghiêncứu bài toán tìm thiết kế bề mặt đáp ứng 3-mức tối ưu theo các tiêu chí 2, 3, 5

và 6 Các thiết kế sẽ có (i) tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao, (ii) chia nhómđược và tối ưu theo chỉ sốDeff Trong bài toán này chúng tôi xét các nhân tố với3-mức giá trị vì nó là số mức bé nhất phù hợp với mô hình đa thức bậc hai và

sẽ làm số phép thử thí nghiệm giảm so với trường hợp thí nghiệm nhiều hơn 3mức Tiêu chuẩn D−tối ưu được sử dụng trong luận án cũng rất phổ biến trongcác công trình nghiên cứu về thiết kế thí nghiệm vì nó dễ dàng tính hơn các tiêuchuẩn khác như I−tối ưu, A−tối ưu, Ngoài ra, một thiết kế là D−tối ưu thìcũng gần tối ưu theo một số tiêu chuẩn khác (xem Wong [50] và Cornell [11]).Kết quả chính của luận án là:

(i) Thiết lập các thiết kế mặt đáp 3-mức có tính chất hiệu ứng trực giao cải tiếncác thiết kế cổ điển Box-Behnken bằng cách sử dụng cácthiết kế nhóm không đầy đủ(incomplete block design hoặc IBD) Các thiết kế Box-Behnken mớivẫn giữ nguyên các tính chất của thiết kế Box-Behnken cổ điển Hơn thếnữa các thiết kế mới này có số phép thử của thí nghiệm(runs) ít hơn BBD và

có thể chia nhóm trực giao

(ii) Một thuật toán để xây dựng các SPD có tính chất ước lượng tương đương

và tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao Với thuật toán này, các thiết kế mớicải tiến một số lượng lớn các thiết kế cũ theo tiêu chuẩn chỉ sốDeff, các mứcgiá trị nguyên và tính chất hiệu ứng bậc hai trực giao

Các thiết kế mới của chúng tôi đóng góp vào tập hợp các thiết kế cho các ngườilàm thí nghiệm giải quyết các bài toán thực tế

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu tham khảo,luận án bao gồm 3 chương

• Chương 1: Trình bày một số kiến thức về thiết kế thí nghiệm và tập trunggiới thiệu phương pháp bề mặt đáp ứng gồm mô hình bề mặt đáp ứng, thiết

kế D-tối ưu(D-optimal) và một số thiết kế bề mặt đáp ứng phù hợp với môhình

• Chương 2: Trình bày về thiết kế Box-Behnken và xây dựng thiết kế mới dạngBox-Behnken từ thiết kế nhóm không đầy đủ có số phép thử thí nghiệm íthơn mà vẫn giữ nguyên các tính chất của thiết kế Box-Behnken

• Chương 3: Trình bày về thiết kế SPLIT-PLOT và thiết kế ước lượng tương đương SPLIT-PLOT(Equivalent-Estimation Split-Plot Design hoặc EE-SPD).Các SPD mới được xây dựng bằng thuật toán SPLIT có tính chất ước lượngtương đương, hiệu ứng bậc hai trực giao vàD-hiệu quả (D-efficient)

Luận án có sử dụng các mô đun IBD, CIBD và CUT trong phần mềm dex của TS Nguyễn Kỳ Nam (http://designcomputing.net/gendex/) và lậptrình tính toán theo ngôn ngữ Java

Gen-Hà Nội, năm 2016Nghiên cứu sinh

Phạm Đình Tùng

Thí nghiệm (Experiment) gồm một phép thử hoặc một tập hợp các phép thử.Các thí nghiệm được thực hiện trong các ngành công nghiệp, nông nghiệp đểkhai thác hoặc nhận thêm thông tin về hệ thống hoặc quá trình sản xuất Nhàthống kê Fisher là người đặt nền móng cho thí nghiệm qua những nghiên cứucủa mình trong những năm đầu 1920 Ông nhận ra sự thiếu sót trong cách thựchiện thí nghiệm thường cản trở việc phân tích dữ liệu từ quá trình sản xuất nôngnghiệp Bằng sự kết hợp giữa khoa học nghiên cứu trên nhiều lĩnh vực, ông đềxuất ba nguyên lý cơ bản của việc thiết lập thí nghiệm đó là (i) ngẫu nhiên hóa

