Động lực học vật rắn

Hệ chất điểm Hệ chất điểm còn gọi là cơ hệ là tập hợp các chất điểm, trong đó vị trí vàchuyển động của mỗi chất điểm phụ thuộc vào vị trí và chuyễn động của các chất điểmcòn lại.. + Tập

Phần ICơ học vật rắn tuyệt đối

Chất điểm là điểm hình học có mang khối lượng Chất điểm là mô hình của các

đối tượng mà kích thước của nó không đáng kể trong một số điều kiện cụ thể nào đóhoặc không đóng vai trò quan trọng trong chuyển động khảo sát

Ví dụ: Khi xác định tầm xa của viên đạn hoặc khảo sát chuyển động tịnh tiến của

vật, ta có thể xem chúng là những chất điểm

1.2 Hệ chất điểm

Hệ chất điểm (còn gọi là cơ hệ) là tập hợp các chất điểm, trong đó vị trí vàchuyển động của mỗi chất điểm phụ thuộc vào vị trí và chuyễn động của các chất điểmcòn lại Nói cách khác giữa các chất điểm của cơ hệ tồn tại các tương tác cơ học.Chuyển động của cơ hệ hoàn toàn xác định nếu ta biết được chuyển động của từng chất

điểm thuộc cơ hệ đó

1.3 Vật rắn tuyệt đối

Vật rắn tuyệt đối là một cơ hệ liên tục mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất

kỳ luôn luôn không đổi Vật rắn tuyệt đối gọi tắt là vật rắn

II Toạ độ suy rộng

2.1 Đối tượng quy chiếu

Khi nói đến một đối tượng là nói đến vị trí tương đối của nó so với một đối tượng

tượng quy chiếu.

2.2 Tọa độ suy rộng

Để tiến hành những tính toán, thường người ta gắn với quy chiếu đã chọn một hệtoạ độ (hệ toạ độ Descartes, hệ toạ độ tự nhiên) Thông thường, để đơn giản, ta dùngngay hệ toạ độ làm hệ quy chiếu Cần lưu ý rằng hệ quy chiếu được chọn là tuỳ ý, miễn

là thuận tiện cho việc khảo sát

+ Vị trí của một đối tượng đối với hệ quy chiếu đã chọn thường được xác định bởi

+ Tập hợp các thông định vị đủ để xác định hoàn toàn vị trí của một đối tượng

vectơ định vị và các tọa độ (có thể là toạ độ Descartes của các chất điểm thuộc cơ hệ,

có thể là góc quay  của vật rắn, có thể vừa tọa độ

lập với nhau và vừa đủ để xác định vị trí của đối tượng,

những toạ độ suy rộng có liên quan phụ thuộc lẫn nhau

(có thể suy toạ độ này từ toạ độ kia), ta gọi chúng là các

toạ độ suy rộng thừa.

2.3 Phương trình liên kết

Phương trình toán học mô tả sự liên hệ giữa các toạ

Ví dụ: a Để xác định vị trí của điểm M trong không

gian (H1.1a) có thể dùng các toạ độ suy rộng khác nhau

như: - Dùng toạ độ Descartes: XM, YM, ZM

- Dùng vec tơ định vị r M

b Cho thanh OA với điểm O cố định nằm trong

mặt phẳng Oxy (H1.1b) Vị trí của thanh được xác định

c Cho hình phẳng (S) di chuyển trong mặt phẳng Oxy (H1.1c) chứa nó Muốn

xác định vị trí của hình phẳng (S) ta có thể xác định vị trí của đoạn thẳng AB bất kỳtrên nó Để xác định vị trí AB có thể dùng một đoạn trong các tập hợp của các thông

số sau:X , y ,A B  ; X , y ,X ,YA B B B

II Di chuyển khả dĩ - bậc tự do của cơ hệ

2.1 Liên kết cơ hệ

học và động học nhất định Những điều kiện hình học và động học cản trở chuyển

kết đặt lên cơ hệ đã hạn chế một số khả năng di chuyển của nó

2.2 Di chuyển khả dĩ

Tập hợp những khả năng di chuyển (vô cùng bé) mà cơ hệ có khả năng thực hiện

được nhưng không phá vỡ liên kết được gọi là những di chuyển khả dĩ

Ví dụ: Xét một viên bi nằm trong ống thẳng có đường kính bằng đường kính của viên

bi Viên bi chỉ có thể di chuyển dọc ống (Hình 1.2) (sang phải hoặc sang trái) từ vị trí

yz

xM

yM

zM

x

O

rMM

O1sM(a)

x

xA

O

B

(c)

Hình 1.1

đang xét, những khả năng di chuyển khác đều bị loại bỏ (chẳng hạn khả năng dichuyển theo phương pháp tuyến của thành ống) Trường hợp này

ta nói viên bi có hai di chuyển khả dĩ hoặc sang phải hoặc sang

trái

Cần lưu ý rằng: Khái niệm di chuyển khả dĩ chỉ có ý nghĩa

về mặt hình học, không có quan hệ với lực tác dụng lên cơ hệ,

lên cơ hệ không thay đổi và thời gian (t) được xem như là thông số Ngoài ra khái niệm

chuyển khả dĩ phân biệt với di chuyển thật Để phân biệt hai di chuyển này, di chuyểnkhả dĩ được ký hiệu  r1 (  x, ,y z), còn di chuyển thật được được ký hiệu là  r1 (dx,