(randomization), (ii) lặp lại nhiều lần (replication) và (iii) chia nhóm (blocking).Các thiết kế thí nghiệm có vai trò quan trọng trong việc thu thập dữ liệu từ hệthống hoặc quá trình sản xuất trước khi phân tích thống kê dữ liệu Thiết kế thínghiệm cần đảm bảo các yêu cầu sau: (i) phát hiện được ảnh hưởng của các nhân

tố trong quá trình, (ii) phù hợp với mô hình, (iii) bảo đảm giá trị dự báo đầu ragần với giá trị thực, (iv) tối thiểu số phép thử của thí nghiệm, (v) đơn giản và dễtính toán, (vi) giải thích các biến động trong mô hình một cách dễ dàng.

Những năm đầu 1930, thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp đã bắt đầuđược khai thác nhờ sự phát triển của RSM do Box & Wilson [9] đưa ra Cáctác giả này đã chỉ ra sự khác biệt của thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp sovới nông nghiệp là các biến đầu ra của quá trình hay biến đáp ứng có thể quansát ngay và người làm thí nghiệm có thể thu được thông tin quan trọng từ nhómnhỏ các phép thử để thực hiện các thí nghiệm tiếp theo Họ tổng kết lại thiết

kế thí nghiệm gồm bốn bước: (i) phỏng đoán, (ii) thiết kế, (iii) thí nghiệm và(iv) phân tích Đầu tiên, một ý tưởng hoặc một phỏng đoán được thành lập liênquan đến một số nhân tố và đầu ra của một số quá trình sản xuất Sau đó, ngườilàm thí nghiệm tiến hành chọn thiết kế cho phù hợp với thí nghiệm và thực hiện.Các dữ liệu và kết quả sẽ được phân tích bằng các kỹ thuật hồi quy (regressiontechnique), đưa ra điều kiện tối ưu hay ý tưởng mới về quá trình Quá trình trênđược thực hiện liên tiếp như Hình 1.1

Hình 1.1: Quá trình thực hiện thí nghiệm liên tiếpTrong giai đoạn đầu của thí nghiệm, người làm thí nghiệm cần xác định cácnhân tố quan trọng ảnh hưởng chính đến kết quả đầu ra Khi đó, các nhân tốthường được thiết lập ở hai mức thấp nhất và cao nhất của miền giá trị và được

mã hóa là±1 Các thiết kế áp dụng trong giai đoạn này thường gọi là cácthiết kế sàng lọc(screening design) Sau khi tìm được các nhân tố chính ảnh hưởng đếnbiến đáp ứng trong thí nghiệm, họ sẽ thiết kế các thí nghiệm để phù hợp và phântích mô hình biểu diễn mối quan hệ giữa biến đáp ứng và các nhân tố Tronggiai đoạn tiếp theo, các nhân tố thường được thiết kế ở ba mức trở lên để phát

hiện được các tính chất tốt trong mô hình Điều này đặt ra cho các nhà thống kêmột nhiệm vụ quan trọng là tìm các thiết kế tốt cho ta dễ dàng tính toán, có độchính xác cao trong ước lượng hệ số mô hình và nâng cao sự mô tả về hệ số của

mô hình bởi vì những thí nghiệm không tốt sẽ cho chúng ta rất ít thông tin về

mô hình và sự biến động trong đó

Một cách tổng quát, thiết kế thí nghiệm là hệ thống cấu trúc các phép thửđược thực hiện trên các nhân tố đầu vào để xác định kết quả ở các biến đầu ra,trong đó mỗi phép thử là một tổ hợp các giá trị của nhân tố Các nhân tố trongthí nghiệm là điều kiện trong quá trình thực hiện thí nghiệm có ảnh hưởng đếnkết quả đầu ra và được thiết lập ở các mức tương ứng với miền giá trị Giá trịcủa nhân tố có thể làđịnh lượng (quantitative) hoặcđịnh tính(qualitative), có thể

là ETC hoặc HTC Thông thường, với các nhân tố định lượng, mức giá trị thiếtlập trong mỗi phép thử thường là các cận của miền giá trị hoặc các điểm nằmtrong miền giá trị phụ thuộc vào kinh nghiệm của việc thực hiện các quá trìnhsản xuất Các mức giá trị thiết lập cho thí nghiệm của mỗi nhân tố thường được

mã hóa để đồng nhất thang đo, nghĩa là không còn đơn vị của mỗi biến Cụ thể,nếu nhân tố định tính có hai mức thì thường được mã hóa thành −1 và 1, cònnhân tố định lượng có thể được mã hóa thành −1, 0 và 1 Kết quả đầu ra củathí nghiệm được gọi là biến đáp ứng (là biến phụ thuộc trong mô hình hồi quy).Các sai số thường gặp trong thí nghiệm tạo ra bởi thiết bị sản xuất, thiết bị kiểmđịnh, người thực hiện và các yếu tố ngẫu nhiên do một số nhân tố không thamgia vào mô hình được gọi chung là sai số thí nghiệm và thường được giả thiết là

nhiễu trắng(white noise)

Phương pháp bề mặt đáp ứng là tập hợp các kỹ thuật được thực hiện để tìmgiá trị tốt nhất của biến đáp ứng Nếu giá trị tốt nhất hoặc các giá trị của biếnđáp ứng đã biết đến, thì phương pháp này cho ta hiểu biết sâu hơn về hệ thốngchung của biến đáp ứng Các kỹ thuật này gồm thiết kế thí nghiệm và phân tíchcác dữ liệu của thí nghiệm bằng kỹ thuật hồi quy được đưa ra trong bài báocủa Box & Wilson [9] năm 1951 Bài báo này có ảnh hưởng sâu sắc đến ứngdụng các thiết kế thí nghiệm trong công nghiệp và gợi ra nhiều ý tưởng nghiêncứu trong lĩnh vực này Nhiều công trình kết quả nghiên cứu về phương pháp

bề mặt đáp ứng đã được viết thành sách Box & Draper [7] năm 1987, Khuri &Cornell [28] năm 1996 và Myers & Montgomery [32] năm 2002 Ở Việt Nam,

phương pháp bề mặt đáp ứng đã được sử dụng trong nhiều công trình nghiêncứu thực tế được công bố trên các tạp chí sinh học, tạp chí khoa học công nghệnhư Bui & Nguyen [1], Huynh et al [2] và Le et al [3].

Nếu hàm đáp ứng được xấp xỉ bởi đa thức bậc hai thì mô hình

được gọi là thiết kế bậc hai.

Mô hình đa thức bậc hai rất linh hoạt và thường xuyên dùng trong việc xấp

xỉ bề mặt đáp ứng Các hiệu ứng chính β i đo mức độ ảnh hưởng của m nhân

tố thông qua biến x i trong mô hình, các hiệu ứng tương tác β i j đo mức độ ảnhhưởng của nhân tố thứ i với nhân tố thứ j thông qua x i x j và bề mặt cong xuấthiện (tức là có biếnx2i trong mô hình) khi có ảnh hưởng của hiệu ứng bậc haiβ ii

của nhân tố thứ i Ước lượng các hệ số trong mô hình được tính toán đơn giảntheo phương pháp bình phương tối thiểu

Thực hiện thí nghiệm dưới dạng ma trận thiết kế

Vecto hệ số

β = [β0, β11, · · · , β mm , β1, · · · , β m , β12, · · · , βm−1m]0được ước lượng bằng phương pháp bình phương tối thiểu

ˆ

β = (X0X)−1X0Y,

có ma trận hiệp phương sai

cov( ˆ β ) = σ2(X0X)−1.