dy, dz) Để làm sáng tỏ, ta trở lại ví dụ viên bi đặt trong ống (H1.2) Khi ống nằm yênthì di chuyển khả dĩ của viên bi là tập hợp hai di chuyển vô cùng bé (sang phải và sangtrái), còn di chuyển thật tại từng thời điểm chỉ xảy ra một trong hai khả năng (hoặcsang trái hoặc sang phải) của ống di chuyển khả dĩ Khi ống chuyển động, thì dichuyển khả dĩ vẫn là tập hợp hai di chuyển trên đối với ống, còn di chuyển thật thì phải

kể đến cả di chuyển của ống Trường hợp này di chuyển thật khác di chuyển khả dĩ

2.3 Số bậc tự do của hệ

Số di chuyển khả dĩ của cơ hệ có thể độc lập cũng có thể không độc lập đối vớinhau Chẳng hạn, trường hợp viên bi đặt trong ống (H1.2) tuy có hai di chuyển khả dĩ(sang phải  r1 và sang trái  r2 ) nhưng chỉ có một di chuyển khả dĩ độc lập (ví dụ, dichuyển khả dĩ sang phải  r1 ), bởi vì giữa hai di chuyển khả dĩ này có mối liên hệ:

Xét hai vật có biên giới phân biệt tựa lên nhau:

+ Nếu trong quá trình chuyển động, hai vật luôn luôn được tiếp xúc với nhau và

tĩnh hay ghép cứng với nhau, liên kết của chúng tương đương một vật rắn tuyệt đối.

+ Nếu trong quá trình chuyển động, hai vật luôn luôn được tiếp xúc nhau vàkhoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai vật luôn luôn thay đổi thì ta nói hai vật

đượcghép động với nhau Mỗi vật trong phép ghép động đó được gọi là khâu.

động, và tập hợp các điểm tựa thuộc biên giới của mỗi khâu được gọi là một thành

Qz Qz

x

y

y x

Qz Tz

y x

Qy

Qz Tz

Các khớp động thường được phân loại theo đặc trưng hình học (tính tiếp xúc,

điểm, đường, mặt) và đặc trưng động học (theo số di chuyển khả dĩ độc lập) Các cáchphân loại có mô hình như sau:

* Theo đặc trưng hình học: tùy thuộc vàođặc điểm tiếp xỳc ta cú 2 loại:

Các khớp động được phân thành hai loại:

- Khớp thấp: Nếu thành phần của khớp động là mặt, ví dụ khớp quay hay khớp

tịnh tiến (H1.3a,b)

- Khớp cao: Nếu thành phần của động là điểm hay đường, đường khớp lãn

(H1.3c) Người ta biểu diễn chúng bằng lược đồ tương ứng như trên hình vẽ

* Theo đặc trưng động học

Một khớp động được gọi là khớp loại m nếu số di chuyển khả dĩ độc lập

của một khâu so với khâu còn lại được chọn làm hệ quy chiếu bằng m Ta có thể

phõn loại theo số bậc tự do bị hạn chế gọi là khớp loại p (hình 1.4).

Hình 1.3

Hỡnh 1.4

- Phõn loại theo tớnh chất chuyển động tương đối, cú 2 loại: Khớp động phẳng và khớpđộng khụng gian Để tiện cho việc nghiờn cứu, cỏc khớp động được biểu diễn trờn hỡnh

vẽ bằng cỏc lược đồ quy ước đơn giản (theo bảng)

Khi xếp loại khớp động cần lưu ý: số bậc tự do là số khả năng chuyển động tươngđối độc lập Cho nờn cũng cú trường hợp cỏc khả năng chuyển động tương đối cú quan

hệ với nhau và phụ thuộc lẫn nhau theo một quy luật nhất định

IV Chuỗi động và cơ cấu

4.1 Chuỗi động

Một tập hợp gồm nhiều khâu nối với nhau bằng các khớp động được gọi là chuỗi

làchuỗi động kín (H1.5b) Trường hợp ngược lại ta có một chuỗi động hở (H1.5a)

4.2 Cơ cấu

4.2.1 Lược đồ cấu trúc của Cơ cấu

giá, các khâu khác được gọi là khâu động Để biểu diễn cơ cấu và chuỗi động ta dùng

các lược đồ cấu trúc, trong đó các đoạn thẳng tuỳ ý (biểu thị các khâu) được nối với

nhau bằng các lược đồ khớp động Khi cần xét quy luật chuyển động của cơ cấu thì

người ta sử sụng các lược đồ động, trong đó khoảng cách giữa các khớp động có một tỉ

lệ nhất định với khoảng cách thực trong kết cấu Hình1.5c là 1 cơ cấu, nó chỉ khác

thị giá Lược đồ cơ cấu (hỡnh 1.6):

4 2.2 Bậc tự do cơ cấu phẳng

Cơ cấu phẳng là cơ cấu trong đó các điểm của các khâu chuyển động trong những

mặt phẳng song song với nhau

khâu để rời trong mặt phẳng thì mỗi khâu có 3 bậc tự do so với khâu quy chiếu, nên ta

sẽ có 3n bậc tự do

Ví dụ: Với cơ cấu (H1.8) thì n = 3, khớp p1 = 3 (ba khớp quay A, B, D) khớp p2= 1(khớp cao C) Vậy: W = 3n - (2p1+ p2) = 3.3 - (2.3-1) = 2 Như vậy, để xác định vị trí

thấy, khi cơ cấu chuyển động, các toạ độ suy rộng đủ là hàm của thời gian Các hàm

Trong cơ cấu, khâu dẫn thường là khâu nối với

giá bằng khớp quay hoặc khớp tịnh tiến có một bậc

tự do, vì vậy trong một cơ cấu có bao nhiêu khâu dẫn

thì có bấy nhiêu bậc tự do Chẳng hạn trong cơ cấu

3

C B

A 1

2

4

x

Hình 1.8Hỡnh 1.6 Lược đồ cơ cấu

thì khâu 1 là khâu dẫn, các khâu 2 và 3 gọi là khâu bị dẫn Nhưng nếu cho trước quy

dẫn Cơ cấu (H1.8) cho trước quy luật1=1(t),3=3(t) các khâu 1, 3 là khâu dẫn

Chú ý: - Khớp động là tập hợp các điểm tựa giữa biên giới của hai khâu cho nên một

- Nếu W = 0 , hệ hay kết cấu tĩnh định

- Nếu W < 0 , hệ hay kết cấu siêu tĩnh, W = -s thì gọi là hệ siêu tĩnh bậc s

Ví dụ: Chuỗi động kín trên (H1.9a) là cơ cấu có một bậc tự do W = 1( W > 0), nếu ta

thêm vào giữa khâu 1 và khâu 4 và 2 khớp A, E ta sẽ được một hệ có W = 0, đó là 1 hệtĩnh định (H1.6b); nếu lại tiếp tục nối thêm khâu 5 và 2 khớp F và G nữa thì khi đó W

= -1 (w < 0 ) ta được hệ siêu tĩnh bậc 1

Đ1 2 chuyển động của chất điểm

Có nhiều phương pháp nghiên cứu chuyển động của chất điểm Tuỳ theo thông số

định vị của điểm, ta có tên gọi như: phương pháp vectơ, phương pháp toạ độ Descartes,phương pháp toạ độ tự nhiên

I Phương pháp véc tơ

1.1 Phương trình chuyển động của chất điểm

Giả sử điểm M chuyển động trong không gian theo quỹ đạo

là đường cong (c) (hình 1.10) Khi đó vectơ rr = OMuuuur, xác định vị

trí của điểm M đối với điểm O (điểm quy chiếu), được gọi là

véctơ định vị (hay bán kính véctơ) của điểm M Khi điểm M chuyển động, vectơ rr thay

Biểu thức (1.2) gọi là phương trình chuyển động của điểm viết

dưới dạng vectơ

1.2 Vận tốc chuyển động của điểm

Giả sử tại thời điểm t, chất điểm có vị trí tại M được xác

định bởi véctơ rr, ở thời điểm t1 = t + t, chất điểm có vị trí tại

O

(c)

M

r r

5

Hình 1.9

M1và được xác định bởi véctơ rr1 Từ hình 1.11 ta thấy véc tơ MMuuuur = rur1- rr =  rr mô

mô tả gần đúng hướng đi và độ nhanh chậm của chuyển động Vận tốc của điểm tạithời điểm được xác định như sau:

Véctơ vận tốc của điểm bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian vectơ định vị.

Ta thấy khi t 0 thì M1 M, nên vuurtbtiến đến tiếp tuyến với quỹ đạo tại M

Vậy:Vectơ vận tốc vr luôn luôn được tiếp tuyến với qũy đạo.

Đơn vị của vận tốc là mét/giây, ký hiệu là m/s

1.3 Gia tốc chuyển động của điểm

Để đặc trưng cho sự thay đổi của véctơ vận tốc (cả phương chiều và trị số), ta đưa

ra khái niệm gia tốc Giả sử tại thời điểm t, chất điểm có vận tốc v tại thời điểm t1 = t+t có vận tốc vr = vr +vr Đại lượng: wuuurtb= v v1 v

 

r r r

, được gọi là gia tốc trung

Gia tốc của động điểm trong khoảng thời điểm t được xác định như sau:

Véctơ gia tốc của điểm, bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian véctơ vận tốc hay

đạo hàm bâc hai theo thời gian vectơ định vị.

Về mặt hình học, ta thấy vectơ uurv

(và do đó vectơ wuur) luôn hướng về phía lõmcủa quỹ đạo Đơn vị của gia tốc là mét/giây2(ký hiệu m/s2).

1.4 Tính chất chuyển động của điểm

động Thật vậy, nếu vr tăng thì vuur2 cũng sẽ tăng, và do đó ta có:

+ Nếu vr.wur < 0 thì chuyển động của điểm chậm dần

+ Nếuvr wur = 0 điểm thực hiện chuyển động đều

II Phương pháp toạ độ descartes

Phương pháp véctơ chỉ thuận tiện cho việc mô tả định tính, để tính toán địnhlượng thường người ta dùng phương pháp toạ độ Với động điểm chưa biết dạng quỹ

đạo của nó thì phương pháp khảo sát hay dùng nhất là phương pháp toạ độ Descartes

2.1 Phương trình chuyển động của điểm

Xét điểm M chuyển động trong hệ toạ độ Descartes vuông góc (H1.12), các thông

số định vị của động điểm là x , y , z Khi điểm M chuyển động, các thông số này biến

đổi liên tục theo thời gian, do đó ta có thể viết được hệ các phương trình sau:

toạ độ Descartes, quan hệ giữa vectơ định vị rr và các

toạ độ suy rộng trong hệ toạ độ Descartes được viết:

r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k

(1.6)