Đại lượng Nvar( ˆY(x))

σ2 được gọi là phương sai dự báo của mô hình tại điểm

x = (x1, · · · , xm)0, trong đóY(ˆ x ) =x ˆβvà

var( ˆY(x )) = x0(X0X)−1xσ2,vớix = [1, x21, · · · , x2m, x1, · · · , xm, x1x2, x2x3, · · · , xm−1xm]0

Đạo hàm y ˆ theo vecto x = (x1, · · · , xm)0 và giải nghiệm của ∂ ˆ y

∂ x = 0 ta nhậnđược điểm dừng của bề mặt đáp ứng (xem mục 6.3 trong [32])

xs= −1

2 ˆ

Nếu ma trận Bˆ có tất cả các giá trị riêng đều âm thì điểm dừng là điểm cựcđại của bề mặt đáp ứng NếuBˆ có tất cả các giá trị riêng dương thì điểm dừng làđiểm cực tiểu của bề mặt đáp ứng Trong trường hợp giá trị riêng củaBˆ có một

số âm và một số dương thì điểm dừng được gọi là điểm yên ngựa

1.2.3 Thiết kế thí nghiệm phù hợp mô hình bề mặt đáp ứng

Việc lựa chọn các thiết kế thí nghiệm phù hợp và phân tích mô hình bề mặtđáp ứng là công việc không thể thiếu trong RSM Trong mục này, chúng tôi liệt

kê các thiết kế phổ biến phù hợp với mô hình bậc một, bậc hai, các thiết kế bậchai có thể chia nhóm trực giao và các thiết kếD−tối ưu

1.2.3.1 Thiết kế phù hợp mô hình đa thức bậc một

Các thiết kế phù hợp với mô hình đa thức bậc một thường được sử dụng làcác thiết kế 2-mức giá trị cho các nhân tố làm cực tiểu phương sai của các hệ

số hồi quyβˆi Đây là các thiết kế có ma trậnX0Xdạng đường chéo, trong đó matrận thiết kế mở rộngXgồm các hàng(1, xu1, · · · , xum)vớiu = 1, · · · , n Khi đó,các thiết kế được gọi là thiết kế bậc một trực giao (first-order orthogonal design).Chúng bao gồm thiết kế nhân tố2m hoặc thiết kế một phần nhân tố2m−k và thiết

kế Placket-Burman Ví dụ về các thiết kế này được liệt kê trong Bảng 1.1 chocác nhân tố với mức giá trị được mã hóa

Bảng 1.1: Các thiết kế thí nghiệm cho mô hình đa thức bậc một

1.2.3.2 Thiết kế phù hợp mô hình đa thức bậc hai

Năm 1951, Box & Wilson [9] đưa ra lớp các thiết kế tổng hợp trung tâm thựchiện cho các nhân tố với năm mức là −α, −1, 0, 1, α Các phép thử thí nghiệmtrong CCD gồm các phép thử của thiết kế nhân tố 2-mức, các điểm sao (starpoint) dạng(0, · · · , ±α, · · · , 0)và cácđiểm tâm(center point)(0, · · · , 0)

BBD được giới thiệu bởi Box & Behnken [6] năm 1960 thực hiện cho cácnhân tố với ba mức−1, 0, 1 Các thiết kế này được xây dựng bằng phương phápchồng chất điểm lên các nhóm không đầy đủ (chi tiết ở chương 2)

Năm 2000, Morris [30] đề xuất một lớp thiết kế mới cho các nhân tố 3-mứcgiá trị là APD Các thiết kế này gồm các phép thử của thiết kế 2-mức giá trị trựcgiao trong mô hình đa thức bậc một và các phép thử sinh ra từ các phép thử trên.Các SCD là thiết kế cải tiến CCD tạo nên bởi Draper & Lin [15] năm 1990

và Nguyen & Lin [37] năm 2011 bằng cách sử dụng ít các phép thử hơn chothiết kế nhân tố 2-mức mà vẫn giữ nguyên các điểm sao và điểm tâm Bốn loạithiết kế trên đều có chỉ sốDeff cao, tức là gần với các thiết kếD-tối ưu, được liệt

kê trong Bảng 8.3 của [32] và Bảng 4.1 trong bài báo [37] Ví dụ về các thiết kếnói trên cho bốn nhân tố được liệt kê trong Bảng 1.2

1.2.3.3 Chia nhóm cho thiết kế bề mặt đáp ứng

Bên cạnh hai nguyên lý ngẫu nhiên hóa và lặp lại các phép thử, nguyên lýchia nhóm trong thiết kế là một phần không thể thiếu với mục đích loại bỏ cácbiến gây nhiễu hoặc khi gặp phải tình huống không đầy đủ nguồn nguyên vậtliệu đồng nhất cho các thí nghiệm Ví dụ khi thực hiện phản ứng hóa học không

có đủ cùng loại thiết bị cho việc thực hiện các phép thử nên chỉ có thể sử dụngmột hoặc hai thiết bị Do đó, các phép thử cùng nhóm có thể được thực hiệntrong cùng ngày

Thiết kế bề mặt đáp ứng có thể chia thành các nhóm trực giao (orthogonalblock) nếu cáchiệu ứng nhóm(block effect) không ảnh hưởng đến việc ước lượngtham số của mô hình bề mặt đáp ứng

Thiết kế bậc hai chia thành các nhóm trực giao (xem [32], mục 7.4.9) nếuthỏa mãn các điều kiện sau :

• Mỗi nhóm là một thiết kế bậc một trực giao Nghĩa là: ∑ x i = 0; ∑ x i x j = 0trong mỗi nhóm

Bảng 1.2: Các thiết kế thí nghiệm cho bốn nhân tố 3-mức trong mô hình đathức bậc hai.

• Với mỗi nhân tố, tổng bình phương từ mỗi nhóm tỷ lệ với kích cỡ của nhóm.Nghĩa là : ∑nli=1 x2i

∑ni=1x2i = nl

n, với n l là kích cỡ của nhóm thứ l, l = 1, · · · , b và n là

số phép thử thí nghiệm của thiết kế

1.2.3.4 Thiết kế tối ưu cho mô hình bề mặt đáp ứng

Trong phương pháp bề mặt đáp ứng có rất nhiều tiêu chuẩn để tối ưu thiết

kế, trong đó tiêu chuẩnD-tối ưu là được sử dụng nhiều nhất

Thiết kế bề mặt đáp ứng được gọi là D-tối ưu (xem mục 8.2.1 trong [32])nếu giá trị định thức|X0X| là cực đại

Một thiết kế D-tối ưu làm cực tiểu thể tích của miền tin cậy đồng thời củacác vecto hệ số hồi quy Với các thiết kế bất kỳ, chỉ số Deff hay mức độ D−hiệu

quả(D−efficiency) được xác định để đánh giá mức độ gần tối ưu:

Deff= |X0X|

|Mopt |

 1/p

(1.8)

trong đó,|Mopt |là định thức của thiết kế tối ưu và plà số tham số trong mô hình

Trong mục này, chúng tôi trích dẫn thí nghiệm sinh tổng hợp enzym Lipasetrong bài báo của tác giả Bui & Nguyen [1] và tiến hành phân tích bằng phươngpháp bề mặt đáp ứng sử dụng phần mềm R với gói lệnh rsm (http://cran r-project.org/web/packages/rsm/index.html)

Lipase (EC 3.1.1.3) là một nhóm enzyme thủy phân các triacylglycerol pase có thể được tạo ra từ nhiều chủng vi khuẩn hoặc có thể được tổng hợp từcác loại nấm men Lipase vi sinh vật đang được ứng dụng trong các lĩnh vựcnhư thực phẩm, hóa học, dược phẩm, mỹ phẩm, thuộc da, công nghiệp tẩy rửa,sản xuất biodiesel, sản xuất các polymer phân hủy sinh học, y học ứng dụng,công nghiệp giấy và chế tạo các biosensor

Li-Các tác giả Bui & Nguyen [1] đã tiến hành thí nghiệm để sản xuất tổng hợpLipase trong quá trình nuôi cấy nấm men Pichia anomala VTCC Y0787 do viện

vi sinh vật và công nghệ sinh học (IBMT-VNU, http://imbt.vnu.edu.vn/vi)cung cấp Trong thí nghiệm này 11 yếu tố được đánh giá ảnh hưởng đến sinhtổng hợp Lipase là : rỉ đường, glucose, NaNO3, (NH4)2SO4, (NH4)2HPO4, pH,