2.2 Vận tốc chuyển động của điểm

Đạo hàm biểu thức vectơ (1.6) theo thời gian (chú ý các vectơ i ,,j k là các vectơ

v

ur

i

r k r j

r

yx

z

yMx

M

zM

Hình 1.12M

2.3 Gia tốc chuyển động của điểm

cos(w,Ox) = w x

w uur

2.4 Tính chất chuyển động

Các dấu hiệu để xác định các tính chất chuyển động có dạng:

- Điểm chuỷen động nhanh dần khi: x x + y y + z z. . . > 0

- Điểm chuyển động chậm dần khi: x x + y y + z z. . . . . . < 0

- Điểm chuyển động đều khi: x x + y y + z z. . . . . . = 0

III Phương pháp toạ độ tự nhiên

Hệ toạ độ tự nhiên là một hệ toạ độ động có gốc tại động

điểm M gồm 3 trục (H 1.13):

- Trục tiếp tuyến với quỹ đạo, hướng theo chiều dương

quỹ đạo, có véctơ đơn vị là r

- Trục pháp tuyến chính, nằm trong mặt phẳng tiếp (mặt

phẳng tạo bởi tiếp tuyến tại M và điểm M’ trên quỹ đạo

lân cận điểm M), hướng về phía lõm của quỹ đạo và vuông góc với tiếp tuyến, có vectơ

đơnvị là nr



r

n rHình 1.13O

r r

-Trục trùng pháp tuyến, có véctơ đơn vị là br tạo với vectơ r

thuận: br = r

 nr Nếu biết quỹ đạo của động điểm thì phương pháp toạ độ tự nhiên để khảo sátchuyển động là thuận tiện nhất

3.1 Phương trình chuyển động của điểm

hoành độ cong của điểm trên quỹ đạo Khi điểm M chuyển động, hoành độ cong sẽ làhàm của thời gian, do đó ta viết được

s = s ( t )

Biểu thức (1.11) được gọi là phương trình chuyển động của điểm dọc theo quỹ đạo

r = r ( s )

(1.12)

3.2 Vận tốc của điểm chuyển động

Đạo hàm biểu thức (1.12) theo thời gian ta được:



n r j y

x O1

Hình 1.14

Với cung s) = O1M khá bé có thể xem đó là cung tròn tâm O bán kính , nên ta có:

dt  dt  , đại lượng w = w uurτ τrτ được gọi là gia tốc tiếp

tuyến của điểm (nằm trên tiếp tuyến của quỹ đạo) Gia tốc tiếp

tuyến có thể dương hoặc âm (cùng chiều hay ngược chiều với

véctơ vr (H1.15)), đặc trưng cho sự thay đổi về trị số của vận tốc

ρ , đại lượng w = w nuuurn n r gọi là gia tốc pháp tuyến của

điểm, nó đặc trưng cho sự thay đổi phương của vận tốc Gia tốc

pháp uôn dương và hướng về phía lõm của quỹ đạo Công thức

3.4 Tính chất chuyển động của điểm

Căn cứ vào hai thanh phần gia tốc wuurn và wuurτ ta có thể phán đoán tính chất củachuyển động Nói chung khi điểm chuyển động thì Ruur1

biến đổi cả hướng lẫn độ lớn,nếu w = 0 ( uur n ρ )

n

w = 0

uur

thì v = const, điểm chuyển động đều Khi w   0tuỳ theo tích w.v = w vuur r τ ta có:

- Nếu v.w = w vr uur τ > 0 điểm chuyển động nhanh dần

- Nếu v.w = w vr uur τ < 0 điểm chuyển động chậm dần

IV áp dụng cho một số chuyển động thường gặp

4.1 Chuyển động đều

+ Khi vận tốc của điểm có giá trị không đổi (có thể tròn đều):

2 n

uur uur

4.2 Chuyển động biến đổi đều

Là chuyển động mà gia tốc tiếp của nó có giá trị không đổi Nếu chọn chiềudương của quỹ đạo theo chiều chuyển động của điểm thì:

v = v0 w t

t

1 w t 2

Lấy dấu “+” ứng với chuyển động nhanh dần đều và dấu “ - ”trong trường hợp

độ cong của điểm tại thời điểm đầu

4.3 Chuyển động dao động

Chuyển động cong của điểm được lặp lại sau một thời gian nhất định thì được gọi

là chuyển động dao động Chuyển động dao động thường được mô tả bằng phương

giao động; k được gọi là tần số giao động; (kt + ) gọi là pha giao động;  gọi là pha ban đầu ứng với thời điểm t = 0)

k

Vận tốc và gia tốc chuyển động và giao động bằng:

ở bài trước ta đã xét chuyển động của một đối tượng đối với hệ quy chiếu cố

định Trong thực tế, ta thường gặp các bài toán gồm một đối tượng chuyển động đối với

hệ quy chiếu (A) (H1.16), hệ quy chiếu (A) mang theo đối tượng lại chuyển động đốivới hệ quy chiếu (B) được xem là cố định Chẳng

hạn, một người đi lại trên boong tàu, và tàu lại

chuyển động với bờ sông Vấn đề đặt ra là nếu biết

chuyển động của đối tượng với hệ quy chiếu (A) và

biết chuyển động của hệ quy chiếu (A) đối với hệ

quy chiếu (B), thì xác định chuyển động của đối

tượng với hệ quy chiếu (B) như thế nào?