Bảng 1.3: Các nhân tố trong thí nghiệm sinh tổng hợp Lipase

Bảng 1.4: Mã hóa các mức giá trị của ba nhân tố ảnh hưởng chính đến Lipase

1 Các tác giả sử dụng thiết kế sàng lọc Placket-Burman gồm 12 phép thử thínghiệm cho 11 nhân tố để sàng lọc lấy các nhân tố có ảnh hưởng chính đến sinhtổng hợp Lipase (xem Bảng 1 trong [1]) Kết quả thu được có 3 nhân tố có ảnhhưởng với p-giá trị < 0.3% gồm chiết nấm nem, tỷ lệ giống và tỷ lệ dầu ăn.Sau đó, các tác giả đã sử dụng thiết kế thí nghiệm CCD và mô hình đa thứcbậc hai cho sinh tổng hợp Lipase từ ba nhân tố chiết nấm nem, tỷ lệ giống và tỷ

lệ dầu ăn Với thí nghiêm dạng CCD, các nhân tố được thực hiện ở 5 mức giá trịtrong miền giá trị mới của mỗi nhân tố mở rộng từ miền giá trị cũ và được mã

Bảng 1.5: Kết quả thực hiện thí nghiệm bằng CCD

Bảng 1.6: Phân tích ANOVA cho mô hình đa thức bậc hai

> model= rsm(y~ SO(x6, x10, x11))

Analysis of Variance Table

Hình 1.2: Bề mặt đáp ứng biểu diễn lượng Lipase theo ba nhân tố cắt tại điểmdừng.

Hình 1.3: Đồ thị đường vòng biểu diễn lượng Lipase theo ba nhân tố cắt tại điểmdừng

y = 17.52 + 2.02x6+ 0.73x10+ 1.02x11− 0.73x6x10

− 0.54x6x11− 0.53x10x11− 0.82x26− 0.94x210− 0.65x211

(1.10)

Hệ số xác định của dự báoR2= 0.9616, tức là tỷ lệ giải thích biến đáp ứng lượng

enzym Lipase từ ba nhân tố với mô hình (1.10) là 96.16% Mô hình dự báo này

là phù hợp vì p-giá trị rất thấp6 × 10−6.Điểm dừng(Stationary point) của bề mặt

đáp ứng (xem Bảng 1.6) là x6 = 1.180, x10 = −0.169, x11= 0.361 tương ứng với

giá trị của chiết nấm nem 3.180%, tỷ lệ giống 2.331% và tỷ lệ dầu ăn 4.042%

Điểm dừng này là điểm cực đại bề mặt đáp ứng vì các giá trị riêng âm

Ngoài ra, sử dụng câu lệnh vẽ đồ thị bề mặt đáp ứng (surface plot) và đồ thị

đường vòng(contour plot) trong gói lệnhrsm

persp(model,∼x6+x10+x11,at=summary(model)$canonical$xs,col=rainbow(50))

contour(model,∼x6+x10+x11,at=summary(model)$canonical$xs,col=rainbow(50))

ta nhận được hình ảnh biểu diễn phương trình (1.10) trong Hình 1.2, 1.3 Trong

Hình 1.2 có 3 đồ thị bề mặt đáp ứng biểu diễn giá trị dự báo của biến đáp ứng

y nhận được ứng với mỗi giá trị của biến được mã hóax6, x10, x11 cắt tại điểm

dừng của bề mặt đáp ứng theo từng đôi một trong ba biến Nếu chiếu bề mặt đáp

ứng trên lên hệ tọa độ hai chiều ta sẽ nhận được đồ thị đường vòng trong Hình

1.3, trong đó các đường vòng trong biểu diễn các điểm có cùng giá trị dự báo

của biến đáp ứngytrên các mặt phẳng(x6, x10), (x6, x11)và(x10, x11)

chomnhân tố x1, · · · , xm trong nphép thử thí nghiệm, trong đóy u , u = 1, · · · , n

là giá trị của biến đáp ứng tại điểm thực hiện phép thử thứu, β i là các hiệu ứngchính,β ii là các hiệu ứng bậc hai,β i j là các hiệu ứng tương tác vớii, j = 1, · · · , m

và ε u là nhiễu trắng Các thiết kế này gọi là thiết kế Box-Behnken (viết tắt làBBD) được xây dựng từ các thiết kế nhóm không đầy đủ và cân bằng (Balanced

Incomplete Block Design hoặc BIBD) hoặc các thiết kế nhóm không đầy đủ và bán cân bằng (Partial Balance Incomplete Block Design hoặc PBIBD) và thiết

kế nhân tố 2-mức (hoặc một nửa thiết kế nhân tố 2-mức đối với trường hợp củaBBD cho 11 nhân tố) được chồng chất lên các phần tử trong mỗi nhóm củaBIBD hoặc PBIBD Thiết kế Box-Behnken rất thông dụng cho người làm thínghiệm với các lý do sau:

• Thiết kế Box-Behnken là các thiết kế 3-mức giá trị, nghĩa là BBD yêu cầu

số mức giá trị thấp nhất của mỗi nhân tố

• Mỗi nhân tố trong thiết kế Box-Behnken có cùng số lần thực hiện ở mứcgiá trị cao và mức giá trị thấp, nghĩa là trong mỗi cột của ma trận thiết kế

có cùng số con 1 và -1

• Thiết kế Box-Behnken là thiết kế xoay quanh (rotatable) (trong trường hợp

4 hoặc 7 nhân tố) hoặc gần xoay quanh Box & Hunter [8] xác định thiết kế

m-chiều được gọi là có tính chất xoay quanh nếu phương sai dự báo Nvar( ˆY(x))

σ2

tại điểmx = (x1, · · · , x m )là hàm củaρ = ∑mi=1x2i, nghĩa là phương sai dự báo

là bằng nhau với mọi điểm cách đềuđiểm tâm(center point) trong miền thiết

kế Đây là một tính chất mong muốn đối với bất kỳ thiết kế thí nghiệm nào

• Các thiết kế Box-Behnken đều có thể chia nhóm trực giao (orthogonallyblocked) trừ trường hợp BBD cho 3 và 11 nhân tố Với mỗi thiết kế bậchai có thể chia nhóm trực giao, việc thêm các nhóm vào mô hình không ảnhhưởng tới ước lượng hệ số hồi quy cho mô hình (2.1)

• Ma trận X0X và (X0X)−1 của thiết kế Box-Behnken có cấu trúc đơn giản.Điều này dẫn đến sự đơn giản của tính toán và giải thích kết quả

Ký hiệu hàng thứucủa ma trận mở rộngXn×pcủa thiết kế bậc hai chomnhân

tố trongnphép thử thí nghiệm là1, x2u1, · · · , x2um, xu1, · · · , xum, xu1xu2, · · · , xu m−1x um,trong đó p = (m + 1)(m + 2)/2 là số tham số trong mô hình (2.1) Trong khi cácthiết kế bậc hai như thiết kế tăng cặp (xem Morris [30]) và thiết kế tổng hợptrung tâm nhỏ hoặc CCD nhỏ (xem Nguyen & Lin [37]) có ma trậnX0Xdạng

vớiAlà ma trận vuông cấpm + 1vàBlà ma trận vuông cấpm + m2
= m(m+1)/2,thì các BBD (trừ trường hợp BBD cho 11 nhân tố) và CCD của Box & Wilson[9] có

Trong những năm gần đây đã có sự quan tâm mạnh mẽ tới xây dựng cácthiết kế bậc hai dựa trên thiết kế nhóm không đầy đủ (Incomplete block designhoặc IBD) Nguyen & Borkowski [36] đã cải tiến 7 thiết kế BBD dựa trên IBDtheo tính xoay quanh vàD−hiệu quả Ngoài ra, họ đưa ra các thiết kế mới đượcchia nhóm trực giao cho 5, 8, 9, 11 và 13 nhân tố Năm 2009, Dey [13] đã xâydựng các thiết kế bậc hai 3-mức D−hiệu quả cao có thể chia nhóm trực giaobằng cách sử dụng các BIBD với cỡ của mỗi nhóm là 2 và thiết kế nhân tố