- Chuyển động của đối tượng đối với hệ quy

tốc và gia tốc trong chuyển động này gọi là vận tốc tương đối và gia tốc tương đối, kýhiệu vrr và w ( , )ur ur rr  r r

)

x

yz

x1

y1

z1

O1

O

Hình 1.16

M

- Chuyển động của hệ quy chiếu động (A) mang theo đối tượng đối với hệ quy

này gọi làvận tốc theo và gia tốc theo, ký hiệu là v;r uure e

(  ur r e , ) e

- Chuyển động của đối tượng đối với hệ quy chiếu cố định (B), gọi là chuyển

động tuyệt đối Vận tốc và gia tốc của đối tượng trong chuyển động này được gọi là vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối, ký hiệu v , w ( r a ur a  ur a ,  r a )

II Xác định vận tốc và gia tốc theo

Từ định nghĩa chuyển động theo, ta thấy vận tốc và gia tốc theo của động điểmbằng vận tốc, gia tốc của điểm M* là điểm thuộc hệ quy chiếu mà tại thời điểm khảo

Trong ví dụ trên, chuyển động của người đi lại trên boong tàu là chuyển động tương

đối; chuyển động của tàu mang theo người đối với bờ sông là chuyển động theo; cònchuyển động người đối với bờ sông là chuyển động tuyệt đối Vết chân người trên sàntàu tại thời điểm khảo sát được coi là “trùng điểm ”.

động Oxyz (với hệ trục này thì các véctơ r r ri , j , k là véctơ hằng nên ta có):

r0

Vây: Tại mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối của động điểm bằng tổng hình học của gia

tốc theo, gia tốc tương đối và gia tốc Côriôlic.

Khi chuyển động theo là tịnh tiến cùng với điểm cực O thì wurc 0

Nếu chuyển động theo là tịnh tiến thì gia tốc tuyệt đối của động điểm bằng tổng hình

học của gia tốc theo và gia tốc tương đối.

Chương II

Chuyển động của vật rắn

Trong chuyển động của vật rắn, ngoài hai loại chuyển động cơ bản là chuyển

động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định, thì một dạng chuyển động củng khá phổ biến với nhiều ứng dụng trong kỹ thuật là chuyển động song phẳng Chuyển động song phẳng là hợp thành của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh trục vuông góc với phương tịnh tiến.

Chuyển động tịnh tiến là một trong những dạng chuyển động cơ bản của vật rắn,

là dạng chuyển động phổ biến trong thực tế

1.2 Phương trình chuyển động của điểm

Giả sử ta đã biết phương trình chuyển động của điểm A (H2.1) thuộc vật là:

r r

r r

Khi đó, phương trình chuyển động của điểm B bất kỳ thuộc vật có thể suy ra từ

A B

rur rr ABuuur

(2.2)Như vậy, ta có thể xem (2.1) là phương trình chuyển động

tịnh tiến của vật Từ đó ta cũng thấy ngay rằng quỹ đạo của điểm

B bất kỳ của điểm A bằng cách tịnh tiến quỹ đạo điểm A đi một

vectơ ABuuur Vậy: mọi điểm thuộc vật chuyển động tịnh tiến sẽ

vạch ra những quỹ đạo giống hệt nhau.

B Quỹ đạo của B

Quỹ đạo của A

Hình 2.1

chuyển động tịnh tiến là các véctơ tự do Từ đó cho phép kết luận: “Để khảo sát một vật chuyển động tịnh tiến, chỉ cần khảo sát chuyển động của một điểm thuộc vật ”.

II Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định

2.1 Định nghĩa

Chuyển động vật rắn luôn luôn có hai điểm cố định được gọi

là chuyển động quay của vật quanh một trục cố định Đường

thẳng đi qua hai điểm cố định được gọi là trục quay của vật.

Dễ dàng thấy rằng khi vật quay quanh trục cố định, thì mỗi

điểm thuộc vật chuyển động trên đường tròn có tâm nằm trên trục

quay, có bán kính bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục quay

2.2 Phương trình chuyển động

Chọn trục quay là trục Oz (nghĩa là định hướng trục quay)

vật (H2.2) Vị trí của vật hoàn toàn được xác định nếu ta biết

thời gian, nghĩa là: =(t) (2.3)

Biểu thức (2.3) là phương trình chuyển động quay của vật quanh một trục cố định

Vận tốc góc là một lượng đại số, có đơn vị Rad/s, dấu của vận tốc góc cho biết

(trong vật lý kĩ thuật thường chọn chiều dương ngược với chiều quay của kim đồnghồ), nếu vận tốc âm thì vật quay theo chiều ngược lại Ngoài ra, trong kỹ thuật thường

Hình 2.2

Chú ý: Để biểu diễn trục quay, chiều quay và độ nhanh chậm của chuyển động

: “Véc tơ vận tốc có phương nằm trên trục quay chiều được xác định theo quy tắc vặn nút chai và có giá trị =’Vì gốc của véctơ có thể lấy tuỳ ý trên trục quay, nên vectơ vận tốc góc là một

véctơ trượt Nếu gọi kr là véctơ đơn vị trên trục z thì   ur kr

Đạo hàm biểu thức véctơnày theo thời gian, ta có:       r ur' 'kr kr

(2.5)Nghĩa là véctơ gia tốc cũng nằm trên trục quay

2.5 Tính chất của chuyển động

và r

, có thể phán đoán được tính chất của chuyển

- Nếu ω εur r > 0 nghĩa là ω, εur rcùng chiều chuyển động quay nhanh dần

- Nếu ω εur r < 0 nghĩa là ω, εur ur ngược chiều chuyển động quay chậm dần

- Nếu ω εur ur = 0 vật chuyển động quay đều

2.6 áp dụng cho một số chuyển động quay thường gặp

a Chuyển động quay đều

ngược chiều kim đồng hồ lấy dấu “-“ trong trường hợp ngược lại:

b Chuyển động quay biến đổi đều:

2

       (2.7)Lấy dấu “+” ứng với chuyển động quay nhanh dần và lấy dấu “-“ trong trường hợpngược lại

c Chuyển động quay dao động

Chuyển động quay dao động được mô tả bởi phương trình:

Đ2.2 Chuyển động các điểm thuộc vật

Khi vật rắn quay quanh một trục cố định, quỹ đạo mọi điểm thuộc vật quay là

các đường tròn thuộc mặt phẳng vuông góc với trục quay và có tâm nằm trên trục

quay Vì biết dạng quỹ đạo nên khảo sát chuyển động của điểm bằng phương pháp toạ

độ tự nhiên (hình 2.3)

I Chuyển động các điểm thuộc vật

1.1 Phương trình chuyển động

Biết phương trình chuyển động của vật, ta có thể suy ra

phương trình chuyển động mọi điểm thuộc vật Chẳng hạn

phương trình chuyển động của M cách trục quay một khoảng

1.2 Vận tốc của vật

Vận tốc của M nằm trên tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm

II Một số dạng truyền chuyển động

Trong một máy, hoặc một tổ hợp máy bao giờ cũng có cơ cấu thực hiện nhiệm vụ

một số dạng truyền động đơn giản

2.1 Truyền động bằng cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích

Để truyền chuyển động quay giữa hai trục cố định và song song với nhau ta

I12 =

1

2 1

2 2

1

z

z r

và dấu “-“ trong trường hợp ăn khớp ngoài (H2.4a) (còn gọi là bánh răng ngoại tiếp) ,

r1, r2 và z1,z2 lần lượt là các bán kính và số răng của các bánh răng tương ứng Tỷ sốtruyền động đai và xích: i12=

1

2 2

2.3 Truyền động bằng cơ cấu cam

Để truyền (hoặc biến đổi) chuyển động tịnh tiến thành chuyển động quay thànhchuyển động tịnh tiến và ngược lại

Đ 2.3 Chuyển động song phẳng

và Chuyển động của điểm thuộc hình phẳng

I Chuyển động song phẳng của vật rắn

1.1 Định nghĩa và mô hình

1.1.1 Định nghĩa: Chuyễn động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mỗi

điểm của vật chuyễn động song song với mặt phẳng cho trước

Ví dụ Chuyễn động của bánh xe trên đường Hình 2.7a; chuyển động của thanh truyền

trong cơ cấu tay quay con trượt Hình 2.7b

1.1.2 Mô hình: Giả sử vật A chuyển

động song phẳng, xét đoạn thẳng AB tuỳ

ý thuộc vật và vuông góc với mặt phẳng

quy chiếu 0 Do vật rắn tuyệt đối nên độ

dài AB luôn không đổi, còn A và B sẽ

chuyển động trên hai mặt phẳng song song với nhau và song song với mặt phẳng quychiếu, như vậỵ AB luôn dịch chuyển song song với vị trí ban

đầu của nó, tức là AB chuyển động tịnh tiến (hình 2.8)

Mọi điểm trên AB có vận tốc bằng nhau Nếu biết vận

tốc và gia tốc của một điểm M trên AB thì ta sẽ biết vận tốc

và gia tốc của mọi M Như vậy ta có thể nói: Để khảo sát

chuyển động song phẳng của một vật, ta chỉ cần khảo sát

chuyển động của một tiết diện phẳng (S) của nó trong mặt

phẳng chứa tiết diện và song song vơi mặt phẳng quy chiếu

v 1

v 2 v 2



cần cam

A

b

c

A b c

A b c

M(s)

0

Mặt phẳng quy chiếu

A

B

1.2 Khảo sát chuyển động của hình phẳng

Để xác định vị trí của hình phẳng (S) đối với hệ trục cố định O1x1y1(hình 2.9),

ta dựng hệ trục xOy gắn chặt với hình phẳng Vị trí của hình phẳng được xác định bởi

vị trí điểm O (gọi là cực điểm) và góc quay  giữa trục

phẳng quay quanh O ngược chiều kim đồng hồ

Như vậy, vị trí của hình phẳng (S) được xem là đã

góc quay  giữa hệ Oxy và hệ trục cố định O1x1y1 Khihình phẳng S chuyển động thì x, y,  là hàm của thời

Các đại lượng v , w ,r uur0 0 ε, ω, được gọi là các đặc trưng động học của hình phẳng (S)

vào điểm cực được chọn Thật vậy, nếu lấy một điểm O’ O làm cực (H2.10), thì rõràng VurOVurO'

và wuurO wuurO'

(vì hình phẳng thực hiện chuyển động song phẳng) Gọi

,

  thứ tự là góc giữa trục O1x1với Ox và O1x1trục O’x’ ta có:      (a)

Đạo hàm biểu thức (a) theo thời gian với chú ý   const(vì vật rắn tuyệt đối)



O

Hình 2.9

s

d d d

dt dt dt

  

  hay   O' O (b)

Từ (a) và (b) ta dễ dàng suy ra:   O' O

Vận tốc và gia tốc trong thành phần chuyển động tịnh

tiến phụ thuộc vào điểm cực, còn vận tốc góc và gia

tốc góc trong thành phần chuyển động quay không

phụ thuộc vào điểm cực được chọn.

II Chuyển động của điểm thuộc hình phẳng

2.1 Phương trình chuyển động của điểm

Xét điểm M thuộc hình phẳng (S) cách điểm O một đoạn OM = R Các thông số

định vị của điểm M trong hệ trục toạ độ cố định O1x1y1(H.2.11):

xM(t) = x0(t) + R cos(t)

Biểu thức (4.1) là phương trình chuyển động của điểm M thuộc hình phẳng (S)

2.2 Vận tốc chuyển động của điểm

Dựa vào (2.18) ta có thể xác định được vận tốc của

điểm M qua các hình chiếu của nó trên các trục của hệ

Từ hình vẽ trên, ta có: O M O O OM Rnuuuur uuuur uuuur1  1   r

Đạo hàm hai vế đẳng thức véctơ theo

dt   

, ta nhận được:

1

O 1

dO M d O O Rdn v R .

dt dt  dt    

Ta thấy ngay vế trái là vận tốc của điểm M, còn thành phần

thứ nhất của vế phải là vận tốc của điểm cực O, thành phần

thứ hai của vế phải là vận tốc của điểm M trong chuyển động quay của hình phẳng (S)quanh điểm cực O với vận tốc góc, ta ký hiệu là VurOM

có phương vuông góc với đường thẳng qua hai điểm A và B Chiếu hai vế của đẳng

2.4.2 Sự phân bố vận tốc của các điểm thuộc hình phẳng

làm điểm cực, khi đó vận tốc của điểm M bất kỳ trên hình phẳng theo (2.20) bằng:

Vur Vur Vur Vur

(2.21)

vận tốc của nó trong chuyển động quay của hình phẳng quanh tâm vận tốc tức thời và

tỷ lệ với khoảng cách M đến P Điểm P* thuộc mặt phẳng cố

các điểm thuộc hình phẳng được phân bố giống như trường

hợp hình phẳng quay quanh tâm vận tốc tức thời (H2.13).

Trong trường hợp này ta nói hình phẳng quay tức thời

quanh tâm P*

thì trong công thức (2.21) thành phần vận tốc tính được trong chuyển động quay quanh

điểm cực bằng không: vOM= MO   0: Khi đó: vrM VurOVurOM VurO

(2.22)

Có nghĩa là vận tốc mọi điểm thuộc hình phẳng đều bằng nhau và bằng vận tốc điểmcực O Vậy:Tại mọi thời điểm không tồn tại tâm vận tốc tức thời (   0 ;P  )thì mọi

điểm của hình phẳng có vận tốc bằng nhau Trường hợp này ta nói hình phẳng thực

hiện chuyển động tịnh tiến tức thời

BM

NA

PP*

Hình 2.13

- Nếu A vuông góc với phương vận tốc của chúng thì tâm vận tốc tức thời là giao

điểm của phương AB với đường nối các đầu mút của các véctơ vận tốc

đoạn đường cong phẳng cố định Trong trường hợp này điểm tiếp

xúc giữa hình phẳng và đường cong sẽ là tâm vận tốc tức thời

2.4.4 Tâm tích động và tâm tích cố định

Quỹ tích của vận tốc tức thời trên hình phẳng (S) được gọi là

tâm tích động Quỹ tích của P* (tâm quay) trên mặt phẳng cố định song song với mặt

đường tâm tích nói chung có dạng là một đường cong

2.5 Gia tốc chuyển động của các điểm

2.5.1 Quan hệ giữa gia tốc của các điểm

Nếu lấy đạo hàm bậc hai phương trình chuyển động (2.20) và (2.21) theo thời gian, vớichú ý: v r MO   R .r

0 2

PBA

(b)

A

Vur

B V

BA

PI

Hình 2.15

Thành phần thứ nhất trong vế phải là gia tốc của điểm cực O Thành phần thứ hai

của M tính riêng trong chuyển động của hình phẳng (S) quay quanh điểm cực O

có giá trị bằng Rε, được gọi là gia tốc tiếp tuyến của điểm M tính riêng trong chuyển

động quay của hình phẳng (S) quanh điểm cực O (H2.16):

2.5.2 Tâm gia tốc tức thời.

Điểm I thuộc hình phẳng, tại thời điểm khảo sát có

gia tốc bằng không được gọi là tâm gia tốc tức thời

Tại thời điểm vận tốc  và gia tốc  cuả hình phẳng

không đồng thời triệt tiêu thì tồn tại duy nhất một tâm

- Điểm đặt của lực là điểm mà tại đó vật chịu tác dụng cơ học từ vật khác

- Phương chiều (hướng) của lực là phương chiều chuyển động của vật từ trạng tháinghỉ dưới tác dụng cơ học của vật khác