22 Tuy ma trận X0X của các thiết kế Box-Behnken, các thiết kế của Nguyen &Borkowski [6] và Dey [13] có dạng (2.3) nhưng số phép thử thí nghiệm lại quálớn khi số nhân tố tăng lên

Năm 2011, Zhang et al [52] xây dựng các thiết kế bậc hai 3-mức với sốphép thử thí nghiệm nhỏ từ các BIBD, PBIBD cùng với thiết kế nhân tố 2-mức

và thiết kế một phần nhân tố23−1III Họ gọi làthiết kế Box-Behnken nhỏ(small Behnken design hoặc SBBD) Các thiết kế Box-Behnken nhỏ này không thểchia nhóm trực giao Năm 2013, Dey & Kole [14] (gọi tắt là DK) đưa ra cácthiết kế bậc hai 3-mức có thể chia nhóm trực giao bằng cách sử dụng các IBD

Box-cỡ 3 và thiết kế một phần nhân tố 23−1III cùng phần bù Các thiết kế của DK cómức độ D−hiệu quả khá cao Mặc dù các thiết kế của Dey & Kole [14] và củaZhang et al [52] có số phép thử thí nghiệm nhỏ nhưng ma trậnX0Xcủa các thiết

trình của các tác giả ở mục 2.1 Sau đây, chúng tôi xin trình bày một cách tổngquát về thiết kế nhóm không đầy đủ.

Thiết kế nhóm không đầy đủ cỡ (ν , b, r) là sự sắp xếp của ν phần tử vào bnhóm với kích thước khác nhau sao cho mỗi phần tử xuất hiện trongrnhóm vàkhông phần tử nào xuất hiện nhiều hơn một lần trong mỗi nhóm Kích cỡ củacác nhóm có thể bằng nhau hoặc khác nhau Khi các nhóm có thể chia thànhcácnhóm lặp lại (replicate set) thì thiết kế nhóm không đầy đủ được gọi là tách được(resolvable)

Mỗi thiết kế nhóm không đầy đủ gắn liền với ma trận lặp lại (concurrencematrix)NN0= (λ i j ) vớiλii= r, (i = 1, · · · , ν) vàλi j (i 6= j) là số nhóm xuất hiệnđồng thời phần tửi và j, trong đó ma trận N = (nit )ν ×b gồm các phần 0, 1 chỉ vịtrí của mỗi phần tử trong nhóm

0 nếu phần thử thứ i không thuộc nhóm t

Thiết kế nhóm không đầy đủ và cân bằng là thiết kế nhóm không đầy đủ với

cỡ nhóm không đổi vàλi j= λ ∀ i 6= j

Trong chương này, các thiết kế Box-Behnken nhỏ được xây dựng từ các thiết

kế nhóm không đầy đủ với hai giá trịλ i j = 1 và 2 Các thiết kế nhóm không đầy đủ này được xây dựng bằng cách thêm một hay hai phần tử hoặc xóa đi một phần tử từ thiết

kế nhóm không đầy đủ và cân bằng.

Để mô tả phương pháp này, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ cụ thể sau:

Ví dụ 2.1 Thêm một phần tử vào BIBD

Xét lưới cân bằng(balanced lattice) cỡ2 × 2hay BIBD tách được cỡ(v, b, r) = (4, 6, 3): (0 1), (2 3); (0 2), (1 3); (0 3), (2 1)

Ma trận lặp lạiNN0= 2I4×4+J4×4, trong đóIlà ma trận đơn vị vàJlà ma trậngồm các phần tử 1 Thêm phần tử 4 vào hai nhóm cuối của lưới cân bằng và gấpđôi các nhóm có cỡ 3 cho ta thiết kế nhóm không đầy đủ cỡ (ν, b, r) = (5, 8, 4):(0 1), (2 3); (0 2), (1 3); (0 3 4), (0 3 4), (2 1 4), (2 1 4)