- Cường độ của lực là số đo mức độ mạnh yếu của tương tác cơ học

Vậy, Lực là một đại lượng vật lý xác định không những bằng cường độ mà cảhướng trong không gian, do đó lực là đại lượng véctơ, và vì thế có thể áp dụng mọi quy

w0O

tắc tính toán đối với véctơ Véctơ lực có gốc biểu diễn điểm đặt, có hướng trùng với

véctơ buộc Véctơ lực thường được biểu diễn bằng một chữ cái in, bên trên mang dấu

véctơ lực gọi là đường tác dụng của lực (Hình 3.1) Trong hệ

SI, đơn vị cơ bản đo cường độ của lực là Niutơn, ký hiệu N

Một tập hợp gồm nhiều lực tác dụng lên một cơ hệ thì được

gọi là hệ lực Ký hiệu hệ lực:(F , F , Fnur uur1 2 uur)

II Các đặc trưng của tác dụng lực

2.1 Xung lượng của lực

Xung lượng của lực, gọi tắt là xung lực, là đại lượng dùng để đánh giá tác dụng của lực

2

1

t t

F dt

2.2 Công và công suất của lực: Công của lực là đại lượng dùng để đánh giá tác dụng

của lực qua di chuyển

2.2.1 Công nguyên tố của lực: Công nguyên tố của lực

ký hiệu dA là tích vô hướng:

dA = Fr drr = Fxdx + Fydy + Fzdz (3.4)

trong đó: r r là véctơ định vị của điểm đặt lực (H4.2), drr

là dịch chuyển vô cùng bé của điểm đặt lực, Fx,Fy, Fzlà

của véctơ drr trên ba trục toạ độ Biểu thức công nguyên tố cũng có thể viết:

dA = F.v.dtruur = (Fxx + Fyy + Fzz) dt = Ftds = Fcos ds (3.5)

đặt lực,  là góc giữa lực Fr và phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đặt lực

2.2.2 Công hữu hạn của lực

một đoạn (hữu hạn), ký hiệu là A

A =0

M MFdr

 r r= (Fxdx + Fydy + Fzdz) =

0

M MF

Đường tác dụng của lực

FǺ

B

Hình 3.1

Mv

Đơn vị của công suất là Niutơn.mét/giây (Nm/s) còn được gọi là watt (w).

III Biểu thức tính công của một số lực thường gặp

3.1 Công của trọng lực

trong đó: *Px, Py, Pzlà hình chiếu của lực P trên trục

x, y, z tương ứng; dx, dy, dz là hình chiếu của dr r các trục

toạ độ x,y,z Do Px= 0, Py= 0, và Pz= -P

1 0 0

M

M

A   Pdz P(z   z )   Ph (3.8)

ở đây, đã đặt h = z0 z1 là chênh lệch về độ cao của M0 và M1 Lấy dấu “+” khi

3.2 Công của lực tác dụng lên vật rắn quay quanh một trục cố định

Khi vật quay quanh trục cố định z thì quỹ đạo của điểm dặt lực là một đường tròntâm O bán kính OM = R thuộc mặt phẳng vuông góc với trục quay z Công nguyên tốcủa lực F trên di chuyển d bằng: dA = Ftds (trong đó Ft là hình

chiếu của Fr trên phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đặt lực

Ta thấy Ft R, chính là momen của lực Fr đối với trục z, ký

hiệu mz(Fr) = Ft R Công của lực Fr khi vật quay được một góc 

5.3 Công của lực đàn hồi tuyến tính

Giả sử, chất điểm M chịu tác dụng của lực đàn hồi Fr = -C.r r

(H3.4b) trong đó r r là véctơ định vị của điểm đặt lực, C là hệ số tỷ lệ:

r r

(3.10)

Mhz

Đ 3.2 Các định luật cơ bản của động lực học

Phương trình vi phân chuyển động Của chất điểm

Trong kỹ thuật hệ quy chiếu gắn liền với quả đất được xem là hệ quy chiếu quán tính ( hệ quy chiếu quán tính gần đúng).

I Các định luật cơ bản của động lực học

1.1 Định luật quán tính (Định luật 1 Newton)

Để ý rằng các định luật cơ bản của động lực học đều khảo sát hệ chuyển độngtrong hệ quy chiếu quán tính: Hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều hoặc hệ quy chiếugắn liền với trái đất Định luật quán tính phát biểu như sau:

Nếu chất điểm không chịu tác dụng của lực nào, thì nó hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.

quán tính của nó Định luật này khẳng định rằng nếu chất điểm cô lập thì nó có trạng

cho đến khi có lực tác dụng buộc nó thay đổi trạng thái quán tính

1.2 Định luật cơ bản của động lực học (Định luật 2 Newton)

Dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động với gia tốc cùng hướng với lực và

có giá trị tỷ lệ với độ lớn của lực: m w = F uur r (3.11)

điểm Định luật này chứng tỏ rằng, dưới tác dụng của lực thì

chuyển động của chất điểm mới bị biến đổi.

Dễ thấy, dưới tác dụng của một lực không đổi, khối lượng

chất điểm càng lớn thì gia tốc của nó càng nhỏ, nghĩa là trạng

thái chuyển động vốn có của nó càng ít thay đổi Do đó khối

lượng là đặc trưng quán tính (hay số đo quán tính) của chất điểm Biểu thức (3.11)

Biểu thức (3.12) cho quan hệ giữa khối lượng và trọng lượng của chất điểm, trong

đó g được gọi là gia tốc trọng trường, g = 9,81m/s2

1.3 Định luật tác dụng tương hổ (Định luật 3 Newton)

Lực tác dụng qua lại giữa hai chất điểm là những lực cùng phương, ngược chiều

và cùng trị số (hai lực trực đối)

vw

FM

Hình 3.5